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1、高中数学必修3126指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数，当x从2变到3，y2x到y10x的纵坐标增加了多少？答案23224,103102900，即同样是x从2变到3，y2x与y10x的纵坐标分别增加了4和900.梳理当a1时，指数函数yax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快当a1时，对数函数ylogax是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快当x0，n1时，幂函数yxn是增函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就越快知识

2、点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y2x，yx2和ylg x的纵坐标增长了多少？答案210211 02421 022,1021299，lg 10lg 11，即同样是x从1变到10，y2x，yx2和ylg x 的纵坐标分别增加了1 022,99和1.梳理一般地，在区间(0，)上，尽管指数函数yax(a1)、幂函数yxn(n0)与对数函数ylogax(a1)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数yxn(n0)的增长速度，而对数函数ylogax(a1)的增长速度越来越慢，因此总会存在一个x

3、0，当xx0时，就有logaxxn1，n0)1先有实际问题，后有模型()2一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测()3增长速度越来越快的一定是指数函数模型()4由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意xR恒有axx2(a1)()类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f(x)2x和g(x)x3的图像如图所示设两函数的图像交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图像上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2 017)g(2 017)又g

4、(2 017)g(6)，f(2 017)g(2 017)g(6)f(6)反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时，函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化，图像越陡，增长越快跟踪训练1函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图像如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较考点题点解(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)类型二函数增长模型的应用

5、例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？考点题点解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN)进行描述要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析画出三个函数的图像，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同可以

6、看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累计的回报数列表如下： 天数回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280

7、360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变(恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律跟踪训练2某公司为了实现1 000万元的利润目标，准

8、备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？考点题点解作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像(如图)观察图像发现，在区间10,1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图像始终在y5和y0.25x的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求.1当x

9、越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()Ay3x Bylog3xCyx3 Dy3x考点题点答案D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D.2当a1时，有下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是()A B C D考点题点答案B3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图像大致是()考点题点答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意得，ax

10、a(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图像大致为D中图像4当2x0，q1)；f(x)logpxq(p0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.考点题点答案x28x17三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快.一、选择题1

11、下列函数中，增长速度最慢的是()Ay6x Bylog6xCyx6 Dy6x考点题点答案B解析对数函数增长的速度越来越慢，故选B.2下面对函数f(x)logx与g(x)x在区间(0，)上的衰减情况的说法正确的是()Af(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快Bf(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢Cf(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢Df(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快考点题点答案C解析在区间(0，)上，指数函数yax(0a1)和对数函数ylogax(0a1，n0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是_考点题点答案a

12、x解析由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知axxnlogax.10.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：yat(t0，a0且a1)的图像有以下叙述：第4个月时，残留量就会低于；每月减少的有害物质量都相等；若残留量为，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1t2t3.其中所有正确叙述的序号是_考点题点答案解析根据题意，函数的图像经过点，故函数为yt.易知正确三、解答题11大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵记鲑鱼的游速为v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现v与log3成正比，且当Q900时，v1.(1

13、)求出v关于Q的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数考点题点解(1)设vklog3，当Q900时，v1，1klog3，k，v关于Q的函数解析式为vlog3.(2)令v1.5，则1.5log3，Q2 700，当一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位12国庆黄金周及其前后是旅游旺季某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天(tN)的部分数据如下表：天数t(单位：天)1381215日经济收入Q(单位：万元)218248288284260(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变

14、化关系：Qatb，Qt2atb，Qabt，Qalogbt，并求出该函数的解析式；(2)利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天，并求出最高日经济收入考点题点解(1)由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为单调函数，而Qatb，Qabt，Qalogbt三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以选取二次函数进行描述最恰当将(1,218)，(8,288)代入Qt2atb，可解得a19，b200.所以Qt219t200(1t20，tN)(2)Qt219t200，因为1t20，tN，所以t9或10时，Q取得最大值290万元四、探究与拓展13我们知道：人们对声

15、音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L110lg (单位为分贝，L10，其中I011012 W/m2，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？考点题点解(1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L210lg10lg 10(分贝)；耳语的强度水平为L310lg10lg 10220(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L410lg10lg 10440(分贝)(2)由题意知0L150，即010lg50，所以1105，即11012I1107.所以新建的安静小区的声音强度I的范围为11012,1107)