C语言程序设计漫谈之从约瑟夫问题谈起.docx

1、C语言程序设计漫谈之从约瑟夫问题谈起从“约瑟夫问题”谈起约瑟夫问题是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想自杀。为避免与其他39个决定自杀的犹太人发生冲突，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将

2、朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。17世纪的法国数学家加斯帕在数目的游戏问题中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行，直到仅余15个人为止。问怎样的排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。【例1】约瑟夫问题。N个人围成一圈，从某个人开始，按顺时针方向从1开始依次编号。从编号为1的人开始顺时针“1，2，M”报数，报到M的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终

3、会剩下一个人，该人就是优胜者。输入N和M，输出出圈顺序。例如，N=6、M=5，出圈的顺序是：5，4，6，2，3，1。（1）编程思路。为输出出圈顺序，采用一个数组来进行模拟。定义int circleN+1，并按circlei=i+1的方式赋予各元素初值。该值代表两个含义：1）值为0，代表编号i+1的人不再圈中；2）值非0，代表圈中第i个位置的人编号为i+1。定义变量i代表报数位置的流动，i的初值为0，代表编号为1的人的位置，i的变化方式为： i=(i+1)%(n)， 即0-1-2-n-1 -0-1。i流动到了位置i后，该位置的人若已出圈（circlei=0），显然无法报数，得跳过该位置；若该位置

4、的人在圈中，则报数（定义一个表示报数的变量p，初值为0，每次报数p+）。当报数到m（即p=m）时，位置i的人出圈，记录出圈人数cnt+，同时p置为0。当出圈人数等于N时循环结束。（2）源程序。#include int main() int n,m,i,p,cnt; int circle50; while (scanf(%d%d,&n,&m) & n!=0) for (i=0;in;i+) circlei=i+1; i=0; / 报数指示 p=0; / 报数计数器 cnt=0; / 出队人数 while (cntn) if (circlei!=0) p+; if (p=m) printf(%d

5、,circlei); cnt+; circlei=0; p=0; i=(i+1)%(n); printf(n); return 0;下面我们从例1的基础上进行扩展讨论。例如，运行例1的程序时，输入41 3，则输出为：3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 1 5 10 14 19 23 28 32 37 41 7 13 20 26 34 40 8 17 29 38 11 25 2 22 4 35 16 31为这个输出结果进行的模拟是需要耗时的。实际上，在大多数问题中，我们不关心中间的结果，只关心某个最终结果。例如，在Josephus 的故事中，Josephus

6、和他的朋友不想自杀，Josephus 需要关心的是最后一个和倒数第2个出圈的编号是多少，至于中间过程（39个犹太人谁先自杀，谁后自杀）对Josephus 来说无意义。因此，Josephus 需要的是快速确定最后一个和倒数第2个出圈的编号，然后站到对应位置即可。而无需耗时模拟整个过程。【例2】猴子选大王。一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 .m，这群猴子(m个)按照1m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。已知猴子数m和报数间隔n（设1=n=m=50），问编号为多少的猴子当大王？（1）编程思路1。将例1的源程序略

7、作修改，增加一个变量last记录最后获胜者编号，不输出中间过程。显然， if (cnt=n) last=circlei;（2）源程序1。#include int main() int n,m,i,p,cnt,last; int circle50; while (scanf(%d%d,&n,&m) & n!=0) for (i=0;in;i+) circlei=i+1; i=0; / 报数指示 p=0; / 报数计数器 cnt=0; / 出队人数 while (cntn) if (circlei!=0) p+; if (p=m) cnt+; if (cnt=n) last=circlei; ci

8、rclei=0; p=0; i=(i+1)%(n); printf(%dn,last); return 0;（3）编程思路2。源程序1中采用数组模拟，由于猴子在圈中还是出圈是通过数组元素circlei的值非0还是0来判断，位置并未真正删除，因此当n和m很大时，程序的执行效率很低。例如，仅求最后一个出圈的元素，循环就得执行m*n次（p从1报到m，每次报数流动i得走完整一圈，其中n-1个已出圈，圈中仅一个元素）。为提高运行效率，可以考虑采用循环链表来进行模拟，这样每次出圈就将链表中的相应元素删除。循环链表只剩最后一个元素时，输出胜者编号。（4）源程序2。#include struct Jose i

9、nt code; / 编号 Jose *next;int main() Jose *head,*p1,*p2; int n,m,i,cnt,tmp; scanf(%d%d,&n,&m); while (n!=0 & m!=0) head=new Jose; head-code=1; p2=head; for (i=2;icode=i; p2-next=p1; p2=p1; p2-next=head; p1=head; cnt=n; while (cnt1) tmp=m%cnt; / 提高效率之举，当m大于圈中人数时不用循环多圈 if (tmp=0) tmp=cnt; i=1; while (i

