动态规划矩阵连乘算法.docx

1、动态规划矩阵连乘算法动态规划矩阵连乘算法问题描述：给定n个矩阵：A1,A2,.,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2.，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 问题解析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为： （1）单个矩阵是

2、完全加括号的； （2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC) 例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)，(A1(A2A3)A4)，(A1A2)(A3A4)，(A1(A2A3)A4)，(A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。 看下面一个例子，计算三个矩阵连乘A1，A2，A3；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数(A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，

3、按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3):10*5*50+10*100*50=75000次 所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。 算法思路： 例：设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6，其中各矩阵的维数分别是： A1：30*35; A2：35*15; A3：15*5; A4：5*10; A5：10*20; A6：20*25 递推关系： 设计算Ai:j，1ijn，所需要的最少数乘次数mi,j，则原问题的最优值为m1,n。 当i=j时，Ai:j=Ai，因此，mii=0，i=1,2,n 当ij时，若Ai:j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i=kj,则：mij=mik+

4、mk+1j+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。 综上，有递推关系如下： 构造最优解： 若将对应mij的断开位置k记为sij，在计算出最优值mij后，可递归地由sij构造出相应的最优解。sij中的数表明，计算矩阵链Ai:j的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(Ai:k)(Ak+1:j)。因此，从s1n记录的信息可知计算A1:n的最优加括号方式为(A1:s1n)(As1n+1:n)，进一步递推，A1:s1n的最优加括号方式为(A1:s1s1n)(As1s1

5、n+1:s1s1n)。同理可以确定As1n+1:n的最优加括号方式在ss1n+1n处断开.照此递推下去，最终可以确定A1:n的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。 1、穷举法 列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。 对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1.Ak)(Ak+1An)可以得到关于P(n)的递推式如下： 以上递推关系说明，P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此，穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。 2、重叠递归 从以上递推关系和构造最优解思路

6、出发，即可写出有子问题重叠性的递归代码实现：/3d1-1 重叠子问题的递归最优解/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25/p0-6=30,35,15,5,10,20,25#include stdafx.h#include using namespace std; const int L = 7;int RecurMatrixChain(int i,int j,int *s,int *p);/递归求最优解void Traceback(int i,int j,int *s);/构造最优解int main() int pL=30,35,

7、15,5,10,20,25; int *s = new int *L; for(int i=0;iL;i+) si = new intL; cout矩阵的最少计算次数为：RecurMatrixChain(1,6,s,p)endl; cout矩阵最优计算次序为：endl; Traceback(1,6,s); return 0;int RecurMatrixChain(int i,int j,int *s,int *p) if(i=j) return 0; int u = RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+pi-1*pi*p

8、j; sij = i; for(int k=i+1; kj; k+) int t = RecurMatrixChain(i,k,s,p) + RecurMatrixChain(k+1,j,s,p) + pi-1*pk*pj; if(tu) u=t; sij=k; return u;void Traceback(int i,int j,int *s) if(i=j) return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMultiply Ai,sij; cout and A(sij+1),jendl;1. 用算法RecurMatrixChai

9、n(1,4,s,p)计算a1:4的计算递归树如下图所示： 2. 3. 4. 从上图可以看出很多子问题被重复运算。可以证明，该算法的计算时间T(n)有指数下界。设算法中判断语句和赋值语句为常数时间，则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式：5. 6. 用数学归纳法可以证明，因此，算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。7. 3、备忘录递归算法8. 备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案，在下次需要解决此子问题时，只要简单查看该子问题的解答，而不必重新计算。备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项，初始化时，该记录项存入一个特殊的值，表示该子问题尚未求解。在求解的过程中，

10、对每个带求的子问题，首先查看其相应的记录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该问题是第一次遇到，此时计算出该子问题的解，并将其保存在相应的记录项中，以备以后查看。若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题已被计算过，相应的记录项中存储的是该子问题的解答。此时从记录项中取出该子问题的解答即可，而不必重新计算。/3d1-2 矩阵连乘 备忘录递归实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25/p0-6=30,35,15,5,10,20,25#include stdafx.h#include using nam

