珠算的起源和发展.docx

1、珠算的起源和发展珠算珠心算简史述略 珠算的起源和发展 2015年6月18日上午人类因文化而文明，文明因文化而传承。中国珠算是中华文明的产物，是中华民族的宝贵文化遗产。它折射着中华文明民族之光，它传承着中华民族的几千年文脉。它像一条穿越历史的长河，从远古走来，向未来走去。从古中国走来，向世界走去。2013年12月4日，在阿塞拜疆首都巴库联合国教科文组织会议通过，中国珠算跨入“人类非物质文化遗产代表作名录”殿堂。联合国教科文组织这样介绍中国珠算：“珠算是中国古代的重大发明，伴随中国人经历了1800多年的漫长岁月。它以简便的计算工具和独特的数理内涵，被誉为世界上最古老的计算机”。称珠算为“中国第五大

2、发明”，当之无愧！说中国珠算是“世界上最古老的计算机”，此言不虚！今天我们弘扬珠算，歌颂珠算，此举不凡！中国文明是世界上最古老的文明，纵目世界民族之林，有些国家的历史比我们长得多，如古埃及、古巴比伦，但是这些国家的古代文明都在历史长河里中断，没能延续下来。只有中国文明是唯一一个从古到今，一直传承到现在没有中断的、独立的、强势的文明。世界上没有第二个文明是这样的。回首世界历史，岁月漫漫，多少个人类曾经的发明淘汰于历史尘湮。仅就算盘来讲，曾经的古巴比伦、美索不达米亚、埃及的“沙沟算盘”、罗马的青铜沟算盘、15世纪后西欧的线算盘、16世纪前后俄国的十珠算盘都因相对落后而难以胜出“物竞天择”，相继被淘

3、汰于历史长河而不复存在。唯有中国珠算以其结构简单、功能神奇，以其独特的科学性、合理性，生机勃勃的生存、发展，历时近两千载盛而不衰。感于此，不由击节而歌。“看环球，多少文化，湮没尘蒙。忆罗马帝国，横扫欧亚；两河文化，文字楔形俱往矣，数精深博大，华夏文明。研究和实践证明，珠算是“从远古走来，向未来走去”的既古老又年轻的科学。那么，珠算是怎样从远古走来的呢？让我们拉近历史的长镜头，简要回溯中国珠算的历史：远古文明珠算的源头人类对宇宙的认识，是从物象和数开始的。人类驻天地，于是知上下；戴日月，于是知昼夜；观日月星辰，于是辨方向；感温热凉寒，于是识节气这是古人对物象的初始认识；古书道德经中说：“道生一，

4、一生二，二生三，三生万物”这是古人对数的初始认识。 我们的祖先，从穴居野处、刀耕火种的时候，即开始了记数的历史。人们对数的认识经历了漫长的过程。最先人们只能数出一个人、二个人，一只羊、二只羊，五以上就称为多。最初，人们用手指作为计算工具。屈指计算是人们最原始的计算方法，一般人的手指恰好有十个,由是被称作对世界数学史具有重要意义的“十进制”创造也因之产生了。中国古代的十进位值制的记数法在世界数学史上是一个伟大的创造，与世界其他古老民族的记数法相比较，其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就非常繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古

5、巴比伦人也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复。远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来的简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越成就，在一定程度应归功这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的数学手稿中称十进位记数法为“最妙的发明之一”。远古时期我们祖先曾有过结绳记数和刻痕记数的历史。易经系辞中载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。” 我们的祖先最早的计算器是手指，所谓“屈指算来”、“屈指可数”反映出人类的原始记数和局限。然而，手指计算却催生出我们祖先的一个重大发明，这就是被马克思誉为“最美妙的发

6、明之一”的“十进位值制”。十进位值制的产生，大大地推动了远古算术的发展。此后我们的祖先又有了“摆树枝”和“垒石”“垒瓦”记数的历史。而就是这些记数方法，孕育了很多年以后产生的筹算，也正是有了距今约3000年的筹算及其五进位制的发明，才产生了距今1800年的珠算著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国古代的记数法评价说：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”李约瑟还说中国古代的数字系统“比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学”。 又经过多年苦苦求索，我们的祖先又有了结绳记数、刻痕（书契）记数的历史。易经系辞载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”庄子中有“昔者

