动态规划矩阵连乘算法.docx

1、动态规划矩阵连乘算法问题描述：给定n个矩阵：Ai,A2,.,An，其中A与Ai+i是可乘的，i=1 ,2., n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积 需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模， 输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有 许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。 若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号， 则可以依此次序反复调用 2个矩阵相乘的标准 算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：(1)单个矩阵是完全加括号

2、的；(2) 矩阵连乘积A是完全加括号的，则 A可表示为2个完全加括 号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即 A=(BC)例如，矩阵连乘积 A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(Ai(A2(A3A4)，(Ai(A2A3)A4)，(AiA2)(A3A4)，(Ai(A2A3)A4)，(AlA2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算 次序，这决定着作乘积所需要的计算量。看下面一个例子，计算三个矩阵连乘A1，A2，A3;维数分别为10*100 ,100*5,5*50 按此顺序计算需要的次数(Ai*(A2*A3):10*5*50+10*100*50=75000 次所以问

3、题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。算法思路：例：设要计算矩阵连乘乘积 A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分 别是：A1： 30*35; A: 35*15; A: 15*5; A4： 5*10; A5：10*20; A6： 20*25递推关系：设计算Ai:j, 1 i j,弓所需要的最少数乘次数 mi,j，贝V原问题的 最优值为m1, n。当 i=j 时，Ai:j=Ai,因此，mii=0 , i=1,2,n当ij时，若Ai:j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则: mij=mik+mk+1j+p /pkpj。由于在计算是并不知道断开点 k的位置，所以k还未定。不

4、过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个 位置使计算量达到最小的那个位置。综上，有递推关系如下:护幺丿=卜甲门删丄幻+觀比+lj+p口屍卩 /尸弘)= GQ in )以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。2、重叠递归从以上递推关系和构造最优解思路出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：3d1-1重叠子问题的递归最优解/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25p0-6=30,35,15,5,10,20,25#i nclude stdafx.h#in clude vio

5、streamusing n amespace std;const int L = 7;int RecurMatrixChai n(int i,i nt j,i nt *s,i nt *p);/ 递归求最优解void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s);/ 构造最优解int mai n()int pL=30,35,15,5,10,20,25;int *s = new int *L;for(i nt i=0;iL;i+)si = new in tL;coutvv矩阵的最少计算次数为： vvRecurMatrixChain(1,6,s,p)endl;coutvv矩阵最优

6、计算次序为：endl;Traceback(1,6,s);return 0;int RecurMatrixChai n(int i,i nt j,i nt *s,i nt *p)if(i=j) return 0;int u = RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+pi-1*pi*pj; sij = i;for(int k=i+1; kvj; k+)int t = RecurMatrixChai n( i,k,s,p) + RecurMatrixChai n(k+1,j,s,p) + pi-1*pk*pj;if(tvu)u=t

7、;sij=k;return u;void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s)if(i=j) return;Traceback(i,sij,s);Traceback(sij+1,j,s);coutvvMultiply Avvivv,vvsij;coutvv and Avv(sij+1)vv,vvjvve ndl;1.用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p) 计算a1:4的计算递归树如7.3、备忘录递归算法8.备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新 计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个

8、记录项， 初始化时, 该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解 的过程中，对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是 第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的 记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时 存入的特殊值，贝y表示该子问题已被计算过，相应的记录项中 存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解 答即可，而不必重新计算。3d1-2 矩阵连乘备忘录递归实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25p0-6=30,35,1

9、5,5,10,20,25#i nclude stdafx.h#in clude using n amespace std;const int L = 7;int LookupCha in (i nt i,i nt j,i nt *m,i nt *s,i nt *p);int MemoizedMatrixChai n(int n,i nt *m,i nt *s,i nt *p);void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s); 构造最优解int mai n()in t pL=30,35,15,5,10,20,25;int *s = new int *L; int *m

10、 = new int *L; for(i nt i=0;iL;i+) si = new in tL; mi = new in tL;cout矩阵的最少计算次数为： MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)endl;cout 矩阵最优计算次序为： endl;Traceback(1,6,s);return 0;int MemoizedMatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p)for(int i=1; i=n; i+)for(int j=1; j0)return mij;if(i=j)return 0;int u = LookupChain(i,i

11、,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+pi-1*pi*pj; sij=i;for(int k=i+1; kj; k+)int t = LookupChain(i,k,m,s,p) + LookupChain(k+1,j,m,s,p) + pi-1*pk*pj; if(tu)u=t;sij = k;mij = u;return u;void Traceback(int i,int j,int *s)if(i=j) return;Traceback(i,sij,s);Traceback(sij+1,j,s);coutMultiply Ai,sij;cout and

12、A(sij+1),j0 ,则表示其中存 储的是所要求子问题的计算结果， 直接返回即可。否则与直接递归算法一样递归计算，并将计算结果存入 mij中返回。备忘录算法耗时0(n八3)，将直接递归算法的计算时间从 2An降至0(n八3)。3、动态规划迭代实现用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式 进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只 计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复 计算，最终得到多项式时间的算法。3d1-2 矩阵连乘动态规划迭代实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6

13、20*25p0-6=30,35,15,5,10,20,25#include stdafx.h#in clude using n amespace std;const int L = 7;int MatrixChai n(int n,i nt *m,i nt *s,i nt *p);void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s); 构造最优解int mai n()int pL=30,35,15,5,10,20,25;int *s = new int *L;int *m = new int *L;for(int i=0;iL;i+)si = new intL;mi =

14、new intL;cout 矩阵的最少计算次数为： MatrixChain(6,m,s,p)endl;cout 矩阵最优计算次序为： endl;Traceback(1,6,s);return 0;int MatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p)for(int i=1; i=n; i+)mii = 0;for(int r=2; r=n; r+) /r 为当前计算的链长(子问题规模)for(int i=1; i=n-r+1; i+)/n-r+1 为最后一个 r 链的前边界int j = i+r-1;/ 计算前边界为 r ，链长为 r 的链的后边界mij = m

15、i+1j + pi-1*pi*pj;/ 将链 ij 划分为 A(i) * ( Ai+1:j )sij = i;for(int k=i+1; kj; k+)/将链 ij 划分为( Ai:k )* (Ak+1:j)int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj;if(tmij)mij = t;sij = k;return m1L-1;void Traceback(i nt i,i nt j,i nt *s)if(i=j) return;Traceback(i,sij,s);Traceback(sij+1,j,s);coutMultiply Ai,sij;cout and A(si

16、j+1),jendl;上述迭代算法的运行过程如下图所示：Al A2 A3 A4 A5 42R-曲员 如图所示：当R=2时，先迭代计算出：m1:2=m1:1+m2:2+p0*p1*p2；m2:3=m2:2+m3:3+p1*p2*p3;m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4;m4:5=m4:4+m55+p3*p4*p5;m5:6=m55+m66+p4*p5*p6的值;当R=3时，迭代计算出：m1:3=mi n( m1:1+m2:3+p0*p1*p3,m1:2+m3:3+p0*p2 *p3)；m2:4=mi n(m2:2+m3:4+p1*p2*p4,m2:3+m4:4+p1*p3*p4)；m4:6=mi n( m4:4+m5:6+p3*p4*p6,m4:5+m6:6+p3*p5 *p6)；依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。与备忘录方法 相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子 问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结 构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题