11、espace std; const int L = 7;int LookupChain(int i,int j,int *m,int *s,int *p);int MemoizedMatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p);void Traceback(int i,int j,int *s);/构造最优解int main() int pL=30,35,15,5,10,20,25; int *s = new int *L; int *m = new int *L; for(int i=0;iL;i+) si = new intL; mi = new intL;

12、 cout矩阵的最少计算次数为：MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)endl; cout矩阵最优计算次序为：endl; Traceback(1,6,s); return 0;int MemoizedMatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p) for(int i=1; i=n; i+) for(int j=1; j0) return mij; if(i=j) return 0; int u = LookupChain(i,i,m,s,p) + LookupChain(i+1,j,m,s,p)+pi-1*pi*pj; sij=i; for(i

13、nt k=i+1; kj; k+) int t = LookupChain(i,k,m,s,p) + LookupChain(k+1,j,m,s,p) + pi-1*pk*pj; if(tu) u=t; sij = k; mij = u; return u;void Traceback(int i,int j,int *s) if(i=j) return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMultiply Ai,sij; cout and A(sij+1),j0，则表示其中存储的是所要求子问题的计算结果，直接返回即可。否则与直接递归算

14、法一样递归计算，并将计算结果存入mij中返回。备忘录算法耗时O(n3)，将直接递归算法的计算时间从2n降至O(n3)。3、动态规划迭代实现 用动态规划迭代方式解决此问题，可依据其递归式自底向上的方式进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题的答案。每个子问题只计算一次，而在后面需要时只需简单检查一下，从而避免了大量的重复计算，最终得到多项式时间的算法。/3d1-2 矩阵连乘 动态规划迭代实现/A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25/p0-6=30,35,15,5,10,20,25#include stdafx.h#include

15、using namespace std; const int L = 7;int MatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p); void Traceback(int i,int j,int *s);/构造最优解int main() int pL=30,35,15,5,10,20,25; int *s = new int *L; int *m = new int *L; for(int i=0;iL;i+) si = new intL; mi = new intL; cout矩阵的最少计算次数为：MatrixChain(6,m,s,p)endl; cout矩阵

16、最优计算次序为：endl; Traceback(1,6,s); return 0;int MatrixChain(int n,int *m,int *s,int *p) for(int i=1; i=n; i+) mii = 0; for(int r=2; r=n; r+) /r为当前计算的链长（子问题规模） for(int i=1; i=n-r+1; i+)/n-r+1为最后一个r链的前边界 int j = i+r-1;/计算前边界为r，链长为r的链的后边界 mij = mi+1j + pi-1*pi*pj;/将链ij划分为A(i) * ( Ai+1:j ) sij = i; for(int

17、 k=i+1; kj; k+) /将链ij划分为( Ai:k )* (Ak+1:j) int t = mik + mk+1j + pi-1*pk*pj; if(tmij) mij = t; sij = k; return m1L-1;void Traceback(int i,int j,int *s) if(i=j) return; Traceback(i,sij,s); Traceback(sij+1,j,s); coutMultiply Ai,sij; cout and A(sij+1),jendl;上述迭代算法的运行过程如下图所示： 如图所示： 当R=2时，先迭代计算出： m1:2=m1

18、:1+m2:2+p0*p1*p2； m2:3=m2:2+m3:3+p1*p2*p3; m3:4=m3:3+m44+p2*p3*p4; m4:5=m4:4+m55+p3*p4*p5; m5:6=m55+m66+p4*p5*p6的值； 当R=3时，迭代计算出： m1:3=min(m1:1+m2:3+p0*p1*p3,m1:2+m3:3+p0*p2*p3); m2:4=min(m2:2+m3:4+p1*p2*p4,m2:3+m4:4+p1*p3*p4); . m4:6=min(m4:4+m5:6+p3*p4*p6,m4:5+m6:6+p3*p5*p6); . 依次类推，根据之前计算的m值，迭代计算最优解。与备忘录方法相比，此方法会将每个子问题计算一遍，而备忘录方法则更灵活，当子问题中的部分子问题不必求解释，用备忘录方法较有利，因为从控制结构可以看出，该方法只解那些确实需要求解的子问题