第三章 立体的投影.docx

1、第三章 立体的投影第三章 立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。3.1 平面立体一、 平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。常见的平面立体是棱柱和棱锥。1 棱柱（1）棱柱的投影（a） （b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六

2、棱柱的立体图和投影图。从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系

3、，作图时可直接用分规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45辅助线的方法作图，如图3-2b。（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m和N点的水平投影n，求作其它两个投影。因为m可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m和m可求得m, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n、n必在顶面的同面投影上。2棱锥（1）棱锥的投影如图32所示是一正三棱锥，

4、锥顶为S，其底面为ABC，是一水平面，水平投影abc反映实形。左、右棱面为一般位置平面，它们的各个投影为类似形，后棱面为一个侧垂面。（a） (b)图3-2 正三棱锥的投影作图时先画出底面ABC的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线即得正三棱锥的三面投影。同时，可以看出：三个棱面的水平投影都可见，底面的水平投影不可见；左、右棱面的正面投影可见，后棱面的正面投影不可见，左棱面的侧面投影可见，右棱面的侧面投影不可见。（2）棱锥表面上的点如图33所示，已知三棱锥上的点E和点F的正面投影e（f），求其水平投影e、f。如图33a所示，点E在前棱面SAB上，F在后棱面SAC上，实际上也就是已知三角

5、形平面上一点的正面投影求其水平投影的问题。【方法一】过点E、F分别作底边AB、AC的平行线（图33b）：过e（f）作ed和fd平行于ab和ac，从图中可见，它们分别相互重合，与sa交于d，由d在sa上作出d，并由d分别作deab、dfac，再从e（f）引投影连线，分别在de和df上交出所求的e和f。(a) (b) (c) (d) 图3-3 正三棱锥表面上的点【方法二】分别将点E、F与点S相连（图33c）：将e（f）与s相连，并延长到与底边ab、ac相交，得重合的1、2，由1、2分别在ab、ac上作出1、2，连s和1、2，在从e（f）引投影连线，在所s1、s2上分别交得e、f。【方法三】过点E、

6、F作棱面上的任意直线（图33d）：过e（f）作正面投影重合的直线，图中所作的直线通过b、c且与sa交于g，由g在sa上作出g，连g和b、c，再从e（f）引投影连线，在gb、gc上分别交得e、f，即为所求。二、平面与平面立体相交平面与立体的交线称为截交线, 截切立体的平面我们称为截平面，截交线围成的图形称为截断面。平面立体的截交线是截平面和平面立体表面的共有线，是由直线组成的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与平面立体相关棱线（包括底边）的交点。截交线有两种求法：一是依次求出平面立体各棱面与截平面的交线；二是求出平面立体各棱线与截平面的交点，然后依次连接起来

7、。当几个截平面与平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体和穿孔的平面立体时，只要逐个作出各个截平面与平面立体的截交线，再绘制截平面之间的交线，就可作出这些平面立体的投影图。【例题一】已知正垂面P和三棱锥相交，求作截交线的投影及截断面实形（图3-4）。（一）分析截平面P与三棱锥的三个侧棱面相交，截交线为三角形，其三个顶点是截平面P与三条棱线的交点。因为截平面是正垂面，所以截交线的正面投影积聚在Pv上，其水平投影和侧面投影为空间截交线的类似形。（二）作图（1）在正面投影上依次标出Pv与sa、sb、sc的交点d、e、f，d、e、f即为平面P与棱线的交点D、E、F的正面投影（2）根据在直线上取点的方法由

8、正面投影d、e、f求得相应的水平投影d、e、f，和侧面投影d、 e、f。（3）连接这些点的同面投影,并判别可见性,即为截交线的投影。（4）用换面法作出截断面实形。（a） （b）图3-4三棱锥的截交线及截断面实形【例题二】已知正三棱锥被一正垂面和一水平面截切，试完成其截切后的水平投影和侧面投影（图35）图3-5 三棱锥被正垂面和水平面截切 （一）分析（图36b）三棱锥被水平面Q截切，正面投影和水平投影具有积聚性,设想将Q扩大，使其与三棱锥全部侧表面完整相交，则到，其三边分别与AB、BC和AC平行。由于正垂面P的存在使此截断面实际不完全，为四边形。正垂面P截切三棱锥与三棱锥交于，其中分别位于棱线S

