1、北京市中考数学专题复习 几何综合题二、重难专题突破几何综合题(必考)1. (2018北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GFGC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.第1题图2. (2014北京)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图;(2)若PAB20,求ADF的度数;(3)如图,若45PAB90,用等式表示线段AB、FE
2、、FD之间的数量关系,并证明.第2题图综合训练1. (2019海淀区二模)已知C为线段AB中点,ACM.Q为线段BC上一动点(不与点B重合),点P在射线CM上,连接PA,PQ,记BQkCP.(1)若60,k1,如图,当Q为BC中点时,求PAC的度数;直接写出PA、PQ的数量关系;(2)如图,当45时.探究是否存在常数k,使得中的结论仍成立?若存在,写出k的值并证明;若不存在,请说明理由.第1题图2. (2019北京)已知AOB30,H为射线OA上一定点,OH1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON
3、.(1)依题意补全图;(2)求证:OMPOPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP,写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ONQP,并证明.第2题图3. (2017北京)在等腰直角ABC中,ACB90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQCP,过点Q作QHAP于点H,交AB于点M.(1)若PAC,求AMQ的大小(用含的式子表示);(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.第3题图4. (2015北京)在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移ADP,使点D 移动到点C,得到BCQ,过点Q
4、作QHBD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图,依题意补全图;判断AH与PH的数量关系与位置关系,并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ152,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)第4题图5. (2019北京黑白卷)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与端点B、C重合),点F在对角线AC上,且EFAC,连接AE,点G是AE的中点,连接DF、FG.(1)若AB7,当BE时,求FG的长;(2)用等式表示线段DF与FG的数量关系,并证明.第5题图6. (2019丰台区二模)如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(不
5、与点B、C重合),延长AE到点F,连接BF,且AFB45,G为DC边上一点,且DGBE,连接DF,点F关于直线AB的对称点为M,连接AM、BM.(1)依据题意,补全图形;(2)求证:DAGMAB;(3)用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系,并证明.第6题图7. (2019平谷区一模)在ABC中,ABC120,线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD,连接CD,BD交AC于点P.(1)若BAC,直接写出BCD的度数(用含的代数式表示);(2)求AB,BC,BD之间的数量关系;(3)当30时,直接写出AC,BD的关系.第7题图8. (2019平谷区二模)在等边三角形ABC外侧作射线AP,BAP
6、,点B关于射线AP的对称点为点D,连接CD交AP于点E,连接AD、BD.(1)依据题意补全图形;(2)当20时,ADC ;AEC ;(3)连接BE,求证:AECBEC;(4)当060时,用等式表示线段AE, CD,DE之间的数量关系,并证明.第8题图参考答案 针对训练1. (1)证明:如解图,连接DF,四边形ABCD为正方形,DADCAB,ACADC90,点A关于直线DE的对称点为F,ADEFDE,DADFDC,DFEA90,DFG90,在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL),GFGC;第1题解图(2)解:线段数量关系:BHAE.证明:如解图,在线段AD上截取AMAE,连接E
7、M.ADAB,DMBE,由(1)得12,34,ADC90,123490,222390,2345,EDH45,EHDE,DEH90DHE45,DEEH,DEH90,A90,1AED90,5AED90,15,第1题解图在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),MEBH,A90,AMAE,MEAE,BHAE.2. 解:(1)补全图形如解图所示;第2题解图第2题解图(2)如解图,连接AE,则PAEPAB20,AEABAD,BAD90,EAD130,ADF25;(3)线段数量关系:2AB2EF2FD2.证明:如解图,连接AE、BF、BD,AD与BF相交于点G.由轴对称的性质可得:EFBF,AEAB,A
8、FAF,AFEAFB(SSS),AEFABF.又ABAD,ADAE,AEFADF,ABFADF.BAD90,ABFAGB90.又AGBFGD,FGDADF90,BFD90.根据勾股定理可得:BF2FD2BD2,又AD2AB2BD2,且ADAB,2AB2BD2.2AB2EF2FD2.第2题解图综合训练1. 解:(1)如解图,在CM上取点D,使得CDCA,连接AD,第1题解图ACM60,ADC为等边三角形DAC60.C为AB的中点,Q为BC的中点,ACBC2BQ.BQCP,ACBCCD2CP.AP平分DAC.PACPAD30;PAPQ;【解法提示】ACP60,PCCQ,PQCCPQ30,PACPQ
