矩阵论自测题答案docx.docx

1、矩阵论自测题答案docx自测题一一、解：因为齐次方程X, +xl2 +x21 = 0的基础解系为% = (-1,1,0,0)r,a2 = (-l,0,l,0)r,a3 = (0,0,0,l)r ,所以V的一组基为;J, A2=H J, A3=o %显然Al,M A3线性无关.XM=知% 我,有an=-a12-a2l,于是有 a 21 22A. 。2A +。21 人2 +。22人3 ,即A可由A!,A2,A3线性表示，故Ai,A2,A3为V的一组基;且dimV=3.二、解：(1) X/X.X注 有7 1 1 1 1 1 r由(X+X2)= 2 2(X|+X2)=2 2X1+2 2 %2=由(XJ

2、+由(%2),由(西)=；西=人；X=/lE(Xi).又因任意两个二阶方阵的乘积、和仍为二阶方阵，故V = v，即由为从V到V (自身)的线性算子，所以由为线性变换.(2)先求由的自然基En,Ei2,E2i,E22下的矩阵A :1 11 0 1 0(碎)=? ? n n = ? n =E11+0E12+2E21+0E22 由(E12) = 0En + En +。孩 +2E22由(E21)= En+OE12+25*21+OE22(E22) = OEii + El2 + 0E21 + 2E2210 100 2 0 2显然，从自然基到所给基e,e2,e3,e.的过渡过阵为i i i r1 -1 0

3、o0 1110 1-10c =；C 1 =0 0 110 0 1-10 0 0 10 0 0 1所以由在5，&2，&3，&4下的矩阵为 1 0 1 0 -, -2 -1 -3 -2b = Lac =2 0 2 00 2 0 4三、解：(1)不是内积.因为A, A)= A + A) = 2/t( A) = 2(知 + % ) 并不一定大于零.(2)因为(f,g)= e0 = l,|f| = J(f，f)=(pX=点，|g| = J(g，g)=(疽0)% ,四、解：(1) |AZ - A| = (A -1)(2 - 2)2 , 4 = 1,人2 = 4 = 2 .行列式因子：D = (A-1)(A

4、-2)2,D2 =l,Dl =1 ；不变因子：i() = /2(2) = 1,(Z3(2) = (2-1)(2-2)2 ;初等因子：(人-1),(4-2尸.F1 一(2)AJ= 71 2 1 ；L 22(3)对2, =1,(/-A)X| =0得& =(0,1,顶；22 =2,(27-A)X2 =0得 & =(1,0,1)，再求劣=2的一个广义特征向量：由(2Z-A)X3=-X2 得& =(1,1,顶.o i r-1 i i_取尸=1 0 1, p1 =0-11,i i i1 1 -1令/(A) = Sz泌，则：/A(A) = /(A) = sini, fJM=故 sin A = PdiagfU

5、x (A), fJ2(%)0 1 1sinl-1 1 1 1 0 1sin 2 cos 20 -1 11 1 1sin 21 1 -1cos 2 + sin 2 cos 2 - cos 2sin 2 - sin 1 sin 2 - sin 1 sin 1 - sin 2sin 2 + cos 2 - sin 1 cos 2 + sin 1 sin 1 一 cos 2五、解：(1) |A|L=max切卜max家号卜号1,故limA* =0 ；(2) 的收敛半径为1，而间L1若在其收敛域内，故k=0泌绝对收敛，且k=0 k=0六、解：(1) M=5，Mml=15,|=5,|A|L=6；又因为F-3

6、 2 2 1A-1=| 2 -3 2 , |Q|L=(2 2-3 一所以cod(A)8 =：x5 = 7 ；|/V A| = (2 5)(/1 +1)2, = 5, = 23 = 1.故 p(A) = lim|/l,| = 5.1 ? 因为i = 1aOA = 2广-3。0,故可分解.(3) B 均可取矿，七、证：设 X = (x1,x2,-,xn)T ,Y = (y1,y2,-,yn)T 分别为由在两组基 下的坐标，贝U=CY ,当X=Y时有：(I-C)X=0,贝IJ|/-C| = O,故C 有特征值1-反之，由于1是过渡过阵C的一个特征值，设其对应的特征向 量为X,即CX=1.X,由坐标变

