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1、高中数学 第二章 算法初步 算法的概念文字素材讲解 北师大版必修3算法的概念算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。也就是说给定初始状态或输入数据，经过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。 算法的历史 “算法”(algorithm)来自于9世纪波斯数学家比阿勒霍瓦里松的名字al-Khwarizmi，比阿勒霍瓦里松在数学上提出了算法这个概念。“

2、算法”原为algorism，意思是阿拉伯数字的运算法则，在18世纪演变为algorithm。 第一次编写算法是Ada Byron于1842年为巴贝奇分析机编写求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多数人认为是世界上第一位程序员。因为巴贝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴贝奇分析机，这个算法未能在巴贝奇分析机上执行。 因为well-defined procedure缺少数学上精确的定义，19世纪和20世纪早期的数学家、逻辑学家在定义算法上出现了困难。20世纪的英国数学家图灵提出了著名的图灵论题，并提出一种假想的计算机的抽象模型，这个模型被称为图灵机。图灵机的出现解决了

3、算法定义的难题，图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。算法的特征一个算法应该具有以下五个重要的特征： 有穷性： 一个算法必须保证执行有限步之后结束； 确切性： 算法的每一步骤必须有确切的定义； 输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件； 输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的； 可行性： 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。 形式化算法 算法是计算机处理信息的本质，因为计算机程序本质上是一个算法来告诉计算机确切的步骤来执行一个指定的任务，如计算职工的薪水或打

4、印学生的成绩单。 一般地，当算法在处理信息时，会从输入设备或数据的存储地址读取数据，把结果写入输出设备或某个存储地址供以后再调用。 算法的实现 算法不单单可以用计算机程序来实现，也可以在神经网络、电路或者机械设备上实现。例子这是算法的一个简单的例子。我们有一串随机数列。我们的目的是找到这个数列中最大的数。如果将数列中的每一个数字看成是一颗豆子的大小,可以将下面的算法形象地称为“捡豆子”：首先将第一颗豆子放入口袋中。 从第二颗豆子开始检查，直到最后一颗豆子。如果正在检查的豆子比口袋中的还大，则将它捡起放入口袋中，同时丢掉原先口袋中的豆子。 最后口袋中的豆子就是所有的豆子中最大的一颗。 下面是一个

5、形式算法，用近似于编程语言的伪代码表示给定：一个数列“list，以及数列的长度length(list) largest = list1for counter = 2 to length(list):if listcounter largest:largest = listcounterprint largest符号说明:= 用于表示赋值。即：右边的值被赋予给左边的变量。 Listcounter用于表示数列中的第counter项。例如：如果counter的值是5，那么Listcounter表示数列中的第5项。 = 用于表示“小于或等于”。 例子求两个自然数的最大公约数 设两个变量 M 和 N 1

6、.如果 M N，则交换 M 和 N 2.以 N 除以 M，得到余数 R 3.判断 R0，正确则 N 即为“最大公约数”，否则下一步 4.将 N 赋值给 M，将 R 赋值给 N，重做第一步。用“Basic 代码”表示If M N Then Swap M,N Do While R 0R = M Mod NM = NN = RLoop Print R算法设计和分析的基本方法分治法：字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排

7、序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)动态规划：动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。贪心法（亦作饕餮法）：就是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好/优的选择，从而希望导致结果是最好/优的算法。贪心法可以解决一些最优性问题，如：求图中的最小生成树、求哈夫曼编码对于其他问题，贪心法一般不能得到我们所要求的答案。一旦一个问题可以通过贪心法来解决，那么贪心法一般是解决这个问题的最好办法。由于

8、贪心法的高效性以及其所求得的答案比较接近最优结果，贪心法也可以用作辅助算法或者直接解决一些要求结果不特别精确的问题。算法的分类基本算法 枚举 搜索（深度优先搜索 广度优先搜索 启发式搜索 遗传算法 ）数据结构的算法 数论与代数算法 计算几何的算法 （凸包算法 ）图论的算法 （哈夫曼编码 树的遍历 最短路径算法 最小生成树算法 最小树形图 网络流算法 匹配算法 ） 动态规划 其他 （数值分析 加密算法 排序算法 检索算法 随机化算法 ）还可以分成串行算法、并行算法。算法的复杂性 算法的复杂性是算法效率的度量，在评价算法性能时，复杂性是一个重要的依据。算法的复杂性的程度与运行该算法所需要的计算机资

