完整版专题三导数与三次函数.docx

1、完整版专题三导数与三次函数专题三导数与三次函数三次函数f x ax3 bx2 ex d （ a、b、c、d R且a 0 ）是中学数学利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的一个重要载体，是应用二次函 数图象和性质的好素材，既可以整合函数图象和性质、不等式、方程、导数等 相关知识，完善知识结构，又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国 各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、 在闭区间上的最值、对参数的取值范围的探究等函数性质，凸显“在知识网络 交汇点上”命题的理念。例1、已知函数f x x3 3x求函数f x的单调区间及极值；求f x在0,3上的最值。解：令

2、f x 3x2 3 0 x, 1,x2 1x、f x、f x的变化情况如下表x,1-1(-1, 1)11,f x+00+f x/极大值、极小值 f x的单调递增区间是 ，1和1,f x的单调递减区间是 1,13当x 1时，f x有极大值f 1 13 12当x 1时，f x有极小值f 1 13 3 1 2 f 0 0， f 3 33 3 3 18v f x在0,3上只有一个极值点f 1 2 f x在0,3上的最小值为一2,最大值为18变式一、已知函数f x x3 3x2 3x，其他不变解：f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 f X在 ， 单调递增，f x没有极值f x在0,3上的最小值

3、为f 0 0，最大值为f 3 63变式二、已知函数f x x3 x2 3x ;其他不变解：f x 3x2 2x 32 2 4 3 3 20 0 f x 0没有实数根 f x 0在R上恒成立- f x在 ， 上单调递增，f x没有极值f x在0,3上的最小值为f 0 0，最大值为f 3 45变式三、已知函数力t, y x3 3x ,实数t为何值时，函数力与y的图象的 交点有一个、二个、三个？解：由例1画出函数y2的大致图象如图，观察图象，可得解：令 f x 3x2 3 0 Xi 1,X2 1x、f x、f (x)的变化情况如下表X,1-1(1, 1)11,fX+00+f(x)/极大值极小值/f(

4、X)的单调递减区间是 1,1当X 1时，f X有极大值f当X 1时，f X有极小值f 1要使f(X)有一个零点，需且只需 要使f(X)有二个零点，需且只需 要使f(X)有三个零点，需且只需31 1 3 1 a a 213 3 1 a a 2a 2 0，解得a 2a 2 0a 2 0，解得a 2a 2 0a 2 0，解得 2 a 2a 2 0f(x)的单调递增区间是 ，1和1,变式五、已知函数f x X3 3X,a 0，如果过点A a,2可作曲线y f x的三条切线，求a的取值范围解：设切点为x0, y0，则f x 3x2 3切线方程 y y0 f x0 x x0 即 y 3x 3 x 2x0切

5、线过点 A a,2 2 3xo 3 a 2x3即 2x3 3ax2 3a 2 0设 g xo 2x； 3axo 3a 2，则 g x 6x0 6ax 6x x a当X。变化时，g xo、g xo的变化情况如下表Xo ,00 0,aaa,g Xo +0 -0+g Xo 产极大值3a 2 极小值a3 3a 2/由单调性知：若极大值3a 2 0或极小值a33a 2 0，方程gx0 0只有一个实数根；若3a 2 0或a3 3a 2 0，方程g x。 0只有两个相异的实数根，综上，要使方程g xo 0有三个相异的实根，须且只须若a2a 0a 1时，函数f x的图象与x有且只有一个交点。 x2 2则1 2

6、XjX2 ax 0有两个不相等的实根，不妨设为人、X2且人X2，当X变化时，f X、f X的取值变化情况如下表X,X1X1X1,X2X2X2,f X+0一0+f X/ J极大值f Nxl极小值f x2/ J2 2x1 2x1 a 0 /. a x1 2x11 3 1x1 a 2 x1 x1 x1 3 a 23 31 2同理 f x2 x2 x2 3 a 2a g a2 3 a 2931229X-IX2 X-I3 a2 x2 3 a21222 2-XX2x1x23 a 2 X1x2 9 a 29X1 g f X222x2X1X29 a-a a2 3a 39令f咅g f x2 0，解得a 0当 0

7、 a 1 时，f 0 a 0, f 3 2a 当0 a 1时，函数f x的图象与x轴 有且只有一个交点 f x的大致图象如图所示：综上所述，a的取值范围是0,综合练习题1、已知函数f x ax3 bx2 ex在点xo处取得极大值5,其导函数y f x的图象经过点1,0 ， 2,0 ;如图所示，求：xo的值；a、b、e的值。（2006北京）解：由数形结合可知当1 x 2 时，f x 0; f x在1,2上递减当 x 1 或 x 2 , f x 0, f x在 ,1和2, 上递增当x X。1时，f X有极大值解法一、fx3ax2 2bx ef1 3a 2b e 0由已知，得f2 12a 4b e