7、神农氏，当是时也，民结绳而用之”的记载，可知中国古代的结绳记数和刻痕记数。那时候人们每收进一捆庄稼，就在绳子上挽一个结； 每猎取几只羊，就在绳子上挽几个结。三国时的数学家郑玄对此注释称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”“数”在四千多年前的古文中写法是：其字左边形如一根绳子打了许多结，而右边是一只手。数与结绳的关系由此可窥知一斑。随着社会的发展，计数量的增多，而且在绳上打结比较麻烦，于是人们便用刀子在石壁、兽骨、木头、竹子上划道记数。此后人们又感到划的线太多太麻烦，又发明了用竖线代表一、横线代表五，或用横线代表一、竖线代表五，渐渐形成了早期的数字。这就是古文所载的“后世圣

8、人易之以书契”。社会进一步发展，人们走出山洞住进茅草房。在石壁上划道已不可能，人们便就地取材，开始利用小石子、瓦片、小木棒或小竹棍儿记数。利用小石子、瓦片记数，被后世称作“垒瓦”计数；以小木棒或小竹棍儿记数，后来发展成筹算。我国古代在没有创造珠算以前，传统的计算方法是“筹算”。筹算的计算工具叫“算筹”，又叫作“策”“算策”。算筹是用竹子做成圆形或方形如筷子的小竹棍儿，用算筹表示数和进行计算叫“筹算”。据史料推断，我国从春秋时代（公元前770前476年）就已经使用筹算了。筹算在我国古代已使用两千多年之久。1971年中国考古工作人员先后在陕西千阳县、1975年在湖北江陵县发掘的两座西汉(公元前20

9、68年) 古墓中，以及1976年在湖北云梦县发掘的几座秦(公元前221207年) 古墓中，都发现了古算筹。古代“算”字的写法是“ ”上面一个“竹”字头，下面一个“弄”字。东汉许慎所编的说文解字中对这个字的解释是：算，弄竹之意。即人们摆弄竹棍儿做计算的意思。“算筹”有纵横两种形式表示数字，用纵横间隔表示数位：这两种数码的排列均有一定的规则: 个位、百位、万位用纵式， 十位、千位、十万位用横式，以便于认数计数。用算筹记数分当一(一筹作1)和当五(一筹作5)两种记法。15各数，都用当一筹积聚记数； 69各数，用当五筹和当一筹配合记数，当五筹在上方，当一筹在下方。这种记数法，称为“一纵十横，百立千僵，

10、千十相望，万百相当。满六以上，五在上方。六不积聚，五不单张”，遇到0则空一位。它反映了远古时代的五进位制计算法的痕迹，以后产生的“五升十进”的中国珠算法即脱胎于筹算的五进位制计算法。筹算就是用筹排成筹码记数，按照一定的规则进行加、减、乘、除、开方等运算的。汉代以后，人们用红筹表示正数，黑筹表示负数；唐代时，人们已用筹码记账(如敦煌卷子)；宋、元时代，人们也广泛地采用筹码记数来解决高次方程和高次方程组的计算问题；明代时，人们还依照筹码的结构制成暗码（亦称苏州码）用以记账。这种依照筹码的结构制成暗码一直延续到民国时期，新中国成立后在一些地方还见使用。筹算，作为我国最早发明使用记数法具有许多优点。主

11、要是：1.用横列十进位制位值制的记数法，可以用少数数码表示任意大的数目，它是人类最优秀的记数法。2.每一位上用一到五个单元小棍，纵横排列表示1到9个数字。其中大于五的数用一根小棍表示5，这是一个很重要的特点。3.加减法是一切运算的基础，用逐一增、减去聚集式地进行计算，意义清楚明确。4.算筹可以放在一个袋里，携带方便。筹算也存在着一定的缺点。主要是：1.记数和计算所占地面较大。算筹较长（出土的汉筹13.8厘米，隋筹8.85厘米），用筹算作乘除要三重张位（如做乘法，法数、实数、积数需置三处），计算一个积是八位的乘法或相应的除法，就要占据约50厘米宽、120厘米长的地方。诚如宋代马永卿所说：“出算子

12、约百余，布地上，几长丈余。”2.记数和计算时，运算中动用筹策较多。1至9的九个数码拼排要用到29根筹，平均每个数需要用3.2根筹。3.布数和计算，需一根一根地摆弄算筹，计算速度慢。以后，随着经济文化的发展和长期的社会实践，在筹算的影响下，一种新的计算方式和工具珠算，在筹算的基础上产生了。珠算全面继承了筹算的传统和方法，而且更具优越性。1.珠算把筹算的三重张位变为“两重张位”（如作乘法，积数是在实数上改成），珠算变零散的算筹为盘的整体，整个运算在算盘内进行，大大缩小了占用面积。2.珠算除全面继承了筹算的创造外，改筹算的“5不单张”为“5亦单张”，使之更先进、更便捷。3.在文字竖排、以右为上的古代