9、源的多少有关，所需要的资源越多，表明该算法的复杂性越高；所需要的资源越少，表明该算法的复杂性越低。计算机的资源，最重要的是运算所需的时间和存储程序和数据所需的空间资源，算法的复杂性有时间复杂性和空间复杂性之分。 算法在计算机上执行运算，需要一定的存储空间存放描述算法的程序和算法所需的数据，计算机完成运算任务需要一定的时间。根据不同的算法写出的程序放在计算机上运算时，所需要的时间和空间是不同的，算法的复杂性是对算法运算所需时间和空间的一种度量。不同的计算机其运算速度相差很大，在衡量一个算法的复杂性要注意到这一点。对于任意给定的问题，设计出复杂性尽可能低的算法是在设计算法时考虑的一个重要目标。另外

10、，当给定的问题已有多种算法时，选择其中复杂性最低者，是在选用算法时应遵循的一个重要准则。因此，算法的复杂性分析对算法的设计或选用有着重要的指导意义和实用价值。在讨论算法的复杂性时，有两个问题要弄清楚：(1) 一个算法的复杂性用怎样的一个量来表达；(2) 怎样计算一个给定算法的复杂性。找到求解一个问题的算法后，接着就是该算法的实现，至于是否可以找到实现的方法，取决于算法的可计算性和计算的复杂性，该问题是否存在求解算法，能否提供算法所需要的时间资源和空间资源。筛选法求质数质数亦叫作素数，是大于1的自然数，并且除了该数本身和1以外没有其它的数能整除它，如2，3，5，7，11，13，质数有无穷多个。

11、（1）判断143是否为质数。解：Step1：1432不为整数；Step2：1433不为整数；Step3：1434不为整数；Step4：1435不为整数；Step5：1436不为整数；Step6：1437不为整数；Step7：1438不为整数；Step8：1439不为整数；Step9：14310不为整数；Step10：14311=13，143能被11整除；Step11：结论：143不是质数。（2）判断17是否为质数。解：Step1：172不为整数；Step2：173不为整数；Step3：174不为整数；Step4：175不为整数；Step5：176不为整数；Step6：177不为整数；Step7

12、：178不为整数；Step8：179不为整数；Step9：1710不为整数；Step10：1711不为整数；Step11：1712不为整数；Step12：1713不为整数；Step13：1714不为整数；Step14：1715不为整数；Step15：1716不为整数；Step16：结论：17是质数。 （3）判断216091是不是质数该题的计算量非常大，我们可以把算法编为程序，由计算机帮我们计算。（4）设计一个算法，输入大于2的整数n，由计算机判断它是不是质数。解：Step1：输入整数n；Step2：依次检验2(n-1)是不是n的因数，若有这样的数，则n不是质数，否则，n为质数。Step3：输出

13、结果。说明：其中第3步在计算机中可以通过一个循环来实现，今后会学到第（1）课时课题：书法-写字基本知识 课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。2、了解我国书法发展的历史。3、掌握基本笔画的书写特点。重点：基本笔画的书写。难点：运笔的技法。教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用

14、，不能参合使用。换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。2、教师边书写边讲解。3、学生练习，教师指导。（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。5、学生练习，教师指导。（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。 板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养

15、的基本常识。基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。总第（2）课时课题：书写练习1 课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。 重点：正确书写6个字。难点：注意字的结构和笔画的书写。教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。（老师读，学生读，加深理解。） 3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。 杏：上大下小，上面要写得大，大

16、在哪里？（大在撇捺）写的时候撇捺要舒展，象燕子张开的翅膀；下面的“口”要写得小，左右两竖要内斜，稍扁；“木”的竖写在竖中线上。 花：也是上下结构，草字头两竖要内斜；下面单人旁起笔对准上面的左竖，竖弯钩起笔对准上面的右竖；竖弯钩要舒展，（用红笔描竖弯钩，并在旁边书写一个大的竖弯钩）要求弯处圆转，不能僵硬（书写僵硬的竖弯钩，并在旁边打）。春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。 雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二

17、点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。 南：上横短；下边两竖内斜；框架中两横都是短的，中间一竖悬针；三个竖画左、中差不多长，右竖钩最低；横折钩要写出弯势。 4、学生练习，教师巡回指导。 三、讲评： 收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：书写练习1、杏花春雨江南我的思考：进一步加强写字姿势训练，这是根本。在了解字结构的基础上更好的把握每个字的书写。及时对书写情况进行反馈，同时通过奖励激发学生兴趣。课后反思：通过字形的比较，学生基本上学会了笔画位置的比较，但是还需要不断的引导。第（3）课时 课题：书写练习2

18、课型：新授课教学目标：1、掌握车字旁写法，并能把“轻”字写端正。2、完成书写练习。重点：正确地书写“轻”字难点：“车”字旁的书写。教学过程：一、讲评上一课作业情况。1、表扬书写优秀者，展示其作业。2、指出存在的主要缺点并进行针对性的练习。二、指导“车”字旁写法：1、出示范字，观察“车”字旁写法。2、讨论明确其书写要领：“车”字旁分四笔完成，整个偏旁左重右轻，不超过竖中线。第一笔横稍短。第二笔撇折收笔于横中线。第三笔垂露竖，应在第一笔横下的正中位置起笔。最后一笔，比第一横长一些，离折笔稍近一些。3、练写“车”字旁。三、指导临写“轻”字。1、观察范字。2、明确写法。“轻”字的写法：“轻”字左窄右宽

