新人教版九年级第21章一元二次方程全章导学案.docx

1、新人教版九年级第21章一元二次方程全章导学案新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程全章导学案 211一元二次方程（1）学习目标1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题2掌握一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)及有关概念学习重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项学习过程：一、激趣定标1、课本引言问题，导入。2、引入课题，并板书，展示目标二、自学互动（适时点拨）互动1 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，

2、然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为_，宽为_列方程_，化简整理，得_ 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为4728设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_个队各赛1场，所以全部比赛共_场列方程_28，化简整理，得_1.探究：(1)方程中未知数的个数各是多少？(2)它们最高次数分别是几次？归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是

3、_，只含有_未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_的方程2一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程互动2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_是二次项，_是二次项系数，_是一次项，_是一次项系数，_是常数项点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉三、测评训练：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视1判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x32

4、x250；(2)x21；(3)5x22xx22x； (4)2(x1)23(x1)；(5)x22xx21; (6)ax2bxc0.解：师点拨：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程2将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项解：去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得3x28x100.其中二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑1一元二次方程的概念以及怎样利用概念

5、判断一元二次方程2一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，特别强调a0. 本课课时安排数： 总课时数：211一元二次方程（2）学习目标1掌握一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)及有关概念2会进行简单的一元二次方程的试解，理解方程解的概念学习重、难点重点：一元二次方程的一般形式；一元二次方程解的探索难点：由实际问题列出一元二次方程；理解方程解的概念学习过程：一、激趣定标1、说出一元二次方程3x28x100的二次项系数、一次项系数、常数项2、一元二次方程的一般形式是，它有什么要求？3、板书课题，展示目标。二、自学互动（适时点拨）互动1 把下列方程化为一般形式？并说出二次项系数、一次项

6、系数、常数项。方式：生先自主完成，师巡视，后点评。(1) 2x23x5；(2)x21； (3)5x22xx22x； 解：互动2 下面哪些数是方程2x210x120的根？4，3，2，1，0，1，2，3，4.解：师点拨：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可三、测评训练：学生独立确定解题思路，小组内交流，并上台展示1、课本第4页练习第1题2若x2是方程ax24x50的一个根，求a的值解：x2是方程ax24x50的一个根， 0， 解得a .3根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x

7、；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1) (2) 四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑1一元二次方程的一般形式ax2bxc0(a0)，特别强调a0.2要会判断一个数是否是一元二次方程的根 本课课时安排数： 总课时数：212解一元二次方程直接开平方法(1)学习目标1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点、重点重点：运用开平方法解形如x2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想难点：通过根据平方根的意义解形如x2n(n0)的方程学习过程一、激趣定标1、复习一元二次方程的概念以及方程解的意义2、引入新课，板书课题，展

8、示目标。二、自学互动（适时点拨）互动问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：_1500，由此可得_，根据平方根的意义，得x_，即x1_，x2_可以验证_和_都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_dm.师点拨：在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了师生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方程能化成x2p

9、(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x互动2：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视解下列方程：(1)2y28；(2) 16x210；解：(1)2y28(2) 16x210师点拨：观察以上各个方程能否化成x2p(p0)形式，若能，则可运用直接开平方法解三、测评训练：1、用直接开平方法解下列方程：小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果 (1)36x210； (2)4x281; 解：(1)(2)2、课本第6页练习第（1）、（2）四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑1用直接开平方法解一元二次方程2理解“降次”思想3理解x2p(p0)，为什么p0? 本课课时

10、安排数： 总课时数：212解一元二次方程直接开平方法(2)学习目标1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能学习重点、重点重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想难点：通过根据平方根的意义解形如x2n(n0)的方程知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程学习过程一、激趣定标1、复习一元二次方程的概念以及方程解的意义2、引入新课，板书课题，展示目标。二、自学互动（适时点拨）互动问题：探究：对照上节课问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25及方程x26x94?方程(2x1)25左边是一个整式的平

11、方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_，即将方程变为_和_两个一元一次方程，从而得到方程(2x1)25的两个解为x1_，x2_在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了方程x26x94的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x_)24，进行降次，得到_ ，方程的根为x1 _，x2_.师生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方程能化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x或mxn.互动2 学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视解下列方程：(1)2(x8)250； (2