13、，珠算坚持数字横排，坚持以左为上即高位居左，这一优秀方法始终没被文字排法所湮没。4.珠算以拨珠活动替代了筹算的抓筹、布筹活动，大大地提高了计算效率。5.珠算计数使用“五升十进制”，“五升制”是中国算盘最具优势的发明，上珠以一代5，使59各数均可省珠。这一优势使俄罗斯的十珠算盘望尘莫及。 珠算产生后，筹算虽然仍与其同时并用了很长一个时期，但后来终于在珠算的算法不断发展进步和算盘从游珠、串珠、无梁、有梁的不断演化完善中被珠算取而代之。到明代，珠算成了社会上的主要计算形式，并相继传入朝鲜、韩国、日本和东南亚诸国。 珠算和算盘起源于何时？中国珠算历史源远流长，古算书严重散失。古代印刷术的不发达，造纸术

14、发明前的竹简文字更是“求之简牍，全文莫睹”（唐颜师古语）。自唐显庆元年至宋淳祐七年的590年间中，珠算的发展情况，无文可考。使后人在考证珠算的起源中确感“古书散亡，苦无明掘”之难（清梅文鼎语）。 自清代康熙年间起，古算学家梅文鼎、梅启照、钱大昕、许桂林等开始考证算盘的起源；继而至民国年间数学史家钱宝琮、李俨、严敦杰等开始全面研究探讨珠算史；新中国成立后，以余介石、华印椿为代表的珠算家对珠算的起源发展进行了卓有成效的研究。随着研究的深入和史料、文物的不断发现及发掘，人们将珠算起源的年代不断向前推移。关于中国珠算起源的研究，中外学者的论述颇多，各以依据提出了 “宋代说” “唐代说”“汉代说”“周代

15、说”。对此，众说纷纭，莫衷一是。近年珠算史学界经过不断研究考证，做出一个被业界和社会共同认可的推断。概括地说，即珠算：“萌于商周，始于秦汉，成于唐宋，盛于元明。”萌于商周珠算的孕育尽管珠算产生的确切年代尚无定论，但珠算及算盘是在一个很漫长的历史过程逐步形成的。从屈指记数到结绳记事，从运筹帷幄到珠算产生，这段漫长的历史进程，都是我们追溯渊源、发掘考证的空间。珠算，这一中华民族的文化瑰宝，虽然千百年来一直为人类社会做着重大贡献，但因为中国历代统治者重农轻商，从对商业、商人的压抑而对珠算鄙夷。古代士大夫鄙夷“珠盘非几砚间物”，视算盘为“贾竖谋利之器”而不屑载入典籍。故珠算处于“用之者虽众，重之者实寡

16、”的地位。在中国历史典籍、早期文献上很少找到关于珠算的记载。史料史证的奇缺给珠算起源的考证带来极大的困难，致使一些珠算史研究者为此曾发出“上穷碧落下黄泉，两处茫茫皆不见”的浩叹，致使这方面的研究一直进展缓慢。其间，亦不无曲折。古代中国是一个最为扑朔迷离的历史学时代，珠算史料尤其为数不多而支离破碎。在这种情况下，一方面考证不应因噎废食和画地为牢，该从全方位、多角度发掘探求；另一方面考证不应在大胆中制造假设，再以假设演绎历史。对考证定论秉持慎重、严谨、科学的态度，才是求史、求实、求是之正道。2013年，中国珠算心算协会在向世界教科文组织递交的珠算“申遗”报告中，在缜密、客观、科学论证的基础上明确提

17、出：珠算产生于1800年前的东汉时期。这一结论得到国内、国际社会的认可。珠算产生于东汉已成定论，此前多年纷纭之诸说当依此归一。然而，像生物进化一样，珠算及算盘在产生以前则还应有一个极漫长、极漫长的萌发、演化过程。它的孕育、萌发，可上溯到其前身筹算普遍应用的春秋时期，进而再上溯到筹算的前身即钻龟问卜、蓍草算卦极为流行的商周时期。人们在追溯筹算的渊源时，认为筹算与远古时代的小木棍记数有关，也认为筹算与商周时期的蓍草算卦同源。我国历史上的商代就有了甲骨文，商代人在龟的甲骨和牛的胛骨上钻一下，再用火灼，灼完了看灼出的裂痕来问卜吉凶。然后就在甲骨上面刻字记录。故甲骨文又叫卜辞。问卜是用八卦的卦符来推算凶