9、A和SB上， 已求出， 的连线也是水平面Q与正垂面P的交线。（二）作图（图36a）（1）作出完整三棱锥的侧面投影，注意平面SAB为侧垂面。（2）作平面Q与三棱锥的截交线：先作平面Q与三棱锥的完整截交线，得123和1、2和3，注意其中12/ac、23/bc、14/ab，然后根据4、7分别在13和23上取得4和7点并由此求出4和7。（3）作平面P与三棱锥的截交线：由正面投影的5和6很容易得到侧面投影上的5和6，并求出水平投影5和6。将的侧面投影和水平投影依次连线。（4）作出平面Q和平面P的交线，注意其水平投影47不可见。（5）检查、描深。棱线SA 和SC是中断的，因此在水平投影上1与5之间和2与6

10、之间不应有线，在侧面投影上2和6之间不应有线，1和5之间的线为平面SAB有积聚性的投影。（a） （b）图3-6 三棱锥被正垂面和水平面截切的作图【例题三】已知六棱柱被两平面P、Q所截切，求截交后交线的各投影（图3-7）。（一）分析 由于截平面P是正垂面，Q是侧平面，它们的正面投影都有积聚性，故截交线也分别积聚成直线而形成切口。要求截交线的H、W面的投影，只需分别求出P、Q与六棱柱的交线即可。(a) (b) 图 3-7 平面与六棱柱截交（二）作图（图37b）（1）在正面投影上依次标出平面P与六棱柱的各棱面的交线45、56、67、78、89、93；由于六棱柱各棱面的水平投影都有积聚性，故P与六棱柱

11、的截交线也积聚在棱面的水平投影上，可求出其水平投影45、56、67、78、89、93。根据正面投影和水平投影，可求出截交线的侧面投影45、56、67、78、89、93。 （2）在正面投影上依次标出Q与六棱柱表面的交线12、23、41，其中12是Q与六棱柱顶面的交线；因Q为侧平面，其水平投影具有积聚性，所以Q与六棱柱的截交线积聚在Q的水平投影QH上，可求出其水平投影12、23、41；根据正面投影和水平投影，可求出交线的侧面投影12、23、41。（3）作出平面Q和平面P的交线。（4）检查、描深。其中、和点所在棱线，在P面以上的部分被截切，注意在侧面投影上棱线的这些部分不应再画出。3.2 曲面立体曲

12、面立体由曲面或曲面和平面所围成。曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影，也就是曲面立体的轮廓线、尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线。某些曲面可以看作由一条线按一定的规律运动所形成，这条运动的线称为母线，而曲面上任意位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，形成回转面。母线上的各点绕轴线旋转时，形成回转面上垂直于轴线的纬圆。一、常用的回转体的投影及其表面上的点工程上常见的回转体有圆柱体、圆锥体、圆球和圆环等，它们的特点是有光滑、连续的回转面。（a） （b）图3-8 圆柱体的投影1 圆柱体（1） 圆柱体的投影圆柱体是由圆柱面、顶面和底面围成。圆柱面由直线绕与它平行的轴线旋转而成。图3

13、-8所示，当轴线为铅垂线，圆柱面的水平投影积聚成一个圆，圆柱的顶面和底面是水平面反映实形，就是这个圆。用点划线画出对称中心线，对称中心线的交点是轴线的水平投影。在正面和侧面投影中，轴线的投影用点划线画出，顶面和底面分别积聚为直线段，其长度等于直径，而圆柱面的投影范围由各投影面的转向轮廓线限定。最左、最右两条线AA1和BB1的正面投影aa1和bb1是正面投影的转向轮廓线。最前、最后两素线CC1和DD1的侧面投影cc1和dd1是侧面投影的转向轮廓线。转向轮廓线既是圆柱面的投影外形轮廓线，又是圆柱面投影可见与不可见的分界线。正面投影以aa1和bb1为界，前半圆柱面为可见，后半圆柱面为不可见。侧面投影

14、以cc1和dd1为界，左半圆柱面为可见，右半圆柱面为不可见。画圆柱投影时，一般先画出轴线和底圆中心线，然后画出上、下底圆的投影和圆柱面投影的转向轮廓线。图39 在圆柱表面上取点（2）圆柱体表面上的点如图3-9 所示，已知圆柱表面上点A、B、C、D的正面投影，求作它们的水平及侧面投影。从投影图中可以看出，该圆柱的轴线为铅垂线，圆柱面的水平投影积聚为一个圆，点A、B、C、D的水平投影必定在该圆的圆周上。作图过程如下：1） 由于 a可见，故点A应在前半个圆柱面上；b不可见，点B必在后半个圆柱面上；由此确定出a和b 。2） 由a和a确定a;并由b和b确定b，又由于B点在右半个柱面上故b不可见。3）点C

