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1、高考数学 考点单元复习教案2021年高考数学 考点单元复习教案19考纲导读1掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系2会用二元一次不等式表示平面区域3了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用4了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法5掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综

2、合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等第1课时 直线的方程基础过关1倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直线的倾斜角当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0倾斜角的范围为_斜率:当直线的倾斜角90时，该直线的斜率即ktan；当直线的倾斜角等于90时，直线的斜率不存在2过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式 若x

3、1x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为903直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1. 已知直线(2m2m3)x(m2m)y4m1 当m 时，直线的倾斜角为45当m 时，直线在x轴上的截距为1 当m 时，直线在y轴上的截距为 当m 时，直线与x轴平行当m 时，直线过原点解：(1) 1 2或 或2 变式训练1.（1）直线3yx2=0的倾斜角是 （ ）A30 B60 C120 D150（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ）A3，4 B2，3 C4，3 D4，3（3）直线l1与l

4、2关于x轴对称，l1的斜率是，则l2的斜率是 （ ）A B C D（4）直线l经过两点（1，2），（3，4），则该直线的方程是 解：（1）D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是（2）C提示：用斜率计算公式（3）A提示：两直线的斜率互为相反数（4）2y3x1=0提示：用直线方程的两点式或点斜式.例2. 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上. 证明 方法一 A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， kAB=2,kBC=2，kAB=kBC， A、B、C三点共线. 方法二 A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， |AB|=2，|BC|=，|A

5、C|=3， |AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线. 方法三 A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， =（2，4），=（1，2），=2. 又与有公共点B，A、B、C三点共线. 变式训练2. 设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明 A、B、C三点共线，kAB=kAC， ，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2， b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.例3. 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1x1).试求：的最大值

6、与最小值.解： 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值为8，最小值为.变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （ ） A. B. C. D. 答案 D 例4. 已知定点P(6, 4)与直线l1:y4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M求使OQM面积最小的直线l的方程解：Q点在l1: y4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：令y0，得：x(x01)， M(，0) SOQM4x010 10

7、(x01)240当且仅当x01即x02取等号，Q(2，8)PQ的方程为：，xy100变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点(1)当AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当取最小值时，求直线l的方程解：设l：y1k(x2)(k0)则A(2，0)，B(0，12k)由S(12k)(2)(44k)4当且仅当4k，即k时等号成立AOB的面积最小值为4此时l的方程是x2y40|MA|MB|24当且仅当k即k1时等号成立此时l的方程为xy30（本题也可以先设截距式方程求解）小结归纳1直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线

8、方程的五种形式这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定2待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）3在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就基础过关会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第2课时 直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时，直线与直线的

9、位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行重合相交(垂直)2当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1P(x0，y0)到直线AxByC0 的距离为_2直线l1l2，且其方程分别为：l1：AxByC10 l2：AxByC20，则l1与l2的距离为 （三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1直线l1到l2的角满足 2直线l1与l2所成的角(简称夹角)满足 （四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数（五）五

10、种常用的直线系方程. 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2). 与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm (mb). 过定点(x0, y0)的直线系方程为yy0k(xx0)及xx0. 与AxByC0平行的直线系方程设为AxBym0 (mC). 与AxByC0垂直的直线系方程设为BxAyC10 (AB0).典型例题例2. 已知直线l经过两条直线l1：x2y0与l2：3x4y100的交点，且与直线l3：5x2y30的夹角为，求直线l的方程解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，1)，因为直线l3的斜率为k3，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设

11、所求直线l的方程为y1k(x2)则tan1k或k，故所求直线l的方程为y1(x2)或y1(x2)即7x3y110或3x7y130变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）？ 解 如图所示，建立平面直角坐标系， 则A（200，0），B（0，220），C（0，300）. 直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=. 设点P的坐标为（x,y），则P（x,

12、）(x200). 由经过两点的直线的斜率公式 kPC=, kPB=. 由直线PC到直线PB的角的公式得 tanBPC= (x200). 要使tanBPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式 x+-2882-288, 当且仅当x=时上式取得等号. 故当x=320时，tanBPC最大. 这时，点P的纵坐标y为y=60. 由此实际问题知0BPC,所以tanBPC最大时，BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.例3. 直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断ABC的形状解：因为直线y2x是ABC中

13、C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y2x对称，而A(4, 2)关于直线y2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则 得即A1(4, 2)由A1(4, 2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3xy100又由 解得C(2, 4)又可求得：kBC3，kACkBCkAC1，即ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：aR且a1，a-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与