18、吉的，而八卦和推算则与古代算数的形成关系极大。在我国要考证数的起源，总是离不开伏羲画的八卦。汉书律历志记载：“自伏羲画八卦，由数起。至黄帝尧舜而大备。”古代问卜用什么来做推算工具呢？人们找到了一种蓍草。因蓍草是一种多年生的草本植物，古人就认为这种长寿草就同长寿老人一样阅历多，知道的事情多，用它来推算凶吉一定明白准确。于是人们把蓍草的根叶去掉，用它的茎来做算具。这种用钻龟问卜、用蓍草算卦自远古到西周一直很盛行。整个占卜的过程就是用蓍草做算具运算八卦的过程。八卦是由数学组成的，八卦的数学原理和问卜算具蓍草，对筹算的形成的影响是可以想象的。在后来形成的筹算中，以往的蓍草被竹棍、木棍、骨针所代替，即

19、“算筹”、“筹策”。研究认为，春秋时期的筹算，乃至筹算的前身商周时期钻龟问卜的蓍草推算，均为珠算的萌芽。简而言之，即珠算“萌于商周”。始于秦汉珠算的诞生最早的有关珠算的文字记载出现于东汉徐岳（公元190年）所撰的数术记遗一书。数术记遗载：“珠算：控带四时，经纬三才。”徐岳是东汉末年的天文学家、数学家，山东莱郡掖县人。汉灵帝时从数学家、天文学家会稽东部都尉刘洪学历算。他在数术记遗中录刘洪所讲：“吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生。”天目先生告诉：“隶首注术，乃有多种。及余遗忘，记忆数事而已。”从而介绍了十四种计算工具、算法，这就是书中记述的“积算”“太一”“两仪”“三才”“五行”

20、“八卦”“九宫”“运筹”“了知”“成数”“把头”“龟算”“珠算”“计数”。数术记遗对珠算记述得很简单且又无图形，使人很难从其简单的叙述中得知当时珠算的详貌。到了南北朝，北周的甄鸾对徐岳的“珠算：控带四时，经纬三才”有了注释。在卷首题为“汉徐岳撰，北周汉中郡守、前司隶，臣甄鸾注”的数术记遗中，甄鸾注云：“刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五，其下四珠，珠各当一，至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。”意思是说，木板刻成三个部分，上下二个部分放游珠(无数值的算珠)，中间的部分是放以指定数值的珠子。每行有五粒珠子，上

21、方一粒珠，下方四粒珠，都以不同的两种颜色分别其价值，上方之不同颜色的珠子数值为五，下方四粒珠子，每一粒珠子当是一的数值。下面四粒珠子所指是春夏秋冬四季，珠子在上中下游动，称为游动于天、地、人三才之间。 游珠 游珠 盘内读数为七百二十八万三千四百七十二数术记遗所载的珠算盘，与后期改为有梁穿档的算盘不同，它是初始阶段的古算盘，但都是五升十进制计算工具。故它是目前有梁穿档算盘的前身。这证明了上一珠下四珠的算盘早在东汉前已被使用。自珠算诞生后的漫长的历史阶段中，珠算作为一种计算利器，渐次应用和广泛应用于社会；同时，珠算作为一种文化，也反映到文学、艺术、宗教等方面。东晋大书法家王羲之题卫夫人笔阵图后有：

22、“夫欲书者，先于研磨，凝神静思，预想字形，大小偃仰，平直振动，令经脉相连，意在笔前，然后作字。若平直相似，状若算子，下上方整，前后平齐，此不是书，但得其点画耳。”这里的算子应为算盘，以算盘之状引喻书法，这一文化现象，曾引起国外珠算界的极大兴趣。关于数术记遗，近代也有人持“伪托说”。上世纪50年代在山东沂南发现了一个与徐岳同代的汉墓（公元193年前后），其浮雕中有一个图样描绘在墓室内有一人跪地上，双手捧着一个可能代表算盘的长方板。有考证认为，这很可能是古算盘。对此，目前尚无定论。我们认为，历史考证中难免出现“信古”和“疑古”两种倾向。考证不是无边的想当然，凭借史料线索一路推测而失掉了准确；考证也

