高中数学直线与平面的夹角题库.docx

1、高中数学直线与平面的夹角题库3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性 .2.会求直线与平面的夹角 .3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面 角的平面角 .4.掌握求二面角的基本方法、步骤知识点一 直线与平面所成的角 1直线与平面所成的角2最小角定理知识点二 二面角及理解 1二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角如图所示，其中，直线 l 叫做二面角 的棱，每个半平面叫做二面角的面

2、，如图中的 ， .(2)二面角的记法：棱为 l，两个面分别为 ， 的二面角，记作 l .如图， A ，B ， 二面角也可以记作 Al B，也可记作 2l.(3)二面角的平面角：在二面角 l 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OAl，OBl，则 AOB 叫做二面角 l 的平面角，如图所示由等角定理知，这个平面角与 点 O 在 l 上的位置无关(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角(5)二面角的范围是 0 ， 1802用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角 l 的面 ，内，并沿 ，延伸的方向，作向量 n1l， n2l， 则 n1， n2等于该二面角的

3、平面角1 直线与平面所成的角 与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角 互余 ( )3二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小 ( )题型一 求直线与平面的夹角例 1 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求 AC1与侧面 ABB1A1 所成 的角解 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A（0,0,0），B（0，a,0），A1（0,0， 2a）， C1 23a， 方法一 取 A1B1 的中点 M， 则 M 0，a2， 2a ，连接 AM，MC 1，则MC 1 23a，0，0 ，AB（0，a,0），AA1（0,0， 2a）MC 1AB0，MC1AA10

4、， MC 1AB ， MC 1 AA1， 则 MC1AB，MC1 AA1.又 AB AA1 A， MC 1平面 ABB1A1. C1AM 是 AC1 与侧面 ABB1A1所成的角AC22 a 2 9a 1AM 0 2a2449a2又直线与平面所成的角在 0 ， 90范围内， AC1与侧面 ABB1A1 所成的角为 30.方法二 AB（0，a,0），AA1（0,0， 2a）， AC1 设侧面 ABB1A1 的法向量为 n（，y，z）， nAB 0且 nAA10.ay0且 2az0.yz0.故n (， 0,0) cosAC 1，n nAC1|n|AC1|，2|， |cos AC 1，n|12.又直

5、线与平面所成的角在 0 ， 90范围内， AC1与侧面 ABB1A1 所成的角为 30.反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标 系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求 平面法向量与斜线夹角，再进行换算跟踪训练 1 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面为直角梯形， AD BC， BAD 90，PA 底面 ABCD，且PAADAB2BC，M，N分别为 PC，PB的中点，求 BD与平面 ADMN 所 成的角 .解 如图所示，建立空间直角坐标系 Axyz，设 BC 1，则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2

6、,0)，P(0,0,2) 则 N(1,0,1) ，BD(2,2,0)，AD(0,2,0)，AN (1,0,1)，设平面 ADMN 的法向量为 n（x，y， z），n（1,0， 1）， cosBD ，nBDn 2 1|BD |n| 82 2 sin |cosBD ，n|12.又 0 90， 30.题型二 求二面角例 2 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中， AB AC，PA平面 ABCD ，且 PAAB，E 是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角解 方法一 如图，以 A 为原点，分别以 AC，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Axy

7、z. BA CD ，设 PAABa，ACb，连接 BD 与 AC，交于点 O，取 AD 中点 F，连接 EF，EO，FO ，则D(b， a,0)，P(0,0， a)，E b2， 2a，a2 ，O b2，0， 0 ，C(b,0,0)，B(0，a,0)OE 0， a2，2a ，AC (b,0,0)OEAC0，OEAC，OF21BA 0， a2，0 ， OFAC 0. OFAC.EOF 等于平面 EAC与平面 ABCD 的夹角 OE OF 2cos OE， OF 2 .|OE|OF| 2 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45. 方法二 建系如方法一， PA 平面 ABCD，AP （0,0，