8、0f1 a b e 5a 2解得b 9e 12解法二、由数形结合可设f xm x 12x 2 mx 3mx 2m又f2x 3ax2bx em-a 32、若函数3m229,c 2m 121 ax a21 x 1在区域1,4内为减函数，在区间2m 5f x x2axa 1令f x0解得x1 1，x2 ai 1当a 11即a2时，f x在1,上为增函数，不合题意当a 11即a2时，函数f x在,1上为增函数，在减函数，在；a 1,上为增函数，依题意应有：当x1,4 时,f x0，当x 6,时，f x 0所以4a 16，解得5a 7综上，a的取值范围是5,7上为增函数，试求实数（2004全国卷）6,解

9、:1, a 1内为a的取值范围。3、已知函数f x ax3 bx2 3x在x 1处取得极值,讨论f 1和f 1是函数f x的极大值还是极小值;过点A 0,16作曲线y f x的切线，求此切线方程。（2004天津）Q解：f x 3ax 2bx 3，依题意有a 1 3解得 f x x 3xb0f x 3x2 3 3 x 1 x 1令 f x 0 得 x1 1 ， x2 1若 x , 1 U 1, ，贝U f x 0 f x 的单调递增区间为 , 1 和 1,若 x 1,1，贝U f x 0 f x 的单调递减区间为 1,1所以， f 1 2是极大值， f 1 2是极小值曲线方程为 y x3 3x

10、，点 A 0,16 不在曲线上，设切点为 M x0,y0 ，贝点 M 的坐标满足 y0 x03因 f x0 3 x02 1 ，故切线方程为 y y0 3 x02点A在切线上 16 x03 3x0 3 x02 1 0 x0解得 x0 2切点为 2, 2 ，切线方程为 9x y 16 0变式：若第小题A 0,16改为1, 2，其他不变。3x01 x x03 22xo 3xo 1 02x0 1 2x0 1 0Xo 1 或 x求a、b的值及函数f x的单调区间;若对x 1,2，不等式f x c2恒成立，求c的取值范围。（2006江西）解：f x 3x2 2ax b，依题意，得r 2 1241fab 0

11、 a3 93，解得a2f 1 3 2ab0b2f x 3x2x23x 2 x 1x变化时，f X、f x的变化情况如下表x2J323i11 1,x+0一0 +x极大值、极小值所以fx的递增区间为 ，2与1,2，递减区间为 -,133f x3 1 2 _x x 2xc， x1,22 22当x -时，fx - c为极大值，而f 2 2 c2 c为最大值要使f x c ,x 1,2恒成立只须c2 f 2 2 c解得c 1或c 2思考：若x 1,2变为x 1,2 , c的取值范围怎样？4、已知函数f x ax3 cx d a 0是R上的奇函数，当x 1时，f x取得极值2，求f x的单调区间和极大值；

12、证明：对任意 x1，x2 1,1，不等式f x, f x2 4恒成立。解：由奇函数的定义，应有 f x f x ， x R即 ax3 cx d ax2 cx d d 0注意：可用f 0 0 d 0因此，f x ax cx由条件f 1 2为f x的极值，得f 10 阳 3a c0即f 12 a c2解得a1，c 3 f xx3 3x f2x 3x 3 3x1 x 1f 1f 1 0当x,1 时，f x0，故f x在单调区间 ，1上为增函数当x1, 1 时，f x0，故f x在单调区间 1,1上为减函数当x1, 时，f x0，故f x在单调区间1,上为增函数所以f x在x 1处取得极大值，极大值为

13、f 1 2证明：由知，f x x3 3x , x 1,1是减函数且f x在 1,1上的最大值为M f 1 2f x在 1,1上的最小值为N f 1 2J内有极.值点，求衣c的取值范围。（2004湖北）依题意，令fxg x，得2xb 11 b x2由f1 bg1 1b，得b214c22V b1,c0b12匸F xf xggxx3 2bx2b2c xbc Fx 3x24bxb2 c令Fx 0即3x：2 4bx b2c0则厶16b212b2c 4 b23c若0，则Fx0有一实根上，且x变化时，F x的变化如下相切。求b与c的关系式（用c表示b ）;设函数FxXo解:x f x gg x 在若 0，则F x0有两个不等的实根为,x?X1 X2x变化时，f x的变化如下x,X1x1 x1, x2x2 x2,f x+0 -0 +由此，xx,是函数Fx的极大值点，xX2是函数F x的极小值点综上所述，当且仅当0时，函数F x在，上有极值点由 4 b2 3c 0,得b . 3c 或 b . 3cv b 1 2.C 1 2jc /3 c 或 1 2、,c J3c解得 0 c 7 4-一3或 c 7 4.3故所求c的取值范围是 0,7 4乜 U 7 4,3,