15、在最右素线上，其侧面投影c应在轴线上且不可见；点D在最前素线上，其侧面投影d在圆柱面侧面投影的转向轮廓线上。2圆锥体圆锥体由圆锥面和底面所围成，圆锥面是由一直线绕与它相交的轴线旋转而成。（1）圆锥体的投影如图3-10所示，圆锥体的轴线为铅垂线，底面垂直于轴线，底面的正面投影和侧面投影都积聚成直线，水平投影为反映实形的圆。在水平投影中用点划线画出对称中心线，对称中心线的交点既是轴线的水平投影，又是锥顶的水平投影s。轴线的正面投影和侧面投影用点划线表示，圆锥面正面投影的转向轮廓线sa、sb，是圆锥面上最左最右素线SA、SB的正面投影；SA、SB的侧面投影sa、sb，与轴线的侧面投影相重合。圆锥面侧

16、面投影的转向轮廓线sc、sd是圆锥面上最前、最后素线SC、SD的侧面投影，SC、SD的正面投影sc、sd与轴线的正面投影相重合。圆锥面的水平投影与底面的水平投影相重合。显然，圆锥面的三面投影都没有积聚性。画圆锥体投影时，一般应先画出轴线和底圆中心线，然后画出底圆的投影及圆锥面的投影转向轮廓线。（2）圆锥体表面上的点如图3-11所示，已知圆锥表面上点A的正面投影a，求作其水平投影a和侧面投影a。因为圆锥面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以必须用作辅助线的方法实现在圆锥表面上取点。作辅助线的方法有两种：（a） （b）图3-10 圆锥体的投影【方法一】素线法：如图3-11a中立体图所示，过锥顶S

17、与点A 作一辅助素线交底面圆周于点B，因为a可见，所以素线SB位于前半圆锥面上，B点也位于前半底圆上。求出SB各个投影后便可按直线上点的投影规律，求出点A的水平投影和侧面投影。作图过程如下(图3-11a)：（a） （b）图3-11 在圆锥体表面取点1）连s和a，延长sa，与底圆的正面投影相交于b。由b在前半底圆的水平投影上作出b，再由b在底圆的侧面投影上作出b。分别连s和b、s和b。2）由a分别在sb、sb上作出a、a。由于圆锥面的水平投影是可见的，所以a可见，又因点A在左半圆锥面上，所以a也可见【方法二】纬圆法：如图3-11b中立体图所示，过点A在圆锥面上作一个平行于底面的圆，实际上这个圆就

18、是点A绕轴线旋转所形成的。然后再在圆上取出A点，作图过程如下(图3-11b)：1）通过a作垂直于轴线的水平圆的正面投影，其长度就是直径的实长，它与轴线的正面投影的交点，就是圆心的正面投影，而圆心的水平投影重合于轴线的有积聚性的水平投形上，即重合于s，于是就可画出这个圆的反映实形的水平投影。2）因为a可见，所以点A应在前半圆锥面上，于是就可由a在水平圆的前半圆的水平投影上作出a。3）由a、a作出a。可见性的判别与方法同上。（a） （b）图3-12 圆球的投影3圆球球由球面围成。球面由一圆绕其直径旋转而成。（1）圆球的投影如图3-12a所示，圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。三个投影面上的圆分别

19、是球面上的最大正平圆A、最大水平圆B和最大侧平圆C，这三个圆也分别是球的三面投影的转向轮廓线。从图3-12b可以看出：球的正面投影转向轮廓线a是正面投影上球面可见与不可见的分界线，其对应投影a和a与相应投影面上的中心线重合而不必画出。轮廓线B、C的对应投影和可见性，请读者自己分析。画圆球的投影时，应先画出三面投影中圆的对称中心线，对称中心线的交点为球心，然后再分别画出三面投影的转向轮廓线。（2） 圆球表面上的点球面上取点可运用在球面上作平行于投影面的辅助圆的方法。辅助圆可选用正平圆、水平圆或侧平圆。图313 在圆球表面上取点如图3-13所示，已知球面上点M、N的正面投影m和n，求作其水平和侧面

20、投影。我们可用辅助圆的方法，作图过程如下：1）过m以o为圆心作正平圆，其正面投影反映该圆的实形。2）正平圆的水平投影和侧面投影都积聚为一条直线，并反映正平圆直径的实长，因m为可见，故点M在前半球面上，由此确定正平圆的水平投影和侧面投影3）在正平圆的水平投影和侧面投影上分别取出m、m，而且由m的位置决定了点M在左、上四分之一球面上，故m、m均可见。用同样的作图原理和方法也可取球体上的水平圆或侧平圆，如图3-13所示， N点的水平投影就是通过作水平圆求出，再按点的投影规律求出n。因n为不可见,，故点N在后半个球面上，（n）的位置又决定了点N在右、下四分之一球面上，故n、n均不可见。4圆环（a） （