7、换公式知，由在基岗，尻下 的坐标Y = CX ,故有丫 = X.八、证：展对称正定，.存在正交矩阵C,使CT AC = diag (, A2, , ) = D其中特征值人00 = 1,2,.,).对vx置， r = CX ,使XTAX=+A2yl+- + Any=YTDY ,其中yO.令乂 - =zl,y2 =-j=z2,-,yn =zn.于是V A 7七 7人1AY= -= Z = BZ, ze1YTDY = ZT(BTDB)Z = ZTZ .而X = CV = C，3Z = PZ(令3 = P),所以YTDY = XTAX =ZT(PTAP)Z = ZTZ.因z的任意性，知PtAP = I

8、,即A与/相合.自测题二一、 解：A = Al,Ak = A!iI,akAk = akI,GqI + alA + + aA* =(a + + + dn)/ ,其中+a/ + . + a,牙eR,故取U的基为/ , dimV = l.二、 解：(1)从基1,X,/到基l + x,x + x2,x2的过渡矩阵1 0 0C= 1 1 0 ,0 1 1 11 r i 所以由在新基下的坐标为l o = -1 .-1J o(2)不是线性变换.因为由 0 + ”)= (% +2。也 +妒,。+。 +但 +妇。3 +人3)/ (。)+次(”).(3)不是内积.如a = (1,2) ,(1,2) , (1,2)

9、 = 1-4 =-3MH2-五.、食军：(1)济/ = 5 A + 3 3 =(4 + 1)3；人=人2 =石=T 1 0 2 + 2)=(人 + 1)3 , 。2(人)=。1(人)=1所以，不变因子为(人)=似人)=1, d3(2) = (2 + 1)3 ；初等因子为(4 + 1)3.1 1 0、故A的Jordan标准形1=0 1 1 .六、证：(1)因 114 =0.73Q,n 必为偶数.(2)设AX=AX, X=知巧，/的分量中绝对值最大者为&|,则AX=AX的第上个方程=TjakjXj ；J=1同akjxj %|。|对；j=i j=ij=i故有同1.自测题三一、解：(1)不是.设AT

10、=A,BT =-B ,贝JA + B = (,At-Bt) = (,A-B)t (,A + B)t (一般t青况下),又A + 3 = (A 3)，A(A + 3)(一般寸青况下)，即A + bE V.1(2) Vtz0/ + aD + + a nD =(ciQ + + + cind)0H +(Q + + ;)05110-故得一组基为0，, ,，0,且 dimV01、解：(1)由(x2) = 3x2+2x + 1,3 0 O8在基子,01下的矩阵为：A= 2 2 3Il 1 J可见矩阵A有三个不同的单根1, 3, 5,故A可以对角化，即由可以对角化.(3)设度量矩阵C = (C,)3x3,则G

11、1 =卜4公=!。12x3dx = -C21 9C13 = = = C31, C22 = jX2dx =,。23 =。32 = f xdx = , C33 = f dx = 1 .j_ 14 3J_ j_3 2三、解：设由(%) =X|0 +2。2 +3% ,使得由01)，M 02)，由 (%)是标准正交的.由(),就(%)已标准正交化，(由(), sA. (%)=(由(%)，攻(%)=。，I M(%)| =1,即得2工+ 2工2 工3 = 00. X/kEC,I网|=|凤人）气=|阮以|L=|M|*|L=R|x|,llx+r|=|凤 x+叽=| 回+以气 kr|f+|KL=|x|+|v|,因

12、此，|X|是向量范数.又因为|AX| = k（AX）L=|W*L圳闵，因此，IK与|冈相容.六、解：|-A| = J（人一 6）,特征根为人=6, =。；则 Z?（A） = 6.由于尸=64,故A可以对角化，即存在可逆矩阵。,使(6 )A = C 0 C-i ；、 ,C-1OJ故得fl七、证：n设p（A）l,取 = |l-p（A）0,对于矩阵A,存在矩 阵范数M，使间|“（a）+e=丝兴i.P(A) |a| 1 便得证.八、证：(1) |ArB| = |Ar|B| = |A|B| = |AB| = -l, 同理，有abt = atbt = -i.(2) |A + B| = + )b| = |a

