1、第八章 还原问题还原问题还原含义 对于有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。 初级还原问题 例题精讲1. 某数加7,乘以5,再减去9,得51,求这个数. 解: 我们反过来算: (51+9)5-7=605-7=12-7=5. 答:这个数是5.请同学们验证一下,按题目的运算顺序,看能否得到51. 2. 在做一道加法题时,小胖把个位上的5看成9,把十位上的8看成了
2、3,结果得到123,问正确答案应该是多少?分析 由于小胖粗心看错了题,得到错误的结果,可以利用还原的方法去求出正确的答案.解: 小胖把个位上的5看成9,多加了4,因此要减去4;他把十位上的8看成了3,少加了50,所以应当再加上50.这样正确的答案应该是:123-4+50=169.答:正确答案应为169.3. 某人去银行取款,第一次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元.他原有存款多少元?分析 看起来这个问题很复杂,实际上这还是一个还原应用题,我们照样可以反过来求出原先的存款数.解: 这个人第二次取了余下的一半还多10元,这时还剩125元,说明余下的一半是
3、125+10=135(元).因此余下钱数应为 1352=270(元).而这270元是这个人第一次取了存款的一半还多5元而剩下的,因此存款的一半应为:270+5=275(元).所以这个人实际存款为:2752=550(元).列综合算式为:(125+10)2+52=(270+5)2=550(元).答:这个人原有存款550元.我们来验证一下所得的结果是否正确.第一次这个人取了存款的一半还多5元,就是5502+5=280(元),还剩下550-280=270(元).第二次又取了余下的一半还多10元,就是2702+10=145(元),还剩下 270-145=125(元).说明求的结果是正确的.甲,这时他们各
4、有240元.两人原来各有多少元钱?此时甲有2402-300=180(元).此时乙有2402-216=264(元).答:甲原有216元,乙原有264元.4. 兄弟三人分24个苹果,每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二,然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三,最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三,这时每人所得的苹果数恰好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁.分析 要求三人的年龄,必须先求各人所得的苹果数.为此我们反过来推导.为了便于理解和说明,可以列出一个表,从最后每人所得苹果数相等,倒推出开始每人所得的苹果数.解: 由于总共24个苹果,最后三
5、人所得苹果数相等,因此每人都分得8个苹果.为了便于说明,请看表231.由题中可以看出老大、老二、老三原有苹果分别为13、7、4个,因此他们的年龄分别为16岁、10岁、7岁.答:老大、老二、老三的年龄分别是16岁、10岁和7岁.同学们可以验证一下,由表中的最下面一行推上去,看是否能推出三人的苹果都是8个.列表的方法也是我们解应用题常用的方法.特别是当对象和程序较多的情况下,利用表格可以把中间过程清楚地表示出来,从而容易得到正确的结果.5. 甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本,甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁,使他们的书增加1倍,然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍,然后丙又拿出
6、部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍,最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书?解: 我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后,甲、乙、丙的书各自增加了1倍,都为32本,说明在此之前,甲、乙、丙手中的书都为:322=16(本).丁手中的书应为:32+163=80(本).同样可推出在丙拿出书之前,甲、乙、丁手中的书分别为:8本、8本、40本,此时丙手中的书应为:16+8+8+40=72(本).继续下去,就可推出原来四人手中各有的书.甲、乙、丙、丁最初各有书66本、34本、
7、18本和10本.答:甲、乙、丙、丁原来各有66本、34本、18本、10本书.知识运用1. 一个数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6.求这个数. 2. 一个数除以5,乘以7,减去20再加上15等于100.求此数. 3. 一个数加上7,乘以3,减去15,得到最大的3位数.求这个数.4.有一个两位数,十位 上的数字是个位上的数字的2倍,如果把十位上的数减3,个位上的数加3,就得到另 外一个两位数,把这个两位数与原来的两位数相加,和是141.求这个两位数. 4. 小红买书用去所带钱的一半,买练习本又用了2角5分,买铅笔用了剩余钱的一半, 这时小红还有2角7分钱.问小红带了多少钱? 5. 书架
8、上有上、中、下三层,一共分放了192本书.现在先从上层取出与中层同样多的书 放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层现有的 同样多的书放到上层,这时三层的书刚好相等.问这个书架上、中、下层原来各有多 少本书? 6. 甲、乙、丙三只猴子各有桃子若干个.甲猴从乙猴手中抢来一半,吃掉一个;乙猴又从 丙猴手中抢来一半,吃掉一个;丙猴又从甲猴手中抢来一半,也吃掉一个,最后三只 猴子都有9个桃子.问原来它们各有桃子多少个?中级还原问题 例题精讲 1. 有一个数,把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。问:这个数是几?分析:这个问题是由(446)310