21、b）图3-14 圆环的投影及表面上取点圆环面由一圆母线绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转而成（图3-14），由远离轴线的半圆形成的表面称为外环面，由靠近轴线的半圆形成的表面称为内环面。（1）圆环的投影图3-14a所示为一铅垂轴线的圆环，在旋转过程中其圆母线始终处于铅垂位置，且与轴线共面，圆母线上的各点的运动轨迹均为垂直于轴线的水平纬圆。圆环的水平投影的转向轮廓线，是圆母线上离轴线最远点和最近点旋转形成的最大和最小纬圆的水平投影，中心线圆表示圆母线的圆心运动轨迹。圆环的正面投影中，左右两个小圆（一半为虚线圆）是平行于正面的两个素线圆的正面投影，而上、下两条直线则是圆母线上最高点和最低点旋转而成的水

22、平圆的正面投影。它们都是圆环面的正面投影的转向轮廓线。圆环的侧面投影与正面投影相似，请读者自己分析。可见性分析：在水平投影中，上半个圆环面为可见，最大与最小纬圆是可见与不可见的分界线；正面投影中，前半个圆环面的外圆环面为可见，侧面投影中左半个圆环面的外圆环面为可见。画圆环的投影时，首先画各投影的轴线及各圆中心线，然后画各投影的转向轮廓线。（2）圆环表面上的点圆环表面上取点，可利用辅助纬圆法，即过环面上的点作垂直于轴线的辅助圆。如图3-14b所示，已知环面上点A的水平投影和点B的正面投影，求作点A和点B的其它两面投影。由点A的水平投影a的位置可知，点A在前半且下半内圆环面上，过a在环面上作一水平

23、圆，作出水平圆的正面投影和侧面投影，即可求得a和a，均不可见。再看点B，由b的位置可知，点B在上半、前半和左半外圆环面上，过b作纬圆的正面投影，然后作该纬圆的水平投影和侧面投影，即可求得b和b，b和b均为可见。二、平面与曲面立体相交曲面立体的截交线通常是一条封闭的平面曲线，也可能是由截平面上的曲线和直线所围成的平面图形或多边形。截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是它们的共有点。作截交线时先作其上的特殊点，再作若干个一般点，然后将这些共有点连成光滑曲线，并判别可见性。所谓特殊点，是指截交线上确定其大小范围的最高最低、

24、最左最右、最前最后点，用以判别可见性的转向轮廓线上的点，以及平面曲线本身的特殊点，如椭圆长、短轴的端点，以及抛物线、双曲线的顶点等。这些特殊点的投影大多数位于曲面的投影转向轮廓线上。1平面与圆柱面相交平面与圆柱面相交时，根据截平面相对于圆柱轴线位置的不同，其截交线有三种形状，即圆、椭圆和两条与轴线平行的直线，如表3-1所示。【例题一】已知水平圆柱被一正垂面P所截，求作截交线的投影（图3-15）3-15 平面与圆柱相交（一）分析 截平面P与圆柱轴线倾斜，因此截交线是一椭圆。该椭圆的正面投影积聚在PV上，侧面投影与圆柱面的积聚圆重合，故只需求作椭圆的水平投影。我们可利用圆柱面上取点的方法，作出椭圆

25、上一系列点的侧面投影，然后将这些点连成光滑的曲线。（二）作图（1）求特殊点，如图3-15中A、B两点为最高、最低点同时兼最左、最右点，C、D、两点为最前、最后点，也是水平投影转向轮廓线上的点。上述四点也是截交线椭圆长短轴上的点，作出它们的水平投影a、b、c、d。（2）求一般点，如果特殊点间隔比较稀疏，为了使曲线连得光滑，可适当拾取若干个一般点，如、点，先由正面投影找出它们的侧面投影1、2、3、4，再定出它们的水平投影1、2、3、4。（3）连线并判断可见性，将水平投影上得到的各点依次光滑连接成椭圆。截平面P的位置决定了椭圆截交线为可见的，应画成粗实线。要注意的是，圆柱的水平投影转向轮廓线在点C、