13、|bt +Ar|B|= AB |(A + B)r|=-|AB| ,得 2|A + B| = 0, 即有 |A + 5| = 0.自测题四一、解：0 00 00 0+0 10 10 2=2E3 ,由(E3) = E3 +E；=所以由在Ei, E2,务下的矩阵为(2)设有一组基勺,e2 ,七，从E. E2 E3到。32,。3的过渡矩阵设为C,即(e，e?, 63) (-, E2, E 3 )C再设A在e e2 e3下的矩阵为5,则B = C AC .要使6为对角阵，即找一个可逆矩阵。，使CAC为对角阵.因A-1-10-1A-1000A 2=人(人一2)2,|/IZ A| =对4 = 0,求得特征向

14、量(-1.1. o)r,对入=2,求得两个线性无关的特征向 量(1,1, o)，(o,o,顶.00 ,贝 B = C lAC 对角阵.1二、 证：易得(cifj,a) = 1, (%,%)= (%,%) = 0 ,(%,%) = (%,%) = 0, (cr2,cr2 )= 1,(%,。3 )=(%,%)= 0, (%,% ) = 1,即由(e1) = al,由2)= %,由3)= %也是标准正交基，故由是正 交变换.三、 解：(1)令 k = G，2,0,0),由 HX=Y ,知 |V| = |HX| = |X|； 取=尚；”时构造初等反射矩阵H = l-2r)riT ,则有 HX=XYO=

15、Y.人一 8(2) |2/-A|= ； =(4-1)2 -16 = (4-5)(4-3).Z Z 1因此4 =5 , % = 3 ,所以/?(A) = max|A;| = 5 ；因为(A) = 5 6 ,故矩阵籍级数收敛.四、解：由正交矩阵行(列)向量组标准正交，得四组解是:1Cl -j= V2iCl -j=V2iQ = -/=V2iQ = 1=V2, 1, 1, 1, 1b = 很，b b = J扼，1111rnrnrvi五、解：3 3IWI1 =maxkJ = max6,4,2=6 ； |A|m = max atj | = max(5,4,3)= 5 ； 7 i=l J=1K. =smax

16、%|=9.因为印 一 A| =(人 一 1)(4 - 2/，4 = 1，4 = % = 2，故p(A) = max% = 2 .(2)A1=30 ,七=；=5鬲，故可以进行脱/分解.(3)易得R(A) = 3, R(B) = 2 ,所以R(AB) = 6 , 6 的特征根为#1 =1 ,外=2 ,故A 的特征根为人/ = 1 ,人12 = 2 ,人2 2 ,人22 = 4，人31 = 2 ，人32 = 4 (AB)2的特征根为：1, 4, 4, 16, 4, 16.(4).同=2邳 .5 可逆，且B-1 =二 一3 ,所以B ,B+,B；均可取为：矿J?： 3 -一(5)A 的 Jordan

17、标准形为：J = 2 1 .2(6)对应于4=1的特征向量(0,1,1/ ?对应于为=2的线性无 关的特征向量只有一个(1，。，1),，再求一个广义特征向量(1,1，1产令T =0 1 11 0 11 1 1T,Tl =-1 1 1 0 -1 11 1 -1令f(A) =1A ?则/(A(A) = 15 f02(%)= 2 I4L 2 Jf(A) = T 如CM,六、解：(1)由AX=AX ,即(A-AI)X =0,若入不是A的特征根, 则|A-刈20,所以(A-AI)X =0只有零解,故dimVA=0.若入是A的特征根，则|A项| = 0,所以(A-AI)X=O有非零解. 设 R(A A/)

18、 = r ,贝 J dim V九=n - r .(2) 设A = I 2a)a)T其中切为单位向量a)Ta)= l.则A2 = (/ - loxoT)(/ - 2oxoT) = I - l(ocoT _ 2(o(ot + 4a)a)Ta)wa)TI 4a)a)T + 4a)a)T I.七、证：（1）设XcRW0）,由于二次型XtBX = XtAtAX = （AX y（AX）0 ,所以B为半正定矩阵.（2）当A的列向量组线性无关时，若X=0,则AX老0, 故xx = （ax）t（ax）0 ,即A为正定矩阵.八、证：（1） X为非奇异，X为A的特征值，故入乒0 , 而才为A-】的特征值，据特征值上

