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1、电大数学思想与方法复习资料docx数学思想与方法复习资料2013.6一，填空题（每题3分，本题共30分）1. 化归方法包含的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径。2. 算法的有效性是指，如果使用该算法从它的初始化数据出发，能够得到这一问题的正确 Mo3. 数学的研究对象大致可以分成两类：研究数量关系；研究空间形式。4. 一个科学的分类标准必须能够将需耍分类的数学对彖，进行不重复、无遗漏的划分。5. 根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识阶段、明朗化阶段和深刻理解阶段等三个阶 段，可相应地将小学数学思想方法数学设计成多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。6. 九章算术思想方法的特点是开放的川

2、纳体系算法化的内容模型化的方法7. 抽象的含义：抽象是对同类事物 抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属 性或特征的思维过程。& 在反例反驳屮，构造一个反例必须满足条件 （1）反例满足构成猜想的所有条件（2） 反例与构成猜想的结论矛盾。9. 化归方法的三个要素是一化归対象，化归目标，化归途径。10. 算法可分为多项式算法，指数型算法两大类.11. 任何分类都必须遵循下列原则：不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分12. 数学的研究对彖大致可以分成如下两类 确泄性现彖和随机性现彖13. 所谓特殊化是指在研究问题吋，从对象的个给定集合出发，进而考虑某个包含于该 集合的较小集合的思想方法的思

3、想方法。14. 小学数学思想方法教学的主要阶段是：形象抽象思维，即由具体形象思维向抽象逻辑 思维的过渡阶段.15. 三段论是演绎推理的主要形式，三段论由大前提，小前提，结论 组成。16. 学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。17. 面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或类比提出猜想，然后从两个方面人 手：演绎证明此猜想为真；或者 寻找反例说明此猜想为假 ，并且进一步修正或否 定此猜想。18. 变量数学产生的数学基础是解析几何 ，标志是 微积分。19. 化归方法是将疑难问题转化为己知问题。20. 公理方法是从尽可能少的

4、初始概念和公理出发，应用严格的 逻辑推理,使一门数学构 建成为演绎系统的一-种方法。21. 数学的第一次危机是由于出现了 无理数（或）而造成的。22. 数学猜想具有两个明显的特点： 科学性 与 推测性。23. 所谓社会科学数学化就是指数学向 社会科学 的滲透,运用数学方法來揭示 _社 会现象的一般规律。24. 分类必须遵循的原则是 不重复；无遗漏；标准同 。25. 深层类比又称实质性类比，它是通过 对被比较对彖的处理相互依存的各种相似属性之 间的多种因果关系的分析而得到的类比。26. 儿何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它 学科，并且促进它们的发展。27. 随机

5、现象的特点是任一足条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。28. 等腰三角形概念的抽象过程，就是把-个新的特征：两边相等,加入到三角形概念中去, 使三角形概念得到强化。29. 类比法是指，由一类事物所具有的某种屈性，对以推测与其类似的事物也具有这种屈性 的一种推理方法。30. 面对一个问题，经过认真的观察和思考，通过归纳或者类比提出猜想，然后从两个方面 入手：演绎证明此猜想为真；或者寻找反例说明此猜想为假,并目.进一步修正或否定此猜想。二、判断题（每题4分，本题共20分）1. 中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。错误，屮国古代数学屮使用的数学方法是开放的归纳体系2. 几何原本是人

6、类历史上最早的演绎的公理化体系。正确儿何原本是人类历史上最早形成的演绎体系，是公理体系在具体学科屮应用成功的标 志，并以此为开端的。3. 微积分的建立标志着变量数学的诞生。正确4. 完全归纳法的一般推理形式是：设S二 A, A2,-, An, 由于A|具有属性p, A?具有属性p,An具有属性p,因此推 断集合S中的每一个对象都具有属性p。错误此题给出的是不完全归纳法的定义5. 如果某一问题存在算法，并且进一步构造出这个算法，就一定能够求出该问题的解。 错误如果某一问题存在算法，并进一步构造出这个算法，也不一定能够求出该问题的解6. 数学模型方法是近代才产生的。（否 ）7. 在小学数学教学中，

7、本教材所涉及到的数学思想方法并不多见。（ 否 ）8. 所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集 合的较小集合的思想。（是 ）9. 既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识。（ 是 ）10. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。（ 是 ）11. 九章算术不包括代数、几何内容。（否）12. 抽象和概括是两种完全不同的方法。（否）13. 没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。（是）14. 数学模型方法是物理学、工程学的专利，在生物学、经济学、军事学等领域没有应用。 （否）15. 在解决数学