19、，右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平，底部大体相齐，右边上下两部分基本相等。四、课后延伸书写：斩、转 板书设计：书写练习2、轻、斩、转我的思考：以复习巩固导入，并有针对地进行纠正。明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置，使学生初步掌握字的结构特点。在练习书写“车”字旁的基础上，更好的把握整个字的字形。课后及时巩固，拓展。课后反思：学生基本上能把握好字在田字格中的位置，处理好左右的布局。第（4）课时课题:结构特点（六） 课型:新授课教学目标: 1、懂得以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小。2、通过练习，写好课文中的例字。重点:掌握以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小难点:把

20、握好字的结构。教学过程：一、复习巩固二、教学新课1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字（1）教师讲解字头的书写。（2）学生练习书写，教师指导书写。（3教师根据实际情况小结，提出要求。2.指导书写例字（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。3、提出注意点三、讲评： 收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔我的思考：使学生更好的把握好字的结构，

21、同时在教师的指导下提高学生辨别能力。激励学生更好的书写。 第（5）课时课题：怎样写好字 课型：复习课教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。教学过程：一、正确的学书之路1临帖临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。2专一学书首先应师承一家，建立根据地，然后再发展。这就有一个选帖的问题，选帖的标准：好帖；喜欢。选定帖后专心致志，认真临习，坚持不懈，直至形同神似。这个时期检验你学习得怎样，首先看临得像不像，再看笔法笔意。3博采众长当对一本帖或一家书体临习达到形同神

22、似之后，就要广涉其他好帖，取其营养加以吸收消化，融会贯通。4字外功夫练字的同时经常要多读书，多掌握方方面面的知识，加强自身修养。总之一句话，加强字外功夫的训练。在此基础上，逐步形成自己的风格，便自成一家。综上所述，我们可以把正确的学书之路概括为：二、科学的学书方法明确了正确的学书之路之后，我们还要掌握科学的学习方法，有了科学的学习方法，就可得到较好的学习效果。1临帖和摹帖这既是正确学书之路的开端，又是正确学书方法中的根本点，必须坚信不疑，坚定不移。摹帖和临帖各有优点，效果各异。姜夔续书谱中说：“临书易失占人位置，而多得古人笔意，摹书易得古人位置，而多失古人笔意，临书易进，摹书易忘。”其中的“笔

23、意”即指笔法、笔势及线条意趣。“临”的方法就是看着字帖，照着写。只要仔细地临，便容易掌握笔法笔意从而把范本的精髓学到手。“摹”的方法，就是用薄纸蒙在帖上，直接地描画。所以字形基本上不会走样，多摹几遍，有利于把握结构。但摹书看不清笔法，“易失笔意”，虽然间架不错但没有笔法，字就僵化。所以，初学者可以临摹并用，相互补充。2每天定量事实证明，任何事情都有一个由量变到质变的过程，练字也一样，写得太少，练习量跟不上，就谈不上进步；当然盲目机械地多写，疲倦了效果也不好。一定的量才能达到的一定的效果，较佳的量才能达到较佳的效果。3循序渐进学习书法，在勤学苦练的基础上，还应该懂得它是一个循序渐进的过程：第一，

24、先正楷，后行草。苏轼说：“真生行，行生草。真如立，行如行，草如走。”就是说楷、行、草书三者如同人的立、走、跑，如果人连站都不能站，怎么能走和跑呢？如果没有楷书基础，直接写行书、草书，就会疏于法度，流于轻滑飘浮。行书、草书是楷书的流、便、疏、散，学好楷书之后，加强用笔的流动呼应，行草就容易上手。等到楷法熟练，再写行草时便可悟到两者相通之处，可相辅相成，互相促进，相得益彰。第三，先点画，后结构，再章法。书法是线条的艺术，也就是以基本点画为基础的艺术。基本点画不好，整字或整篇的艺术性就无从谈起。由于钢笔尖性硬，在线条变化上相对简单得多，故钢笔书法学习在结构上花的时间多，而在用笔、点画上相对较少。但这

