尺规作图五点定椭圆的方法.docx

1、尺规作图五点定椭圆的方法尺规作图五点定椭圆的方法徐文平（东南大学 南京210096）摘要：已知椭圆上五点，通过确定椭圆圆心、椭圆主轴方向和椭圆长轴短轴位置等三个步骤，尺规作图完成椭圆作图。椭圆在开普勒行星运行三定律中扮演了重要角色，在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件，依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义。一、引言在几何画板和cad软件中， 任意五个点作椭圆，具有意义。五点定椭圆在卫星轨道，机械制图和土木工程中是有重要用途。第一步，通过五点寻找椭圆圆心第二步，确定椭圆坐标x、y主轴方向第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b 1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的

2、对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD2/AB。双曲线和抛物线也具有同样性质。 2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。 证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远，利用定理1，可以快速证明这个命题。 定理2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三

3、点形。命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。 图 3二、通过五点寻找椭圆圆心原理：通过已知五点，作椭圆切线，获得割线的极点，将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心。图 4问题1：只有五点，没有坐标轴和原点，椭圆斜的，割线PQ的切线极点如何办？切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线。图 5命题4：已知椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆内接四边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T，可绘制极点T的极线E F，

4、利用椭圆内接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点（利用帕斯卡定理，新构造椭圆第六点B点，替换H点），绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点，C点即为PQ割线的极点。证明：依据极点极线的对偶定理，由于 S、T为PQ极线上的二点，可可知S、T极点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点，连线PC、QC就是椭圆的切线。（该方法也适合于双曲线和抛物线的情况）问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊，如何构造椭圆上的临时第六点啊。命题5：运用帕斯卡原理，通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点。Pascals定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4

5、, 5五点，其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意。我们将这五点依次相连，并设线段12与45的交点为L。为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6，我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点N，再通过L和N作直线b，设b与a交于M，图74-3；再通过5和M作直线c，则c与a的交点就是期望的第六点6命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质，构造更多椭圆点。在尺规作图五点定椭圆中，已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心，也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点。即A、B、C三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出A

6、B割线的极点N，利用侯明辉三割线定理以及调和分割性质确定新的椭圆点 E点方法：连接CN线段交AB线段于M点，取线段MN中点J为圆心，画圆直径为MN，过C点作MN的垂直线交圆于F点，过F点作切线（或者是作垂直JF的线段EF），交MN于E点，则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途。图 7工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有构造第六点方法）图 8三、确定椭圆坐标主轴方向目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点，寻找椭圆坐标主轴方向。图 9原理：利用椭圆圆心，构造二条共轭直径，然后确定椭圆坐标主轴方向方法：利用椭圆圆心，首先构造一条共轭直径，作图共轭直径端点的切线方向（确定另外一条共轭直

7、径的方向），作平行线通过构筑一条椭圆共轭弦，采用仿射几何方法转换为二条共轭直径。1) 作AB割线的切线极点N图 102) 作AF共轭直径(连接OA)，作CL共轭弦(平行AN) 图 113) 仿射几何构筑OE共轭半径图 12方法：作直径为AF的圆，过N点作MN垂直AF，作三角形MNL. 作KO垂直AF，过K点作MLDE 平行线，KE和OE延伸交于E点。依据仿射原理，可知，OE为椭圆的共轭半径。4) 构筑椭圆坐标主轴方向图 13方法：绕椭圆圆心O点，OE旋转90度，获得N点，连接NA连线，获得NA中点KK点为圆心，作任意半径的圆，与KO交于W点，与NA交于H、G点。. 则WC为长轴方向，HW为短轴

8、方向，完成椭圆坐标主轴方向确定。证明：分析OK线段的斜率与NA线段的斜率的关系（1）共轭直径的性质图 14 如果，点，椭圆共轭直径推理，则有， 对于点C分析，则有：， （2）共轭直径的椭心角为90 简单分析可以得到，C1OA190 图 15（3）共轭半径旋转90图 16 分析可以得知：，C点绕原点旋转90，则：， （4）图形分析研究图 17 问题1：延伸连线NK，与坐标轴交于U、V两点。要构筑椭圆坐标主轴方向的方法成立，只需证明1VOA1VOK=OVU=1，即证明OKV和ONU是等腰三角形，命题就成立。 现在，VOK=1 已经成立 ， 由于： ， 则：坐标，可以化为 分析NA线段的斜率：则：

9、， 等腰三角形图形成立，命题成立。问题2：K点为OA1与NA线段的交点，是不是位于NA线段的中点啊。 假如K为NA线段的中点，分析K、A1、O三点共线，就ok K点坐标，对于OK线段分析斜率： ，斜率相同，命题成立。四、确定椭圆长轴a和短轴b目标：已知椭圆心和坐标轴、已知椭圆上二点，确定椭圆长轴a和短轴b原理：运用极点和极线关系，构造自配极三角形，确定椭圆长轴和短轴位置。方法：利用椭圆上二点构造轴对称二点，构成椭圆内接四边形，连接对角线，获得交叉点和对边交叉点，运用二个极点的数学关系，完成长轴和短轴位置。 1）构造自配极三角形，寻找二个对偶极点图 18 E点为B点的轴对称点，N点为x轴与AE的

10、交叉点 令 ， 极点极线关系方程分析得知： （类似椭圆准线方程） 2）确定长轴a位置 连线QN， K为QN中点，以K圆心半径为KN画圆，过O点作圆K的切线E，以OE为半径原点O为圆心作一个圆，与 x轴交于F点，F点即为长轴a图 193）确定长轴b位置 利用切线方法，构造割线AB的极点N点，过N点作水平线交y轴于G点，延伸割线AB与y轴交于P点，连线PG， K为PG中点，以K圆心半径为KP画圆，过O点作圆K的切线R，以OR为半径原点O为圆心作一个圆，与y轴交于U点，U点即为短轴b图 20 参考文献：1 李建华.射影几何入门M，科学出版社，2011.62 徐文平.圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理J，数学学习与研究2014.133 徐文平.圆锥曲线切线的尺规作图简明方法 J，数学学习与研究2014.74 格拉祖诺夫.（徐良佐译）.轴测投影学M，人民教育出版社，19565 汪贵平.椭圆的椭心角和共轭直径的性质 J，中学数学月刊究，2010.5