9、4,求出。我们倒着看,如果除以3以后不减去10,那么商应该是41014;如果在减去46以后不除以3,那么差该是14342;可知这个数乘以4后的积为424688,因此这个数是884=22。解:(410)346422。答:这个数是22。2. 小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。问:正确的结果应是多少?分析:利用还原法。因为把个位上的5看成9,所以多加了4;又因为把十位上的8看成3,所以少加了50。在用还原法做题时,多加了的4应减去,多减了的50应加上。解:123-450169。答:正确的结果应是169。3. 学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢
10、两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问:最初乐乐拿了多少棵树苗?分析:先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵,乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍,所以欢欢现在拿了36(21)=12(棵)树苗,而乐乐现在拿了12224(棵)树苗,乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵,如果不抢,那么乐乐有树苗24-618(棵),欢欢看乐乐拿得太多,去抢了10棵,如果欢欢不抢,那么乐乐就有 181028(棵)。解:365(12)2-610=28(棵)。答:乐乐最初拿了28棵树苗。4. 甲、乙、丙三组共有图书90本
11、,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。问:甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书? 分析与解:尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90330(本)。根据题目条件,原来各组的图书为甲组有30333(本),乙组有303532(本),丙组有30525(本)。5. 一 捆 电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?分析:由逆推法知,第二次用完还剩下157=22(米),第一次用完还剩下(2210)224(米),原来电线长(24
12、3)254(米)。解:(15710)23254(米)。答:这捆电线原有54米。知识运用1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。3.在125381=1999中,内应填入什么数?4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。问:小乐爷爷今年多少岁?5.粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半少7吨,还剩4吨。问:粮库里原有面粉多少吨?6.有一筐梨,甲取一半又一个,乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8
13、.80元,那么每个梨值多少钱?7.山顶有一株梨树,一只猴子去偷吃梨子,第1天偷了1/8 ,以后6天分别偷了1/7,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2 ;最后 一天,树上仅剩下100个梨。试求原来树上有多少个梨子?8.某人去银行取款,第1次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元。问:此人原有存款多少元?高级还原问题 例题精讲1. 有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚。问:原来至少有多少枚棋子?分析与解:棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推,得到第三次分之前有1
14、415(枚),第二次分之前有51121(枚),第一次分之前有214185(枚)。所以原来至少有85枚棋子。2. 袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。问:袋中原有多少个球?分析与解:利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个,第4次操作后有(31)24(个),第3次为了简洁清楚,可以列表逆推如下:所以原来袋中有34个球。3. 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆苹果数恰好相等。问:三堆苹果
15、原来各有多少个?分析与解:由题意知,最后每堆苹果都是48316(个),由此向前逆推如下表:原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。逆推时注意,每次变化中,有一堆未动;有一堆增加了一倍,逆推时应除以2;另一堆减少了增加一倍那堆增加的数,逆推时应使用加法。4. 有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时,各桶油都是16千克。问:各桶原有油多少千克?分析与解:与例3类似,列表逆推如下:原来甲、乙、丙桶分别有油26,14,8千克。逆推时注意,每次变化时,有
16、两桶各增加了一倍,逆推时应分别除以2;另一桶减少了上述两桶增加的数,逆推时应使用加法。专题分析: 一个数量经过若干次变化成了另一个结果,我们从结果出发,根据每一次变化情况,一步一步地倒着想,把结果还原成开始状态,这类问题叫做还原问题,又叫逆运算问题。 对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题,可以直接列式一步步倒着推算,对于变化复杂的,可借助列表和画图来帮助解决问题。知识运用1、小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2后,扩大10倍,恰好是100岁,小刚的奶奶今年多少岁?2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘以2,结果得60。求这个数。3、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下