25、并不是说点画用笔不重要，相反，它是钢笔书法的基本功，只有在点画书写的基本功扎实之后，才可能去把握结构。在结构上有了一定的基础后，整幅字的章法就容易把握了。第（6）课时 课题：结构特点（七） 课型：新授课教学目标：1、了解“皿”、“土”等做字底的字的结构特点，学习这类字的写法。2、通过练习，写好课文中的例字。重点：掌握字的结构，学习写法。教学过程：一、观察例字，进行讨论：（1）这些字是什么结构？（2）它们分别是什么字底？（3）书写上有什么特点？二、教师示范小结三、指导要点盘：上半部分宜瘦长，下面要宽扁。皇：“白”字头是方形结构的，要写的紧凑些，略小；“王”上两横短，下横长，略大。至：第一横不要太

26、斜，撇折点也不要太斜；下面的“土”要端正，下横要长。竖：上半部分要摆好位置，左右不要分开；下面的“立”，点在正中，上横短，点撇要呼应，下横适当拉长。四、学生练习，教师指导。五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：结构特点（七）、盘 至 竖我的思考：通过自主观察来了解字形。在逐字的教学指导中使学生学会自主分析，养成良好的学习习惯。课后反思：部分学生在练习中还需要指导。 第（7）课时课题：结构特点（八） 课型：新授课教学目标：1、了解上下相同、左右相同这类字的结构特点，学习这类字的写法。2、通过练习，写好课文中的例字。重点：掌

27、握这类字的结构，学习写法。教学过程：一、例字，再说说它们有什么共同的特点。二、读课文中的一段话，说说这段话的意思。三、教师示范并小结。四、范字指导提要哥：下面的部分要先写“口”再写竖钩，注意笔顺。竹：左竖回锋，有撇略高于和长于左撇。羽：左小右大，其中的4点要摆好位置，使其显得丰满些。吕、昌：口和曰要写成扁方形，上下重复，上小下大。兢：语文课文中还没有出现过，这个字可只让学生知道其书写方法，左边的竖弯钩改成竖提。五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：结构特点（八）、哥 羽我的思考：通过自主观察来了解字形。在逐字的教学指导中

28、使学生学会自主分析，养成良好的学习习惯。课后反思：基本上能把握学生的字形，但在细节上还要加强指导。 第（8）课时 课题：结构特点（九） 课型：新授课教学目标：1、了解左右偏旁比例不等的特点，学习这些字的写法。2、通过书写练习，写好课文中的例字。重点：掌握这类字的结构，学习写法。教学过程：一、先看看例字，再说说它们有什么特点。二、读读课文，说说这些例字的书写有什么规律。三、教师示范并小结。四、范字指导提要峰：“山”字旁略高，右半的长撇长捺要舒展。和、知：右“口”一般比左“口”大，并比左“口”略低。催：左让右，单人旁撇短些，不要太斜；右半部分上下平稳，高大些。说：言字旁横向左取势，不宜过宽，转折时

29、要对准上面的点，提和下一笔呼应，并注意提的角度。五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：结构特点（九）、峰 催 说我的思考：通过自主观察来了解字形。在逐字的教学指导中使学生学会自主分析，养成良好的学习习惯。课后反思：学生对于字形复杂的字在结构上还需要指导练习。 第（9）课时课题：结构特点（十） 课型：新授课教学目标： 1、了解左中右结构字的构字特点，学习这类字的写法。2、通过书写练习，写好课文中的例字。重点：掌握这类字的结构，学习写法。教学过程：一、先看看例字，再说说它们有什么特点。二、想一想，说说写好这些字的关键是什么？

30、三、教师示范并小结：这课的例字均是左中右结构的字，书写时要注意相互间的穿插和避让，使之协调统一。四、范字指导提要仰：中间的竖提收缩。做：中间部分收缩，使右边部分的长撇得到充分的舒展。哪：左口向上抬，右竖充分往下舒展。班：左提收紧，使中间的撇能向左充分展开。右“王”下横从撇下起笔，略长些。街：中间部分的竖起笔稍高，以显示挺拔有神，4个横画要和右边的横画相互穿插，使其紧密不松散。五、收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。 板书设计：结构特点（十）、仰 街 哪我的思考：通过自主观察来了解字形。在逐字的教学指导中使学生学会自主分析，养成良好的学习习惯。课后反思：对左中右结构的字结构的把握尤其重要，有些学生还要加强指导，引导仔细观察。 第（10）课时课题：学习钢笔字的方法 课型：复习课教学目标：1.让学生学习掌握练习钢笔字的方法重点：掌握练习钢笔字的方法。教学过程：练字是思维活动和感觉器官的一种锻炼，是眼、脑、手并用形成的一种特殊技巧，从不会到会，靠人引路或自己探索；从会到熟，必须经过反复的书写训练。在科学的练习方法指导下，在反复的书写训练中逐步提高，是学习写字的成功之路。具体应从以下几个方面努力：一、激发动机，培弊意志人对练习写字的需要不是自生的，而是靠实践的体验，靠教育者的引导，逐步形成的，并由此产生情感，形成浓厚的兴趣。这