23、不应是无限的苛刻，拒绝线索而丧失了历史的丰富。从历史上看，西汉、东汉四百年间和平时期较长。到了东汉，牛耕水利的发展使当时的农业、手工业在西汉的基础上也继有发展，社会财富的丰富又促进了城市的繁荣和工商业的发达。而由于两汉四百年的文化积累，到东汉晚年手工业方面也有很多卓越的创造。除我国四大发明之一造纸术外，此时诸如水排、纺花机、霹雳车等发明很多。同时在天文、数学、历法等方面都有很大发展。这个时期就有了珠算，是社会经济、文化和科学发展之必然。故曰：珠算“始于秦汉”。 成于唐宋珠算的臻善唐朝是我国历史上的强盛时期，这个时期的经济、文化尤其是国内外贸易十分发达。当时唐王朝已成为亚洲地区贸易中心，这时期的

24、对外贸易无论规模、范围、交换频繁程度都远远超过汉代。唐政权积极鼓励对外贸易，如广州、杭州、泉州、扬州等十几个城市对外口岸的开放，来大唐进行贸易的外国商人逐年增加，如波斯、大食的商人频繁出现在京城和全国各大城市。据传最多时仅广州每年就达一、二十万人。在国内，形成全国最大的西京（长安）、东京（洛阳）两市。交通的发达也促进了城乡贸易，自两京到各州县，都设立了大小不等的市场。唐代经济的高度发展、商业的空前发达，衍生出不少服务于商业的新行业。如：柜坊（代客商保管财物的行业）、飞钱（变换货币的汇兑行业）、质举（当铺、抵押放款行业）等。除了以往商业交易，这些新行业更需要大量的、快速的计算。社会计算量的倍增，

25、传统筹算的弱点日益突出。为今式珠算在这个时期产生、使用提供了可能。古代货币，钱以一文为最低单位，一文以下不再分。唐代“开元通宝”的十枚文为一两重，一钱为十分之一两，且把分、厘、毫、丝、忽借用来作为钱以下十进小数的重量单位名称。货币的改革使十进位小数频繁出现于社会计算，而十进位小数在算盘上进行计算较之用筹算计算要方便快捷得多。此间的“算学”也备受重视。唐高宗显庆元年（公元656年）始添设算学馆，以李淳风等注释的十部算经为课本。龙朔二年（公元662年）又在国子监内设立“算学”。唐代武则天当政期间，改革科举制度初行殿试，亲自考试贡士，并在科举考试中设“明算科”。据新唐书，选举志载：“凡算学，录大义本

26、条为问答，明数造术，详明数理，然后为通（数术）记遗三等数帖读十得九，为第。落经者虽通六不第。”可知唐代举行“明算科”考试时，将数术记遗列入考试内容，令应试者“帖读”数术记遗，须要达到90%的准确，方可“及第”。数术记遗是应试“明算科”的必读书，因得以流传于后世。而作为数术记遗书中的珠算，在唐代社会使用的可能由此可见一斑。从算法的发展看，唐代盛行的“一位算法”和“求一法”不利于筹算，而适应于珠算运算。如夏侯阳算经（公元763799年）里的“重因”“身外加”“身外减”“求一”等算法，都是因算盘产生而引起的。因为算盘上演算不能多重张位，要把筹算的三重张位化为一重张位，是筹算算法转为珠算算法的重要一步

27、。唐代中叶以后，出现这样的算法改革，说明算盘已经产生了。北宋大画家张择端的名画清明上河图就描绘了当年京都汴梁城里的闹市上，集镇贸易、商品交换热闹繁忙的景况。这是一幅反映当时人民生活生产等情况的巨画。在这幅巨画上，画着的一家赵太丞药铺内，正面柜上就放着一架形状与我国现在使用的结构相似的算盘。据此，有专家认为：“像清明上河图这样如实反映人民生活的图画，这里面描绘出的一种工具，那必须是在这张画作成的相当长的年代以前，早就出现了的东西。如此推论，从唐末到北宋相距年代并不多所以可以想象唐朝的晚期或中期已经出现了串档拨珠的算盘了。”（殷长生考察鉴定中国算盘的产生年代）北宋的建立，结束了晚唐和五代十国间几十