10、next; p2-next=p1-next; / 报m的结点出圈 delete p1; / 释放出圈结点的空间 cnt-; p1=p2-next; printf(%dn,p1-code); delete p1; scanf(%d%d,&n,&m); return 0;（5）编程思路3。本例中的源程序2相比源程序1可以提高运行效率，但毕竟也是采用过程模拟，因此对于n和m较大的情况，效率仍然不高。有没有可以根据n和m的值直接推出最后出圈人编号的办法呢？为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意。问题描述：n个人（编号0(n-1)，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。

11、求胜利者的编号。我们知道第1个人（编号一定是(m-1)%n）出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:k , k+1 , k+2 . n-2 , n-1 , 0 , 1 , 2 , . k-2并且从k开始报0。现在我们把他们的编号做一下转换：k - 0 k+1 - 1 k+2 - 2 . .k-3 - n-3k-2 - n-2变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据转换把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？下面我们来推导变回去的公式。序列1： 1 , 2 , 3 , 4 , k-1 ,

12、 k , k+1 ,， n-2 , n-1 , n序列2： 1 , 2 , 3 , 4 , k-1 , k+1 , , n-2 , n-1 , n序列3： k+1 , k+2 , k+3 , , n-2 , n-1 , n , 1 , 2 , 3 , , k-2 , k-1序列4： 1 , 2 , 3 , 4 , , 5 , 6 , 7 , 8 , , n-2 , n-1 k=m%n; x = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n x= (x+ m%n)%n = (x+m)%n 。如何知道(n-1)个人报数的问题的解f(n-1)呢？ 显然只要知道(n-2)个人的解f(n-

13、2)就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求f(n-3) - 这显然就是一个倒推问题！令 fi 表示i个人玩报m退出的约瑟夫环游戏的最后胜利者的编号，则有递推公式：f1 = 0 ;fi = (fi-1+m)%i; (i1)有了这个递推公式，我们就很容易求得n个人报m退出的约瑟夫问题的最后胜利者编号fn。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出fn+1即可。 编写程序时，我们可以采用数组递推以便保存中间结果，也可以不保存中间任何结果采用迭代直接得到最后胜利者编号。（6）采用迭代方式实现的源程序3。#include int main() int n,m,i,s; scanf(%d%d,&n,&m)

14、; while (n!=0 & m!=0) s=0; for (i=2;i1) #include int main() int n,m,i,j,f5151; for (i=1;i51;i+) f1i=0; for (i=1;i51;i+) for (j=2;j51;j+) fji=(fj-1i+i)%j; scanf(%d%d,&n,&m); while (n!=0 & m!=0) printf(%dn,fnm+1); scanf(%d%d,&n,&m); return 0; 【例3】城市断电。有n（3=n150）个城市围成圈，先将第1个城市（编号为1）断电，然后每隔m个城市使一个城市断电，直

15、到剩下最后一个城市不断电。问使2号城市不断电的最小的m是多少？（1）编程思路。采用例2的求最后胜利者的方式，对n个城市，从m=1开始搜索，若当前m可使2号城市作为胜利者，则m就是所求，否则m=m+1后，继续搜索。程序采用打表的方式，先将n=3149的对应m值求出来并保存到数组ans150中。另外，需要注意的是第1个城市先断电了，2号城市相当第1个城市，也可以把问题看成编号从1n-1的约瑟夫问题。（2）源程序。#include int main() int ans150,i,j,m,tmp; for (i = 3;i150;i+) m = 1; while(1) tmp = 1; / 注意第1个

16、城市已经断电，相当从1n-1个城市 for (j = 2;j =1), f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要出圈的那个人（当前序列编号为0(n-i);例如，设n=6,m=5f(0)=0;f(1)= f(0)+5-1%6=4; 子序列（0,1,2,3,4,5）中的4 （也就是实际序列（1，2，3，4，5，6）中的5）f(2)= f(1)+5-1%5=3; 子序列（0,1,2,3,5）中的3 （也就是实际序列（1，2，3，4，6）中的4）f(3)= f(2)+5-1%4=3; 子序列（0,1,2,5）中的5 （也就是实际序列（1，2，3，6）中的6）f(4)= f(3)+5-1%3=1;