8、a）为平面 ABCD 的法向量，AE b2， a2，a2 ，AC（b,0,0）设平面 AEC 的法向量为 m （x， y，z）mAE 0，由mAC 0，baa2x2y2z0得 2 2 2 bx0. x 0， y z. 取 m (0,1,1) ，又平面 EAC 与平面 ABCD 所成角的平面角为锐角， 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.反思感悟 （1）当空间直角坐标系容易建立 （有特殊的位置关系 ）时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两 法向量的夹角的大小就是二面角的大小 （相等或互补 ），但我们可以根据图形观察得到

9、结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的 （2） 注意法向量的方向：一进一出，二面 角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 跟踪训练 2 若 PA平面 ABC， ACBC， PA AC1，BC 2，求锐二面角 A-PB-C 的余 弦值解 如图所示建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0,0,0），B（ 2，1,0），C（0,1,0）， P（0,0,1），故AP（0,0,1），AB（ 2，1,0），CB（ 2，0,0），CP（0， 1,1）， 设平面 PAB 的法向量为 m（x，y，z），mAP 0， 则mAB 0，z0，即2xy 0，令 x1，则 y 2，故 m（1，

10、 2， 0）设平面 PBC 的法向量为 n （x ， y ，z），nCB0， 则nCP0，2x0，即y z0.令 y1，则 z 1，故 n（0， 1， 1）， cosm，mn 3n .|m|n| 3 .锐二面角A PBC 的余弦值为 33.题型三 空间角中的探索性问题例3 如图，在四棱锥 PABCD 中， ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD.(1)求证： ABPD ；(2)若 BPC 90，PB 2，PC2，问 AB 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求 此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值(1)证明 因为 ABCD 为矩形，所以 ABAD ； 又因为平面 PAD

11、平面 ABCD ， 平面 PAD平面 ABCD AD， AB? 平面 ABCD ， 所以 AB平面 PAD ，故 ABPD.(2)解 过点 P 作 POAD 于点 O.则 PO平面 ABCD ，过点 O 作 OMBC 于点 M， 连接 PM.则 PM BC，因为 BPC90， PB 2，PC2，设 ABt，则在 Rt POM 中，所以当 t2 23，即 t 36时，此时 POAB 36，且 PO， OA，OM 两两垂直，3以 OA，OM ， OP 所在直线为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，所以PD 236，0， 36 ，设平面 PCD 的法向量为 m（x1， y1， z

12、1），mPC0， 则mPD 0， 2x1 y1 z1 0，即2x1z10，令 x1 1，则 m（1,0， 2），|m| 5；同理设平面 PBC 的法向量 n（x2， y2， z2），nPC0，nPB 0， 2x2 y2 z2 0， 即x2y2z2 0， 令 y2 1，则 n（0,1,1），|n| 2，105设平面 PBC 与平面 DPC 的夹角为 ，显然 为锐角，所以 cos |mm|nn| 5 2 反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证， 推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在 问题转化为点的坐标是否有解的问题

13、来处理跟踪训练 3 如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直， AA1 AB AC1，且AB AC，点 M 是 CC 1的中点，点 N是 BC的中点，点 P 在直线 A1B1上，且满足 A1PA1B1.(1)证明： PNAM ； (2)当 取何值时，直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大？并求该角最大值的正切值(1)证明 以 A为坐标原点， AB，AC，AA1所在直线分别为 x轴，y 轴， z轴，建立空间直角 坐标系 Axyz，则 P( ， 0,1)，N 21，12， 0 ，M 0， 1，21 ， 1 1从而PN 2，2， 1 ，AM 0，1，21 ，PNAM 1202111