8、问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能奏效.（是）16. 计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。（是）17. 一个数学理论体系内的每一命题都是必须给出证明。（否）18. 如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。（否）19. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。（是）20. 数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思想 方法教学目标。（否）21. 九章算术不包括代数、儿何内容（否）22. 既没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识（是）23. 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以

9、得到不同的分类（是）24. 特殊化是研究共性中的个性的一种方法（否）25. 数学模型方法应用面很窄（否）26. 随机现象就是杂乱无章的现象，无论是个别还是整体，其随机现象都没有规律性。（X）27. 数学学科的新发展一一分形几何，英分形的思想就是讲某一-对象的细微部分放大后，英 结构与原先的一样。（丁）2&我国中小学数学成绩举世公认，“高分必然产生高创造力”，我国中学生的科学测试成绩 名列前茅。（X）29我国数学课程标准指；11。数学知识就是“数与形以及演绎的知识”。（V）30.数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线，而且是两条明线。（X）三、简答题（每题10分，本题共30分）1. 简述

10、确定性现象、随机现象的特点以及确定数学的局限确定性现象特点：在一定条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存 在其他可能。即这种现象在一定的条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果 随即现象的特点：在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。确定数学的局限性：随机现象并不是杂乱无章的现象，就个体而言，似乎没什么规律存在, 但当同类现象大量出现时，在总体上却呈现出一种规律性，但是确定数学无法定量地揭示这 种规律性2. 简述数学建模的基本步骤。数学建模的方法和步骤是：弄清实际问题：包括了解问题的实际背景知识，从屮提取有关的信息，明确要达到的目标。 化简问题：根据

11、问题的特点和目的，做出某种核力的假设，舍弃一些次要因素，从而使问题 得以化简。建模：在假设的基础上，抓住主要因素和有关量之间的关系进行抽彖概括，运用适当的数学 工具刻画变量之间的数量关系，建立起相应的数学结构求解：对所得的模型在数学上进行推理或演算，求出数学上的结果检验：把数学上的结论返回到实际问题中。若模型与实际比较温和，则对所得结果给出实际 含义，并进行解释。倘若经过检验与实际不符，就必须对所得模型加以修正，重复前面的建 模过程。3. 什么是类比猜想?并举一个例子。人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出其类似的事物也具有这种属性的一 种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比

12、猜想分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已，因此，我们可以猜想，分式与分数在定 义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。事实也如此。4. 简述概括与抽象的关系。答：概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一 些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽彖得到的新概念与表述原來的对象 的概念Z间不一定有种属关系。概括是在思维中市认识个别事物的本质属性，发展到认识 具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是 表述概括对象概念的一个属概念。概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。 抽象是概括的基

13、础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是 抽 象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人 就把“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过 程。评分标准：答对，得3分；答对，得3分；(3) 答对，得4分；(4) 完整答出，得10分。5. 简述培养数学猜想能力的途径。答：猜想能力培养可以通过数学教学，女口：新知识的学习、数学规律的寻求、解题思 路的探索等途径来实现。评分标准：(1) 答对，得3分；(2) 答对，得3分；(3) 答对，得4分；(4) 完整答出，得10分。6. 微积分产生可以归结为哪四类情况？答：这

14、些问题归结到数学上主要有如下四类情况。1 第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，己知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。 2 第二类是：求曲线切线的斜率和方程。3 第三类是：求函数的最大值与最小值。4 第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量一一变量一一问题。评分标准：(1) 答对，得2. 5分；(2) 答对，得2. 5分；(3) 答对，得2. 5分；(4) 答对，得2. 5分；(5) 完整答出，得10分。7. 为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？1 几何原本以少数原始概念和公设、公里为基础

15、，运用逻辑规则将当时所知的几何学中 的主要命题(定理)全部推演出來，从而形成一个井然有序的整体。在这个体系中除了逻辑 规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公里或前面己证明的定理，并且引入的概 念(除原始概念)也基本上符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。2 另外，儿何原本回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，对社会生活的各个领 域来说也是封闭的。因此，几何原本是一个相对封闭的演绎体系。&简述计算机在数学方面的三种新用途。第一，用来证明一些数学命题；第二，用来预测某些数学问题的可能结果；第三，用来验证 某些数学问题的结果的正确性9. 试用框图表示出珈I方法解题的基本步骤。MM方法解题的基本步骤可用框图表示为：10. 简述化归方法在数学数学屮的应用。化归方法在数学数学中的应用至少有以下三个方面：2 利用化归方法学习新知识；2 利用化归方法指导解题；3 利用化归方法整理知识结构。11. 试对九章算数思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。答：九章算术在每一章内都先列举若干实际问