17、午售出剩下的一半多20台,还剩95台,这个商场原来有洗衣机多少台?4、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后,又借给小勇5本,结果三个人的故事书的本数相等。这三个人原来各有故事书多少本?5、王亮和李强各有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强,李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮,这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张?6、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨,还剩下4吨。问粮库原有大米多少吨?7、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃了剩下的一半多1个,还
18、剩下1个。问爸爸买了多少个橘子?8、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球100颗,甲给乙13颗,乙给丙18颗,丙给丁16颗,丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗?9、书架分为上、中、下三层,共放192本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层,再从中层取出下层同样多的书放到下层,最后,从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层,这时三层书架所放的书的本数相等。这个书架三层原来各放书多少本/10、学校运来36棵树苗,小强和小平两人争者去栽,小强先拿了树苗若干棵,小平看到小强太多了就抢了10棵,小强不肯,又从小平那里抢回6棵。这时小强拿的树苗棵数是小平的2倍,问最初小强准备拿几棵?11、
19、小红问王老师今年多大年纪,王老师说:把我的年龄加上9,除以4,减去2,再乘以3,恰好是30岁。问王老师今年多少岁?小学奥数竞赛专题之还原问题例1:村姑卖鸡蛋,第一次卖出一篮的一半又二个;第二次卖出余下的一半又二个;第三次卖出再剩下的一半又二个,这时篮里只剩下二个蛋,问这篮鸡蛋有多少个?分析:从上面线段图可以看出:最后剩下2个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个,就是再余下的一半,由此可求出再余下的是(2+2)2=8(个).8个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半,因此可求出余下的是:(8+2)2=20(个)20个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半,因此可求出全
20、篮鸡蛋的个数是: (20+2)2=44(个) 答:这篮鸡蛋有44个.例2:甲、乙、丙三人钱数各不相同,甲最多,他拿出一些钱给乙和丙,使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙,使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍,结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙,使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍,结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元,那么三人原来的钱分别是多少元?分析:三人最后一样多,所以都是813=27元,然后我们开始还原:(1)甲和乙把钱还给丙:每人增加2倍,就应该是原来的3倍,所以甲和乙都是273=9,丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把钱还给乙:甲93=
21、3,丙633=21,乙81-3-21=57;(3) 最后是乙和丙把钱还给甲:乙573=19,丙213=7,甲81-19-7=55元. 知识运用1、某粮库有面粉若干袋,第一次卖掉原有的一半少12袋,第二次卖出剩下的一半多10袋,第三次又卖出48袋,这时还剩28袋。求粮库中原有面粉多少袋?2、袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。问:袋中原有多少个球?3、有119只蜜蜂在三棵枣树上采蜜.一会儿有10只蜜蜂从第一棵枣树上飞到第二棵枣树上;过了一会儿,又有20只蜜蜂从第二棵枣树上飞走了.这时三棵枣树上的蜜蜂正好一样多,第二棵枣树上原来有多少只蜜蜂? 还原
22、问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果,要求原来的数的问题。解答这一类的问题时,要根据题意,从所给的结果出发,抓住逆运算关系,由后向前一步步逆推(倒推法、还原法),做相反的运算,逐步靠拢已知条件,直到问题得到解决。在解答还原问题时,如果列综合算式,要注意括号的正确使用。典型例题例【1】三(1)班小图书箱第一天借出了存书的一半,第2天又借出43本,还剩32本。小图书箱原有图书多少本?分析经过两天借出图书,小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算:第2天没借出43本前(也就是第1天借出图书后),应有(3243)本书,再根据“第1天借出了存书的一半”,可推算出这75本书也就是第1天借出后的另
23、一半,即相当于第1天借出的本数。这样,小图书箱原有的图书本数可求得。解第1天借书后还剩的本数:324375(本)原有图书的本数:752150(本)综合算式:(3243)2150(本)答:小图书箱原有图书150本。例【2】某数加上5,乘以5,减去5,除以5,其结果等于5。求这个数。分析从后往前推,原来是加法,推回去是减法;原来是减法,推回去是加法;原来是乘法,推回去是除法;原来是除法,推回去是乘法。从最后一步推起,“除以5,其结果等于5”可以求出被除数:5530;再看倒数第2步,“减去5”得25,可以求出被减数:25530;然后看倒数第3步,“乘以5”得30,可以求出被乘数:3056;最后看第1