14、l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。（2）若l1l2，则-1 = - ，a=1。（3）若l1l3，则-1 = - a，a=1。（4）若l2l3，则- = -a，a= 1。）例4. 设点A(3，5)和B(2，15)，在直线l：3x4y40上找一点p，使为最小，并求出这个最小值解：设点A关于直线l的对称点A的坐标为(a，b)，则由AAl和AA被l平分，则解之得a3，b3，A(3，3)(|PA|PB|)min|AB|5kAB18AB的方程为y318(x3)解方程组得P(，3)变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为m(m0)的直线l与x、y

15、轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2xy0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值解：设l的方程为y1m(x1)，则P（1，0），Q（0，1m）从则直线PR：x2y0；直线QS：x2y2(m1)0 又PRQS | RS |又| PR |，| QS |而四边形PRSQ为直角梯形， SPRSQ()(m)2(2)23.6 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6小结归纳1处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决3利用直线

16、系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4基础过关第3课时 线性规划1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界线 对于直线AxByC0同一侧的所有点(x、y)使得AxByC的值符号相同因此，如果直线AxByC0一侧的点使AxByC0，另一侧的点就使AxBy

17、C0(或AxByC0)所表示的平面区域时，只要在直线AxByC0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划 基本概念名 称意 义线性约束条件由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件目标函数关于x、y的解析式如：z2xy，zx2y2等线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最

18、优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 设出所求的未知数； 列出约束条件(即不等式组)； 建立目标函数； 作出可行域和目标函数的等值线； 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解（有些实际问题应注意其整解性）典型例题例1. 若ABC的三个顶点为A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy50结合区域图易得不等式组为变式训练1： ABC的三个顶点为A(

19、2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 例2. 已知x、y满足约束条件 分别求： z2xy z4x3y zx2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)(1) 作与直线2xy0平行的直线l1：2xyt，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小zmax9 zmin13(2) 作与直线4x3y0平行的直线l2：4x3yt，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大zmax14 zmin18(3) 由zx2y2，则表示点(x，y)到(0，0)的距离，结

20、合不等式组表示的区域知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0zmax37 zmin0变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数taxy，(1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值(2) 若当且仅当x，y时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？解：(1)由taxy得yaxt要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，则yaxt与AC重合akAC(2)由KAC a KBC 得 a.例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米

21、，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则： 即 则z6x10y作出可行域如图由 得 即M(350，100)由图可知，当直线l：6x10y0平移到经过点M(350，100)时，z6x10y最大，即当x350，y100时，z6x10y最大变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可

22、造甲、乙两种产品各6个问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小解：设A种取x块，B种取y块，总用料为z m2，则 z2x3y (x、yN)可行域如图：最优解为A(5，5)，x5，y5时，zmin25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2例4. 预算用xx元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？设桌椅分别买x、y张，由题意得： 由 解得： 点A(，)由 解得 点B(25，)满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的AOB及内

23、部设xyz，即yxz；当直线过点B时，即x25，y，z最大 yz，y37买桌子25张，椅子37张是最优选择变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？解：设A1运到B1 x万吨，A2运到B1 y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8x)万吨，A2运到B2(18y)万吨，z3x5(8x)7y8(18y) 1842xy，x、y满足可行域如图阴影部分当x8时，y12时

24、，zmin156即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元小结归纳1二元一次不等式或不等式组表示的平面区域： 直线确定边界； 特殊点确定区域2线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法3把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束4解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查.基础过关第4课时 曲

25、线与方程、1直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）2求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等典型例题例1. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程. 解 ：设点M的坐标为（x,y）,M是线段AB的中点， A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. =（2x-2，-4），=（-2，2y-4）. 由已知=0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0. 线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0. 变式训练1：已知两点M（-2

26、，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|+ =0，求动点P（x，y）的轨迹方程. 解 由题意：=（4，0），=（x+2,y）, =（x-2,y）,|+=0， +（x-2）4+y0=0， 两边平方，化简得y2=-8x.例2. 在ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 （ ） A.=1 (y0) B.=1 (x0) C.=1（y0）的左支 D.=1（y0)的右支 答案 D 变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解 如图所示，

27、设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得 |MC1|-|AC1|=|MA|， |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|， 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1 (x-1).例3. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方

28、程. 解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y）， 则在RtABP中，|AR|=|PR|， 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有 RtOAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）. 又|AR|=|PR|=， 所以有（x1-4）2+=36-（）. 即-4x1-10=0. 因为R为PQ的中点， 所以x1=，y1=. 代入方程-4x1-10=0，得 -10=0. 整理得x2+y2=56. 这就是Q点的轨迹方程. 变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程. 解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y）， 由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0）， 即,=(x0,-y0), =(1,-y0), (x0,-y0)（1，-y0）=0,x0+=0. 小结归纳