81 第二课时 旋转体与简单组合体.docx

1、81 第二课时 旋转体与简单组合体第二课时 旋转体与简单组合体课标要求素养要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征.2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.在旋转体与简单组合体概念的形成中，经历由具体到抽象，由一般到特殊的过程，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究如图，观察下列实物图.问题(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？(3)如何形成上述几何体的曲面？提示(1)它们不是由平面多边形围成的.(2)可以由某些平面图形旋转而成.(3)上述几何体

2、可由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成.1.圆柱、圆锥、圆台、球旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱OO圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部

3、分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台OO球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O2.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.3.简单组合体“接”和“截”简单几何体就可得到组合体(1)定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.教

4、材拓展补遗微判断1.圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.()2.过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.()3.圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.()4.过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.()提示2.不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形.3.延长后相交于一点.微训练1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心解析圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行.答案D2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是()A.圆柱 B.圆台C.球体

5、 D.棱台解析圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.答案D微思考1.圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示不一定.圆柱的母线与轴是平行的.2.半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？提示半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面.3.用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部.4.观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的.提示图1 是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.题型一旋转体的结构特征【例1】给

6、出下列命题：圆柱的母线与它的轴可以不平行；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是()A. B. C. D.解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知正确，错误.答案D规律方法由简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.(2)解题时要注意两个明确：明确由哪个平面图形旋转而成；明确旋转轴是哪条直线.【训练1】下列命题正确的是_(只填序号).以直角三角形的一边所在直线为轴

7、旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.解析以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误；根据球的半径定义，知正确.答案题型二简单组合体的结构特征【例2】指出图中三个几何体的构成.

8、解图中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱.图中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥.图中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球.规律方法判断组合体构成的方法(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.【训练2】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如

9、图所示.其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.题型三旋转体的有关计算【例3】已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.解如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则r5，r8，r5，r8，又R2rdrd，dd853，即(d1d2)(d1d2)3.又d1d21，解得R3，即球的半径等于3.规律方法(1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.(2)利用球的截

10、面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.【训练3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.解设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.根据相似三角形的性质，得.解得l9.所以圆台的母线长为9 cm.一、素养落地1.通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.2.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.3.球面、球体的区别和联系区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体

11、是几何体，包括球面及所围的空间部分4.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.5.处理组合体问题常采用分割思想.6.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.二、素养训练1.下列几何体是台体的是()解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合圆台的定义可知D正确.答案D2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是()A.有且只有一个 B.一个或无穷多个C.无数个 D.以上均不正确解析当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线A

12、B不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.答案B3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为_.解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.答案24.如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？解画出形成的几何体如图所示.由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的.基础达标一、选择题1.圆柱的母线长为10，则其高等于()A.5 B.10 C.20 D.不确定解析圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.答案B

13、2.如图是由哪个平面图形旋转得到的()解析图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D.答案D3.下列说法正确的是()A.到定点的距离等于定长的点的集合是球B.球面上不同的三点可能在同一条直线上C.用一个平面截球，其截面是一个圆D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面解析对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的.所以选D.答案D4.上、下

14、底面面积分别为36和49，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A.4 B.3 C.2 D.2解析圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2h2(Rr)2，求得h2，即两底面之间的距离为2.答案D5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A. B. C. D.解析一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.答案D二、填空题6.观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而

15、成的是_(填序号).解析可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，可看作由两个四棱柱组合而成.答案7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为_(用Q表示).解析设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.4r2Q，解得r，此圆柱的底面半径为.答案8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为_.解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆半径r1，所以该圆锥的高为h.答案三、解答题9.圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45，求此圆台的高、母线长及两底

16、面的半径.解设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.由题意，得2r2R，即R3r.(2r2R)h392，即(Rr)h392.又母线与底面的夹角为45，则hRrl.联立，得R21，r7，h14，l14.10.已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长.解作出圆锥的一个轴截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x，则DGEFx，DEGFx.依题意，得ABCADE，x，即此正方体的棱长为.能力提升11.一个三棱锥的各

17、棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的()解析易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A，D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.答案C12.圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.解将圆台还原为圆锥，如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心

18、，V是圆锥的顶点，令VO2h，O2O1h1，O1Oh2，则所以即h1h221.故圆台的高被截面分成的两部分的比为21.创新猜想13.(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则()A.弦AB，CD可能相交于点MB.弦AB，CD可能相交于点NC.MN的最大值为5D.MN的最小值为1解析球心到弦AB，CD的距离分别3，2，又因为32，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为321；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为325.故选A，C，D.答案ACD14.(多填题、开放题)如图，模块均由4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成.(1)若从模块中拿掉一个小正方体，再从模块中选出一个模块放到模块上，使得模块成为长方体，则中选出的模块可以是_(答案不唯一).(2)若从模块中选出3个放到模块上，使模块成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是_(答案不唯一).解析(1)由图可知，中选出的一个模块可以是，也可以是，也可以是.(2)先补齐中间一层，只能用，再补最上一层，则可用，也可用.答案(1)(或或)(2)(或)