第十九讲 几何图形的计数问题.docx

1、第十九讲 几何图形的计数问题第十九讲 几何图形的计数问题在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等 例1 如图165所示，数一数图中有多少条不同的线段？解 对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE

2、，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2例2 图166中有多少个三角形？解 以OA为一边的三角形有OAB，OAC，OAD， OAE，OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是OBC，OBD，OBE， OBF；以OC为一边的三角形有OCD，OCE，OCF共3个；以OD为一边的三角形有ODE，ODF共2个；以OE为一边的

3、三角形有OEF一个所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)说明 其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图167中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)同样，宽的一边上不同的线段也有10条所以，共有长方形1010=100(个)(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1

4、，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3所以，所有长方形面积和为(52+56+53)+(172+176+173)+(12+16+13)=(5+17+1)(2+6+3)= 14486=12384例4 图168中共有多少个三角形？解 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(

5、个)我们的计数是有规律的当然，要注意在ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)图中共有三角形592=118(个)例5 图169中有多少个等腰直角三角形？解 图169中有55+44=41个点在每点标一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数因此，共有等腰直角三角形48+516+64+104+84+114+161=268(个)例6(1)图170(a)中有多少个三角形？(2)图170(b)中又有多少个三角形？解(1)图170(a)中有6条直线一般来说，每3条直线能围成一个三角

6、形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图170(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形(2)图170(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有765/6=35种选法每不过同一点的3条直线构成一个三角形图170(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图170(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)说明 从6条直线

7、中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有65种选法但是每一种被重复算了一次， 例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是652=15种从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有654种选法但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为654/6=20种下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题例7 问8条直线最多能把平面分成多少部分？解 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部

8、分；现在添上第4条直线它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图171，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分所以，8条直线最多将平面分成37个部分说明 一般地，n条直线最多将平面分成个部分例8 平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解 1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加

9、入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点如图172所示因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分所以，5个圆最多将平面分成22个部分说明 用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+12+22+(n-1)2 =2+21+2+(n-1) =n2-n+2例9 平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解 首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分现在加入一条直线由于一条

10、直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分所以，总共增加了10个部分因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分例10 平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解 首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原

11、来的部分增加了10个部分因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分例11 三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解 设ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成an-1个小三角形，我们考虑新增加一个点Pn之后的情况：(1)若点Pn在某个小三角形的内部，如图173(a)，则原小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图173(b)则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形所以，ABC内部的n个点把原三

12、角形分割成的小三角形个数为an=an-1+2 易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，anan-1+2 将上面这些式子相加，得an=2n+1 所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成21999+1=3999个小三角形练习十九1填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出_条(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_个(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_个(4)以正七边形的7个顶点中的任

13、意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_(5)平面上10条直线最多能把平面分成_个部分(6)平面上10个圆最多能把平面分成_个区域2有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3图174中有多少个三角形？4图175中有多少个梯形？5在等边ABC所在平面上找到这样一点P，使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？