17、子序列（0,1,2）中的1 （也就是实际序列（1，2，3）中的2）f(5)= f(4)+5-1%2=1; 子序列（0,2）中的1 （也就是实际序列（1，3）中的3）f(6)= f(5)+5-1%1=0; 子序列（0）中的0 （也就是实际序列（1）中的1）故得到的出圈顺序为：5，4，6，2，3，1。 结果正确。按照这样的思路，可以修改例1的源程序为：#include int main() int n,m,i,j,cnt,circle51,f51; scanf(%d%d,&n,&m); while (n!=0 & m!=0) for (i=0;in;i+) circlei=i+1; f0=0; f

18、or (i=1;i=n;i+) fi=(fi-1+m-1)%(n-i+1); cnt=n; for (i=1;i=n;i+) printf(%d ,circlefi); for (j=fi;jcnt-1;j+) circlej=circlej+1; cnt-; printf(n); scanf(%d%d,&n,&m); return 0;在弄清楚上面例子的情况下，建议大家刷下面几道POJ的题目，加深对约瑟夫问题及其变形的解决方法的理解与运用。特别是约瑟夫递推公式的灵活运用。1012 Joseph 题意为：k个好人和k个坏人围成一圈（将他们顺序编号，好人编号为1K，坏人编号k+12k）。从编号为

19、1的人开始顺时针“1，2，M”报数，报到M的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。问M最小为多少时，前k个出圈的人全部是坏人？1781 In Danger 题意为：n个人排成一圈，从第2个人开始隔一个杀一个，直到剩下最后一人。最后一个人的编号为多少？2359 Questions 题意为：输入一个字符串，从第一个字符开始循环数，数到第1999就删除这个字符，继续数，直到只剩下一个字符。如果剩下的那个字符等于空格输出“no”， 等于？输出yes，其他输出No comments。3517 And Then There Was One 题意为：n个人围一圈，第m个人先出圈，然后从第m+1

20、个人开始报k出圈，求最后胜利者编号。3750 小孩报数问题。最后，给出上面5道题的源程序供参考，这些程序均可以Accepted。参考源程序POJ 1012 Joseph#include int main() int m,k,i,j,s; int joseph15=0; while (scanf(%d,&k) & k!=0) if (josephk!=0) printf(%dn,josephk); continue; m=k+1; while (1) for(i=0;ik;i+) s = (m-1)%(2*k - i); for(j=2*k-i;j2*k;j+) s = (s+m)%(j+1);

21、 if(sk) break; if(i=k) break; m+; printf(%dn,m); josephk = m; return 0; POJ 1781 In Danger#include int main() char p5; int a,b,c; while(scanf(%s,p)!=EOF) if(p0=0&p1=0&p3=0) break; a=(p0-0)*10+p1-0; for(b=1;b=a)break; a=a-c; c=2*c; printf(%dn,2*a-1); return 0; POJ 2359 Questions#include #include #def

22、ine N 1999int main() char c,s30001; int len,i,cnt; len=0; while(c = getchar() != EOF) if(c = n) continue; slen+=c; slen=0; cnt = 0; for (i=2;i=len;i+) cnt=(cnt+N)%i; if(scnt = ?) printf(Yesn); else if(scnt = ) printf(Non); else printf(No commentsn); return 0; POJ 3517 And Then There Was One#include

23、int main() int n,k,m,i,s; scanf(%d%d%d,&n,&k,&m); while (n!=0 & k!=0 & m!=0) s=0; for (i=2;i=n-1;i+) s=(s+k) % i; printf(%dn,(s+m)%n+1); scanf(%d%d%d,&n,&k,&m); return 0; POJ 3750 小孩报数问题/ 参考源程序1#include int main() int n,w,s,i,p,cnt; char name6516; int outId65; scanf(%d,&n); for (i=1;i=n;i+) scanf(%s

24、,namei); for (i=0;in;i+) outIdi=i+1; scanf(%d,%d,&w,&s); i=w-1; / 报数指示 p=0; / 报数计数器 cnt=0; / 出队人数 while (cntn) if (outIdi!=0) p+; if (p=s) cnt+; printf(%sn,nameoutIdi); outIdi=0; p=0; i=(i+1)%(n); return 0;/ 参考源程序2#include struct Jose char name16; Jose *next;int main() Jose *head,*p1,*p2; int n,w,s,i; scanf(%d,&n); head=new Jose; scanf(%s,head-name); p2=head; for (i=2;iname); p2-next=p1; p2=p1; p2-next=head; scanf(%d,%d,&w,&s); p1=head; i=1; while(inext; while (p1-next!=p1) i=1; while(is) / 报数s-1次 i+;