14、21 0， 所以 PNAM.(2)解 过点 P 作 PE AB 于 E，连接 EN， 则 PE 平面 ABC，则 PNE 为所求角 ，PE 1所以 tan PEEN E1N， 因为当点 E 是 AB 的中点时， ENmin1 所以 (tan )max2， 此时， 2.利用向量求二面角典例 如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形， AF 2FD， AFD 90，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60.(1)证明：平面 ABEF EFDC ；(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值考点 向量法求平面与平面所成的角题点 向量法求平面与平面所成

15、的角(1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EFDC ，又 AF? 平面 ABEF，故平 面 ABEF平面 EFDC .(2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF .以 G 为坐标原点， GF的方向 为 x 轴正方向， |GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故 DFE60，则 DF2，DG 3，可得 A(1,4,0)， B(3,4,0)， E(3,0,0)， D(0,0， 3)由已知 ABEF，AB?平面 EFDC ，EF? 平面 EFDC，所以 AB平面 EFDC ，又平面

16、 ABCD 平面 EFDC CD ，故 ABCD，CDEF， 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC ，所以 CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角， CEF60，从而可得 C( 2,0， 3)所以EC (1,0， 3)，EB(0,4,0)，AC(3， 4， 3)，AB(4,0,0)nEC0，设 n(x， y， z)是平面 BCE 的法向量，则 nEB0，x 3z 0，即 所以可取 n (3,0， 3)4y0.mAC 0，设 m 是平面 ABCD 的法向量，则mAB0.n m 2 19同理可取 m(0， 3， 4)，则 cos n，m |nn|mm| 21919.故二面角 E-BC-A 的余

17、弦值为2 19.19 .素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基 础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台第 (1) 问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂 直等基础知识的考查，题目比较简单求解第 (2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解 决问题答案 CAC1A1D 11 0.AC1A1B，AC1A1D，又 A1BA1D A1，AC1 平面 A1BD.AC1是平面 A1BD 的法向量6.3.直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为3已知两平面的法向量分别为 m (0,

18、1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为 答案 45或 135解析 设二面角的平面角为 ，4正四面体 ABCD 中棱 AB 与底面 BCD 所成角的余弦值为 答案 33解析 作 AO底面 BCD，垂足为 O， O 为BCD 的中心，设正四面体的棱长为 a，则 OB5已知点 A(1,0,0)， B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为答案27解析AB（1,2,0），AC（1,0,3）设平面 ABC 的法向量为 n （x，y，z）由 nAB 0，nAC x 2y 0， 20 知 令 x2，则 y 1，z . x 3z 0. 3平面 ABC

19、 的法向量为 n 2，1，23 .平面 xOy 的法向量为 OC （0,0,3） 所以所求锐二面角|nOC| 2 2的余弦值 cos 7 7.|n|OC| 3 73 71线面角可以利用定义在直角三角形中解决2线面角的向量求法：设直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线与平面所成的角为|an| ，则 sin |cos a， n| .|a|n|3二面角通常可通过法向量的夹角来求解， 但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系、选择题 1若直线 l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于 （A.6 B.3 C.56 D 以上均错 答案 B 解析2直线 l1

20、，l2的方向向量分别是 v1，v2，若 v1与 v 2所成的角为 ，直线 l1，l2 所成的角为 ，因而 cos |cos |.3已知在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则 CD与平面 BDC1所成角的正弦值是 （ ）A.2 B. 3 C. 2 D.1A.3 B. 3 C. 3 D.3 答案 A解析 以 D 为原点，分别以 DA ，DC，DD 1为 x轴，y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.设 AA12AB 2， 则 B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)， 故DB(1,1,0)，DC1(0,1,2)，DC(0,1,0)， 设

21、平面 BDC1 的法向量为 n(x，y，z)，nDB0， xy0，则 即nDC10， y2z 0， 令 z1，则 y 2，x2， 所以 n (2， 2,1)设直线 CD 与平面 BDC 1所成的角为 ，2.3.则 sin |cosn， DC | |nDC|n|DC|坐标系 Cxyz，则 AB1 与 ED1 所成角的余弦值为 ( )B. 510答案 A解析 A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)， AB1(0， 2,2)，ED1(0,1,2)， |AB1| 2 2，|ED 1| 5，AB1ED10242，AB1与 ED1 所成角的余弦值为 1100.5在边长为