28、年的混战，统一了中国大部地区。为了充实国力、休养生息，宋初在发展生产的同时，采取了“恤商”政策，使商业一度得到较大发展。当时的南粮北调和江浙竹、丝织品等北运交易，南北商船往来频繁。如东京汴梁（现河南开封）等一些大城市中，店铺林立，行商坐贾遍市井，繁华非常。宋初实施“招诱奖进”的外贸政策，外贸往来颇为兴盛。对外贸易的发达，促进了中外文化科技的交流。这一时期科学技术得以开拓，开始应用航海技术，造船技术已居世界先驱地位，中国古代四大发明中的三大发明均完成于宋朝。商业的发达使货币流通量加大，为了使交易中货币携带方便，这个时期发行了世界上最早的纸币交子。货币和商流促进了商业的进步，商业的进步需要便利的计

29、算工具，而主要应用于商贸的珠算，必然得到较为广泛而深入的发展。北宋活版印刷术的发明、雕版印书事业的发展，推动了包括算学在内的学术文化的流传。宋代已有珠算书盘珠集走盘集刊印，惜已失传。从13世纪宋末元初由中国去日本的僧人，以及由日本来中国的禅宗僧侣的诗文中，多处发现有“走珠盘”“走盘珠”和“珠走盘”的用语，可作为中国南宋已有算盘的旁证。北宋苏东坡为重刻楞伽经珠走盘作序中有：“如盘走珠，如珠走盘，无不可者。若出新意，而弃旧学，以为无用，非愚无知，则狂而已。”宋代谢察微算经中的“用字例义”说：“中：算盘之中。上：脊梁之上，又位之左。下：脊梁之下，又位之右。脊：盘中横梁隔木。商总：合用商开之法于盘中。

30、”以算盘用语讲出了“算盘”大致形状。同代人钱易所著南部新书（10081016）在叙述加、减、乘、除及开方、求一立一诸法时，讲了“鼓珠之法”，从东汉徐岳数术记遗中珠算的浑圆游珠，到北宋钱易南部新书中的扁圆“鼓珠”，以此推论，北宋已有了横梁算盘。从宋代的算法著述上，也看出向适应珠算的不断演变。11世纪北宋贾宪的黄帝九章算经细草、沈括（10311095）的梦溪笔谈提出了许多新的数学概念和计算技术。南宋秦九韶的数书九章中介绍了“大衍求一术”，创立了“正负开方术”。南宋杨辉的算法通变本末提出的“单因”“相乘”等对古算法的改革就是适应珠算的计算方法。他的乘除通便算宝中的九归、身外加、求一等，尤为适应珠算。

31、而他创造的“损乘”更为简捷，当代珠算法“补数体系”就是在“损乘”的影响下研究形成的。宋末元初人刘因（12491293）曾以“算盘”为题著录过一五言绝句：“不作瓮商舞，休停饼氏歌，执筹仍蔽簏，辛苦欲如何。”从算盘的入诗入画反映到文学艺术作品之中，则可推知珠算在当时的使用情况。此外我国近代考古学者，于1921年在河北巨鹿县故城挖掘出北宋大观二年（1108年）因黄河改道泛滥淹没在地下的王、董二姓故宅下的碗、盆、木桌什物。其中有木质算盘珠一颗，直径2 .11厘米，中间有串档之孔。其大小、形状和现在通用的圆型算盘珠很类似（此珠现在北京历史博物馆内收藏）。这颗宋代算珠是至目前为止发现的最早的珠算实物。一种

32、事物的确立，尤其是广泛的应用，绝非一朝一夕或短期内可以形成的。因此，完整式的二五珠算盘由于唐宋经济、商业的高度发展而固定成型为民间所普及使用，这也是合乎历史发展规律的。因此说，古算盘在唐宋阶段臻善，而演化为有梁、穿档的算盘，也是合乎历史发展规律的。故曰珠算“成于唐宋”。 盛于元明珠算的胜境到了元代，珠算的使用较宋更多，可以证实的史料也颇多。如元初画家王振鹏绘制的乾坤一担挑图(1320年)中，货郎担上的一把算盘，其框、梁、档，珠，极为清晰，同现代算盘一样。肩挑货担穿街走巷的古代货郎，货担上已有算盘出售，这说明民间已广泛地使用算盘。元末学者陶宗仪（号南村）著陶南村辍耕录(1366年)中有擂盘珠、算盘珠的比喻：“凡纳婢仆，初来时曰擂盘珠，言不拨自动。稍久