24、步,“某数加上5”得6,某数为651。解5525255303056651答:所求的数为1。例【3】小明在做一道加法算式题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123。正确的结果应是多少?分析要求正确的和,就要知道两个正确的加数。看错的加数是39,因此得到错误的和是123。根据逆运算可得到一个没看错的加数是1238984,题中已知一个正确的加数是85,所以正确的和是8584169把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和应把4减去;把视为上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和应把50加上去。这样,正确的答案123504169。解一12339
25、858485169解二954803050123504169答:正确的答案是169。例【4】仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨,结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨?分析如果第二天刚好售出剩下的一半,就应是(1912)吨。第一天售出以后剩下的吨数是(1912)2吨。以下类推。解(1912)262(吨)(6212)2100(吨)答:这个仓库原有大米100吨。小结还原问题是逆解应用题。一般根据加减法或乘除法的互逆运算关系,由题目所叙述的顺序倒过来思考,从最后一个已知条件出发,逆推而上,求得结果。知识运用1、 某人去银行取款,第一次取了存款
26、的一半多50元,第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元?2、 有26块砖,兄弟2人争着去挑,弟弟抢在前面,刚摆好砖,哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多,就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块?3、 有一筐苹果,把它们三等分后还剩两个苹果;取出其中的两份,将它们三等分后还剩两个;然后再取出其中两份,又将两份三等分之后还剩两个,这筐苹果至少有多少个?4、 甲,乙,丙三组共有图书90本,如果乙组借给甲组3本后,又送给丙5本,结果三个组所有图书刚好相等,甲,乙,丙三个组原
27、有图书各多少本?5、 有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚。问:原来至少有多少枚棋子?6、 袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。问:袋中原有多少个球?7、 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆苹果数恰好相等。问:三堆苹果原来各有多少个?8、 兄弟三人分24个桔子,每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得
28、的桔子的一半平分给老大与老二,接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大,最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三,这时每人的桔子数恰好相同。问:兄弟三人的年龄各多少岁?9、 有一堆桃,第一只猴拿走其中的一半加半个,第二只猴又拿走剩下的一半加半个,第三、四、五只猴照此方式办理,最后还剩下一个桃。问:原来有多少个桃?10、 某人去银行取款,第一次取了存款的一半多50元,第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元?11、小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2后,扩大10倍,恰好是100岁,小刚的奶奶今年多少岁?12、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘
29、以2,结果得60。求这个数。13、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台,这个商场原来有洗衣机多少台?14、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后,又借给小勇5本,结果三个人的故事书的本数相等。这三个人原来各有故事书多少本?15、王亮和李强各有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强,李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮,这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张?16、粮库内有一批大米,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半多5吨,还剩下4吨。问粮库原有大米多少吨?17、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃了剩下的一半多1个,还剩下1个。问爸爸买了多少个橘子?18、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球100颗,甲给乙13颗,乙给丙18颗,丙给丁16颗,丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗?19、书架分为上、中、下三层,共放192本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层,再从中层取出下层同样多的书放到下层,最后,从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层,这时三层书架所放的书的本数相等。这个书架三层原来各放书多少本/20、学校运来36棵树苗,小
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