9、C30,PAPQ.(2)存在k,使得中的结论成立证明:过点P作PC的垂线交AC于点D.第1题解图ACM45,PDCPCD45.PCPD,PDAPCQ135.CDPC,BQPC,CDBQ.ACBC,ADCQ.PADPQC(SAS).PAPQ.2. (1)解:补全图形如解图所示;第2题解图(2)证明:在OPM中,AOBOMPOPM180.又AOB30,OMPOPM150.线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PN,MPN150,即NPOOPM150.OMPOPN;(3)解:OP2.证明:如解图所示,过点P作PEOA于点E,过点N作NFOB于点F,则PFNMEP90.由(1)知OMPOPN.PMEN
10、PF.在PFN和MEP中,PFNMEP(AAS).NFPE,PFEM.在RtOPE中,OP2,AOB30,PE1,OE.OH1,即OEEH1,EH1.点M关于点H的对称点为点Q,QHMH1ME1PF.EQEHHQ11PF2PFOPPFOF.在ONF和QPE中,ONFQPE(SAS).ONQP.第2题解图3. 解:(1)ACP90, 在RtACP中,CAPAPC90,HQAP, 在RtHPQ中,QHPQ90,又APCHPQ,CAP,Q,又在等腰直角ABC中,BBAC45,AMQBQ45;(2)线段数量关系:PQBM. 证明:如解图,连接AQ,过点M作MNBQ于点N,第3题解图CQCP,ACPAC
11、Q90,ACAC,ACQACP(SAS),CAQCAP,APAQ,PQ2CP,又BAC45,MAQBACCAQ 45AMQ,AQMQ,APMQ,又MNBQ,ACPQNM90,在RtAPC和RtQMN中,RtAPCRtQMN(AAS),CPNM,PQ2MN,又在RtBMN中,B45,BMMN,PQBM.4. 解:(1)补全图形如解图;第4题解图AHPH且AHPH;证明:如解图,连接CH,四边形ABCD是正方形,HDQ45,QHBD,DHQ为等腰直角三角形,DHQH,HDQHQD45,DPCQ,HDPHQC,PHCH,HPCHCP,BD为正方形ABCD的对角线,AHCH,DAHHCP,AHPH,D
12、AHHPC,DAHDPHHPCDPH180,AHP180ADP90,AHPH且AHPH;第4题解图(2)如解图,作HRCD,QHBD,BDC45,DHQ为等腰直角三角形,又AHQ152,AHBAHQBHQ1529062,DAHAHBADH624517,HDPHQC,DCHQPHDAH17,PDQC,设DPx,则DRHRRQ.CRCQRQPDRQx,由tan DCHtan 17得tan 17,解得x,DP.第4题解图5. 解:(1)四边形ABCD为正方形,ABC90.根据勾股定理得,AE10,EFAC,点G是AE中点,FGAE5;(2)线段数量关系:DFFG.证明:如解图,连接BF、BG, 第5
13、题解图AC是正方形ABCD的对角线,ABAD,DACBAC.AFAF,AFDAFB(SAS).DFBF.ABCAFE90.点A、F、E、B四点共圆点G是AE中点,点G为点A、F、E、B四点共圆的圆心BGFG.BAC45,BGF2BAC90.BGF为等腰直角三角形BFFG.DFBF,DFFG.6. (1)解:补全图形如解图;第6题解图(2)证明:四边形ABCD是正方形,ABAD,ABCBADADG90,在ABE和ADG中,ABEADG(SAS),BAEDAG,点F关于直线AB的对称点为点M,BAEMAB,DAGMAB;(3)解:线段数量关系:BM2DF22AD2.证明:如解图,连接BD,延长MB
14、交AG的延长线于点N,BAD90,DAGMAB,MAN90,由对称性可知:MAFB45,N45,MN,AMAN,AFAM,AFAN,BAEDAG,BANDAF,在BAN和DAF中,BANDAF(SAS),AFDN45,BFD90,BF2DF2BD2,BDAD,BMBF,BM2DF22AD2.第6题解图7. 解:(1)BCD120;【解法提示】线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD,ACD是等边三角形,ACD60,ABC120,BACBCA60,BCDACDBCA6060120,即BCD120;(2)如解图,延长BA使AEBC,连接DE.由(1)知ADC是等边三角形,ADCD.DABDCBDA
15、BDAE180,DCBDAE.ADCD,AECB,ADECDB(SAS).BDED,BDCEDA.BDCADB60,EDAADP60.DEB为等边三角形,DBBEEAABBCAB.BDABBC.第7题解图(3)AC,BD的数量关系是:ACBD;位置关系是:ACBD.【解法提示】由(1)知ACD为等边三角形,ADCACDDAC60,BAC30,ABC120,ACB30,ABBC,ADDC,BD垂直平分AC,ABD60,DAB90,sin ABD,ACBD.8. 解:(1)补全图形如解图,第8题解图(2)40;60;【解法提示】在等边ABC中,ACAB,BAC60,由对称可知:ABAD,PABPA
16、D,ACAD,ADCACD,PAB20,PAD20,CADBACPABPAD100,ADC(180CAD)40,AECADC PAD60.(3)证明:点B关于射线AP的对称点为点D,BAEDAE.DAEBAE.ADABAC,ADC60.AEC60.ACB60,ACDADC60,BCE.ABC60,ABEADC60,BEC60,AECBEC;(4)线段数量关系:CD2DEAE.证明:方法一:如解图,在CD上找一点F,使得AFAE.由(3)可知AEF60,AEF是等边三角形AFCAED120.ACDADC60,ADEACF.DECF.CD2DEEF.AEEF,CD2DEAE.第8题解图方法二:如解图,在CD上找一点G,使得BGBE.第8题解图BEC60,BEG是等边三角形BGCAED120.BCEDAE,BCGDAE.AECG.EGBEDE,CD2DECG.CD2DEAE.
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