12、)4x24x10.解：(1) 2(x8)250 (2)4x24x10点拨：观察以上各个方程能否化成(mxn)2p(p0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解三、测评训练：1、用直接开平方法解下列方程自主讨论交流解题思路，派三位学生代表上黑板展示(1)(3x1)27; (2)y22y124；(3)9n224n1611.解：(1) （2） （3）师点拨：运用开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根2课本第6页练习第（3）、（4）、（5）、(6)四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑1用直接开平方法解一元二次方程2理解“降次”思想3理解(mxn)2p(p0)中，为什么p

13、0? 本课课时安排数： 总课时数：212.1解一元二次方程配方法(1)学习目标：1掌握配方法和推导过程2能使用配方法解一元二次方程学习重难点重点：掌握配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为形如(xa)2b的过程学习过程一、激趣定标1、若x2mx9是一个完全平方式，那么m的值是_2、引入新课，板书课题，展示目标。二、自学互动（适时点拨）互动问题：探究：怎样解方程x26x160?师精讲：对比这个方程与前面讨论过的方程x26x94，可以发现方程x26x94的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x26x160不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具

14、有上述形式的方程吗？解：移项，得x26x16，两边都加上_即_，使左边配成x2bx()2的形式，得_，左边写成平方形式，得_，开平方，得_，(降次)即 _或_，解一次方程，得x1_，x2_师归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程互动2：解下列方程：(1)x2-8x+10；(2) x216x90；解：(1) (2)师生归纳：利用配方法解方程时的步骤： (1)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (2)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(3)此时方程的左边是一个完全平方式，（4）然后利用平方根的定义把一元二次

15、方程化为两个一元一次方程来解三、测评训练：1解下列方程：(1)x26x50; (2)x26x20；解：(1)移项配方得由此可得即(2) (1)移项配方得由此可得即2.课本第9页第1和第2题第（1）、（2）小题四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑师：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式本课课时安排数： 总课时数：212.1配方法(2)学习目标：1会用配方法解数字系数的一元二次方程2掌握配方法的步骤，能使用配方法解一元二次方程学习重难点：重点：掌握配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为形如(xa)2b的过程学习过程：一、激趣定标1填空：(1)x28x_(x_)2；(

16、2)x212x_(x_)2；(3)x2px_(x_)2.2.回顾配方法解一元二次方程的解法步骤。引入新课，板书课题二、自学互动（适时点拨）互动1：解下列方程：(2)2x2+13x； (3)3x2-6x40.师引导学生看书后解答解：(2)(3)归纳：利用配方法解方程时应注意： (1)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(2)方程两边同时除以二次项系数a；(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)此时方程的左边是一个完全平方式，通过降次把一元二次方程化为两个一元一次方程来解三、测评训练1课本P9练习第2题的第（3）、（4）、（5）、（6）题2同步练习册第4页练习题四、课堂小结学生总结本堂

17、课的收获与困惑1用配方法解一元二次方程的步骤2用配方法解一元二次方程的注意事项本课课时安排数： 总课时数：212.2公式法（1）学习目标1. 知道求根公式的推导过程，了解公式法的概念。2.掌握根的判别式及求根公式学习重、难点重点：求根公式的推导和公式法的应用难点：一元二次方程求根公式的推导学习过程一、激趣定标1、回顾配方法解一元二次方程过程步骤2、引入新课，板书课题，展示目标。二、自学互动（适时点拨）互动1：用配方法配一元二次方程的一般形式ax2bxc0方式：先让学生看课本的推导过程，后师引导学生一起用配方法进行配方板书过程，并和学生交流讨论。推导后，熟记根的判别式，并指导运用利用判别式判定下

18、列方程的根的情况：(1)2x23x0; (2)16x224x90；(3)x24x90 ;解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；互动2 师讲解：(1)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b24ac0的前提下，把a，b，c的值代入x(b24ac0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根用公式法解下列方程：(1)x2-4x70 ; 解：(1)三、测评训练课本第12页练习第1题（1）四、小结学生总结本堂课的收获与困惑 用公式法解