19、界原理，有I，即牛3，对VXO0,由已知有|a-1(a + b)x| = |x + a-1bx|2|x|一|bx| 2|x|一|at|B|x| =(i-|a-1|b|)|x|f oAE(akl一)AIKcq+sk一JN XA.k9+ytl皿oJLgABw。0*g + v7二JI(9+sTy .W#K o x(g +STy 忌。o N x(g+y) Tyw。ONXA*巨m自测题五解：(I)在K中,令 dA Xx X2 (x2X3+ X4 X21) _，T。) _fl 0、oj 鸟=1 &=o J，因Ex,E2,E3线性无关，由定义知，它们是匕的基，且dimV =3.(2) V2=LBt,B2 因

20、为 B?线性无关； dimV2=2.V, +V2 = L(Ei,E2,E3,在R2x2的标准基下，将El,E2,E3,Bl,B2对应的坐标向量A排成矩阵，并做初等变换1-111 0、a -1 1 1 0、1 000-20 1 -1 -1 0(% , % % ,四伊2 )=0 10 2 00 0 13 0、0 0 1 3 1 ,、o o o o L可见 dim(V + V2) = 4 .由维数定理dim(* Cl匕)=dim* + dim匕-dim(V, +V2) = 5-4 = 1.1 1、解：因为，过渡阵。=1 1 ,且。与=-1 11 1 1 -1 1（2）设 ，则有 A（X）= /l|X

21、 与 A（X）= /l2X,两式相减得伏-人2）x = 0 ,由于&邳2 ,所在地只有X=0,故dim忆nvj=o.三、解：取P中的简单基l,w如由于由（1）=1-X，次（X）= X-X3, （X2） = 1 + X2 ,由（X3） = -X + X3 ,则由在1, X, X2,尸下的矩阵为再由（/；jw,y4）=（i,x,3/k ,求得凡认中另一组基:（X）= 1 + .,（X）= X +f3 （x） = l-.r2,/4 （x） = x - x3.四、解：（1）2（人）=1（人）=1 不变因子山（4）=侦4） = 1,由夙）=万3 + 1）；初等因子万，（人+ 1）.六、解:行变换-110

22、1r10-i r0i,c =011 012J1令 B =f 10、2r01p -ir_i13-11l-i d =?-12、1021c+ =cT(ccTyi = 2 r 5 -4 r11 33 - 3 0一_ 10 3 315-1 2-1 2 1-15-5 7 22 15 -4 1所以 A+ =C+B+ =50-43r33一115一15T1-5724-1500-5-41J -_15_1115(3) X=A+b =七、 证明提示：类似习题4.1第16题（1）的证明.八、 证明：n因为疽3 =疽人。两边左乘矩阵A,有（aa+a）b =（aa+a）c,故 AB=AC.仁因为AB = AC ,设疽为A的

23、加号定则，两边左乘疽，有A + AB = A+AC.自测题六的一个基.(2) 由(EJ = BEiE：B =0、1-10由(EQ = BTE： _ E；B =0、00、。由(& = 3 室3 E；B =0、一22、故由在基2*下的矩阵为：A =0 00 0、一1 00、 o2将A对角化，取。=0 2 0、r0 、1 0 0#CAC =0、0 1 VI L设所求基为,有:(y1,y2,y3)=(E1,E2,E3)c.y2=y3=|lo V、-1 oj5 1-1 oj得。,则由在基匕，匕，匕下的矩阵为对角形.A的特征根人=人2 =。 “3 = 1 ；行列式因子D3(A) = A2(2-1),易得D

24、2(A) = )1(/l) = l ；不变因子 = ) = 1 (人-1)；初等因子万，A-1.0 1 0(2)A 的 Jordan 标准形为 7= 0 0 0 ;0 0 1(3)i=-i?o, a2 = 1 J =-i6o; A 能进行LU分解.j 21、解：(1)4+1 2t3r 112X0 0四、解:B- =(2A-Z)2 =4A2 -4A + Z,(1)由 A=a(3 + /),得 3 = 2A-/,显然，当且仅当刀2=/时，有A2 = A.(2)因(A+3)2 = A- +AB + BA + B2 = A +AB + BA +B = A +BAB + BA 0,即 AB = -BA,两端右乘B得AB2 = -BAB,从而AB = (-B)AB ,由于籍等阵B的任意性, 故 AB = 0.五、