22、 1的菱形 ABCD 中， ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD1， 则二面角 BAC D 的余弦值为 ( )答案 A解析 设菱形对角线 AC 与 BD 交于 O 点，则 BOD 为二面角 BACD 的平面角， 由余弦1定理可得 cos BOD3.36A，B 是二面角 l 的棱 l 上两点， P 是平面 上一点， PBl 于 B，PA 与 l 成 45角，PA 与平面 成 30 角，则二面角 l 的大小是 ( )A30 B60 C45 D 75答案 C解析 如图，作 PO于 O，连接 AO，BO，则PAO 为 PA 与平面 所成角， PBO 为二 面角 l的平面角，由 PAO

23、30，PAB45，取 PA2a，则 POa，PB 2a， sin PBOPO 2， PBO 45.PB 2二、填空题7平面 的一个法向量 n1 (1,0,1) ，平面 的一个法向量 n2(3,1,3)，则 与 所成的角 是 答案 90解析 由于 n1n2 (1,0,1) (3,1,3)0，所以 n1n2，故 ， 与 所成的角是 90.8若二面角内一点到两个面的距离分别为 5 和 8，两垂足间的距离为 7，则这个二面角的大小是 答案 60或 120解析 设二面角大小为 ，由题意可知222|82 5272| 6425 49 1|cos | 285 80 2，所以 cos 12，所以 60或 120

24、.9在矩形 ABCD 中，AB1，BC 2，PA平面 ABCD，PA1，则PC与平面 ABCD 所成 的角是 答案 30解析 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 P(0,0,1)，C(1， 2，0)， PC(1， 2，1)，平面 ABCD 的法向量为 n (0,0,1)，所以 cos PC ， n所以 PCn 120 ，所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成的角为 60，所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 30.10在正三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，底面边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成 的角是 .答案 6解析 在正三棱柱 ABC

25、A1B1C1 中，取 AC 的中点 O，连接 OB，OBAC，则 OB 平面 ACC1A1， BC 1O 就是 BC1 与平面 AC1 所成的角 OB 23， BC1 3， sinBC1O OB 1，1 BC1 2 BC1O .6三、解答题11二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂 直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD 2 17，求该二面角的大小解 由题意知， CA AB0，ABBD0，CDCAABBD， 2 2 2 2 |CD|2|CA|2|AB|2 |BD|22CAAB2ABBD2CABD 624282268cosCA，BD (2

26、 17)2.cosCA，BD 12，又 CA ，BD 0 ，180，CA ，BD 120，面角的大小为 60.12.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD平面 ABCD.PDDC ，E 是 PC 的中点求 EB 与平面 ABCD 夹角的余弦值解 取 CD 的中点 M，则 EM PD， 又PD 平面 ABCD ，EM平面 ABCD ，BE 在平面 ABCD 上的射影为 BM ， MBE 为 BE 与平面 ABCD 的夹角如图建立空间直角坐标系 Dyxz，设 PD DC 1，则 P(0,0,1)， C(0,1,0)，B(1,1,0)，M 0，12，0 ， E 0，21，12 ，BE 1， 21，12 ，BM 1，12，0 ，(1)证明： BC1平面 A1CD ；(2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值设平面 A1CD 的法向量为 n (x， y，z)，则 nCD0 且 nCA1 0，可解得 y x z，令 x1， 得平面 A1CD 的法向量为 n （1， 1， 1），同理可得平面 A1CE 的法向量为 m （2,1 ， 2），3则 cosn， m 33，3又因为 n，m0 ，180， 所以 sin n， m 36， 所以二面角 D-A1C-E 的正弦值为 36.14.如图所示，已知点 P为菱形 ABCD 外一点，且 PA平面 A