19、一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b24ac的值、最后代入求根公式求解 本课课时安排数： 总课时数：212.2公式法（2）学习目标1. 了解公式法的概念2. 会熟练应用公式法解一元二次方程学习重、难点重点：求根公式的推导和公式法的应用难点：一元二次方程求根公式的推导学习过程一、激趣定标1、复习根的判别式，及求根公式的复习点拨：0时，有两个不相等的实数根；0时，有两个相等的实数根；0时，没有实数根2、引入本节课的内容，展示目标，板书课题。二、自学互动（适时点拨）互动1 课本的例2 用公式法解方程（1）5x2-3x=x+1 （2）x2+17=8x解：方式：先让学生自学课本的解答，

20、师再点拨讲解，师引导学生共同板书完成互动2 方程x24x40的根的情况是( )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根三、测评训练1、课本第12页练习第1题（2）（3）(4)(5)(6)2、同步练习册第5页第21.2降次解一元二次方程（三）练习四、小结本节课学习的主要内容（学生自己小结）本课课时安排数： 总课时数：212.3因式分解法（1）学习目标：1. 掌握因式分解法解一元二次方程的思路2. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程学习重难点重点：用因式分解法解一元二次方程难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想学习过程：一、激趣

21、定标1、将下列各题因式分解：(1)ambmcm ；(2)a2b2_；(3)a22abb2_2、引入新课，展示目标，板书课题二、自学互动（适时点拨）互动1 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即_ ，思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？分析：方程的右边为0，左边可以因式分解得：0，于是得 或 ，x1_，x2_上述解中，_表示物体约在2.04 s时落回地面，而x10表示

22、物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法(2)如果ab0，那么a0或b0，这是因式分解法的根据如：如果(x1)(x1)0，那么x10或x10，即x1或x1互动2 学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视说出下列方程的根：1、x(x8)0； 2、(3x1)(2x5)0.解：(1) (2)3用因式分解法解下列方程：(1)x24x0; (2)4x2490；解：(1) (2)三、测评训练1

23、、课本第14页练习第1题2、同步练习册第6页21.2降次解一元二次方程（四）的练习四、小结今天学习了什么内容？你有什么收获和困惑？ 本课课时安排数： 总课时数：212.3因式分解法（2）学习目标：1. 熟练运用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性学习重难点重点：用因式分解法解一元二次方程难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想学习过程：一、激趣定标1、直接说出方程：x(x-2)=0的根。2、因式分解法解下列方程：(1)x2x0; (2)4x290；2、本节课继续学习因式分解法，板书课题，展示目标二、自

24、学互动（适时点拨）互动1 例3解下列方程(1)x(x-2)+x-2(2)5x22xx22x； (3)3x212x12.学生先审题，讨论后尝试解题，师点拨解：(1) (2) （3）互动2 不解方程，判断下列方程适当用什么方法解。（1）4x2=16 (2)x2+2x=1 （3）4x2=11x(4)x2-5x-14=0学生先讨论判断，师纠正答：三、测评训练1用因式分解法解下列方程：（课本练习）(1)x2x0; (2)x22x0；(3)3x26x3; (4)4x21210；(5)(x4)2(52x)2.解：点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解成两个

25、一次式的乘积；(3)令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解2把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径3、同步练习册第7页第三解答题四、小结今天学习了什么内容？你有什么收获和困惑？本课课时安排数： 总课时数：213实际问题与一元二次方程(1)学习目标1会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题)中的数量关系列一元二次方程并求解2能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理3进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键学习重、难点重点：列一元二次方程解决实际问题难点：找出实际问题中的等量关系学习过程：一、激趣定标

26、1、 师：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。本节课继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。2、引入新课，板书课题，读本节课学习目标二、自学互动（适时点拨）互动问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有_人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_人，第二轮后共有_人患了流感则列方程：解得x_ 或x_，即平均一个人传染了_个人再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患

27、流感？师生归纳：列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题(2)“设”：即设未知数(3)“列”：即根据题中等量关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的根(5)“检验”：即验证根是否符合题意(6)“答”：即回答题目中要解决的问题三、测评训练：学生自主完成，小组讨论交流解题思路，并展示，点评，教师巡视1、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()Ax(x1)2550Bx(x1)2550C2x(x1)2550Dx(x1)25502师点拨分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x1)张相片，全班共送出x(x1)张相片，可列方程为x(x1)2550. 故选B.