26、D以左被截去，所以该轮廓线仅画到c，d处。【例题二】已知接头的左右端均有切口，完成接头的正面投影和水平投影（图3-16a）。（一）分析根据图3-16a中的已知条件，接头左端的槽口可以看作两个正平面和一个侧平面切割而成。接头右端的凸榫，它由两个水平面和一个侧平面切割而成，如图3-16e所示。（二）作图（1）左端槽口的正平截平面与圆柱面的交线是四条侧垂线AA1、BB1、CC1、DD1，它们的水平投影aa1与bb1重合，cc1与dd1重合，它们的侧面投影分别积聚成点，位于圆柱面有积聚性的侧面投影上，由水平投影和侧面投影作出这四条侧垂线的正面投影（图3-16b）。（2）侧平面截圆柱面于两段侧平的圆弧A

27、1C1 、B1D1。它们的侧面投影重合在圆柱面有积聚性的侧面投影上，且反映实形；水平投影a1c1、b1d1重合于侧平面有积聚性的水平投影上，可根据a1c1、b1d1和a1c1、b1d1作出a1c1、b1d1（图3-16b）。连线时应注意：两个正平面与侧平面的交线的正面投影被圆柱面遮住，故为不可见，应画成虚线（图3-16c）；另外，由水平投影可知，左切口将最高、最低两条素线截去一段，所以在正面投影中，其转向轮廓线的左端应截去。右端凸榫的截交线作法与左端类似，请读者参照图3-16c自己分析。要注意的是，由于右端的侧平截面没有截到圆柱的最前、最后素线，故在水平投影中，线段两端与转向轮廓线之间是有间隙

28、的，并且水平投影的转向轮廓线是完整的（图3-16d）（a） (b) (c) (d) (e)图3-16 完成接头的正面投影和水平投影2平面与圆锥面相交平面与圆锥面相交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，平面截切圆锥的截交线有五种情况，即圆、椭圆、抛物线、双曲线和两条相交的直线，如表3-2所示。 【例题三】已知圆锥被正平面所截，求截交线的正面投影（图3-17a）。（一）分析 由于截平面与圆锥的轴线相平行，所以截交线是双曲线的一叶，其水平投影积聚在截平面的水平投影上，正面投影反映实形，左右对称。截平面与圆锥底面的截交线是侧垂线，它的正面投影积聚在底面具有积聚性的正面投影上，它的水平投影积聚在截平

29、面具有积聚性的水平投影上，因此，不必求作。（二）作图（图3-17b）(a) (b)图317 平面截切圆锥（1）作截交线上的最左、最右点A、E。在截交线与底圆的水平投影的相交处，定出a和e，再由a、e在底圆的正面投影上作出a、e。 （2）作截交线上的最高点C。在截交线水平投影的中点处，定出最高点C（即双曲线在对称轴上的顶点）的水平投影c，再用在圆锥面上通过点C的水平圆作为辅助线作出c。 （3）在截交线的适当位置上作两个中间点B、D。在截交线的水平投影上取截交线上两个点B、D的投影b、d，连s、b和s、d与底圆的水平投影交于m、n，则B、D也是SM、SN上的点。由m、n作出m、n，并与s连成sm、

30、sn，就可由b、d分别在sm、sn上作出b、d。 （4）按截交线水平投影的顺序，将a、b、c、d、e连成所求截交线的正面投影abcde。由于截交线是位于圆锥的前半锥面上，所以正面投影是可见的。 【例题四】已知圆锥被三个平面P、Q、R所截，求截交线的水平投影和侧面投影（图3-18）。（一）分析从图上可以看出，圆锥的轴线为铅垂线，截平面P、Q为正垂面，且Q面经过锥顶，所以平面Q截圆锥分别得直线；平面P与圆锥的轴线倾斜，且，所以截交线为椭圆的一部分；R为水平面，截圆锥为圆的一部分。要求圆锥被截后的投影，只需先分别求出各截平面与圆锥的截交线，再求截平面间的交线即可。（二）作图 （1）平面R与圆锥的交线为水平圆弧，故截交线的水平投影反映实形为圆弧251，侧面投影积聚为一直线。 （2）平面Q与圆锥的交线为过锥顶的直线段，在正面投影上标出其端点34、12，过锥顶作辅助线SM、SM，可求出其水平投影34、12和侧面投影34、12。（3）平面P与圆锥的交线。平面P与圆锥的轴线倾斜，且，所以截交线为椭圆的一部分。椭圆的正面投影积聚为一条直线，长轴为67，短轴为89，求其水平投影和侧面投影可分别求出其长短轴的投影而作出椭圆投影，或作出椭圆上的若干一般点，连接