1、针对上海区初三中考压轴类型一二次函数与三角形1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线yax2bx(a0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AOBO2,AOB120(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结OM,求AOM的大小;(3)如果点C在x轴上,且ABC与AOM相似,求点C的坐标图1 考点伸展在本题情境下,如果ABC与BOM相似,求点C的坐标 图5例2 如图1,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C(1)点B的坐标为_,点C的坐标为_(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限
2、内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由图1 考点伸展 如图中,圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢? 例3 如图1,已知抛物线的方程C1: (m0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求BCE的面积;(3)在(1)
3、的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BHEH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由图1 考点伸展第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长例4 如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3)(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形
4、O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)用含S的代数式表示x2x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由 图1 图2 考点伸展第(3)题是否存在点G在x轴上方的情
5、况? 例5 如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三点(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标,图1 例6 图1 考点伸展在本题情景下,怎样计算PB的长? 1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1,在RtABC中,A90,AB6,AC8,点D为边BC的中点,DEBC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且P
6、DQ90(1)求ED、EC的长;(2)若BP2,求CQ的长;(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若PDF为等腰三角形,求BP的长图1 备用图 例2 如图1,抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由图1 例3 如图1,点A在x轴上,OA4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B的抛物
7、线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由图1 例4 如图1,已知一次函数yx7与正比例函数的图象交于点A,且与x轴交于点B(1)求点A和点B的坐标;(2)过点A作ACy轴于点C,过点B作直线l/y轴动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿OCA的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
8、是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由 图1 例5 如图1,在矩形ABCD中,ABm(m是大于0的常数),BC8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合)连结DE,作EFDE,EF与射线BA交于点F,设CEx,BFy(1)求y关于x的函数关系式; (2)若m8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若,要使DEF为等腰三角形,m的值应为多少?图1 例 6 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,E是AB的中点,过点E作EF/BC交CD于点F,AB4,BC6,B60(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PMEF
9、交BC于M,过M作MN/AB交折线ADC于N,连结PN,设EPx当点N在线段AD上时(如图2),PMN的形状是否发生改变?若不变,求出PMN的周长;若改变,请说明理由;当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由 图1 图2 图3 1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q(1)求点A、B、C的坐标;(2)当
10、点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由图1 例2 如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD的面积等于ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式图1 例3 在
11、平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数yk(x2x1)的图象交于点A(1,k)和点B(1,k)(1)当k2时,求反比例函数的解析式;(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值 考点伸展如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形? 图4 图5例4 设直线l1:yk1xb1与l2:yk2xb2,若l1l2,垂足为H,则称直线l1与l2是
12、点H的直角线(1)已知直线;和点C(0,2),则直线_和_是点C的直角线(填序号即可);(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式 图1 例5 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上(1)求点B的坐标;(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得EDPE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(
13、当点P运动时,点C、D也随之运动)当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动)过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FMQF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动)若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值图1 考点伸展在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值 例6 如图1,已
14、知A、B是线段MN上的两点,以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成ABC,设(1)求x的取值范围;(2)若ABC为直角三角形,求x的值;(3)探究:ABC的最大面积?图1 例 7 如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0)(1)试说明ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动设M运动t秒时,MON的面积为S 求S与t的函数关系式; 设点M在线段OB上运动时,是否存在S4的情形?若存在,求出对应的t值
15、;若不存在请说明理由;在运动过程中,当MON为直角三角形时,求t的值图1 考点伸展在本题情景下,如果MON的边与AC平行,求t的值如图6,当ON/AC时,t3;如图7,当MN/AC时,t2.5 图6 图7例8 如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2,0)(1)试说明ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动设M运动t秒时,MON的面积为S 求S与t的函数关系式; 设点M在线段OB上运动时,是否存在S4的情形?若存在,求出对应的t值;若不存在请说明理由;在运动过程中,当MON为直角三角形时,求t的值图1 图4 图5考点伸展在本题情景下,如果MON的边与AC平行,求t的值如图6,当ON/AC时,t3;如图7,当MN/AC时,t2.5 图6 图7
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