第八章 还原问题.docx

1、第八章 还原问题还原问题还原含义 对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。 初级还原问题 例题精讲1. 某数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数. 解： 我们反过来算： （51+9）5-7=605-7=12-7=5. 答：这个数是5.请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到51. 2. 在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成9，把十位上的8看成了

2、3，结果得到123，问正确答案应该是多少？分析 由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.解: 小胖把个位上的5看成9，多加了4，因此要减去4；他把十位上的8看成了3，少加了50，所以应当再加上50.这样正确的答案应该是：123-4+50=169.答：正确答案应为169.3. 某人去银行取款，第一次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元.他原有存款多少元？分析 看起来这个问题很复杂，实际上这还是一个还原应用题，我们照样可以反过来求出原先的存款数.解: 这个人第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，说明余下的一半是

3、125+10=135（元）.因此余下钱数应为 1352=270（元）.而这270元是这个人第一次取了存款的一半还多5元而剩下的，因此存款的一半应为：270+5=275（元）.所以这个人实际存款为：2752=550（元）.列综合算式为：（125+10）2+52=（270+5）2=550（元）.答：这个人原有存款550元.我们来验证一下所得的结果是否正确.第一次这个人取了存款的一半还多5元，就是5502+5=280（元），还剩下550-280=270（元）.第二次又取了余下的一半还多10元，就是2702+10=145（元），还剩下 270-145=125（元）.说明求的结果是正确的.甲，这时他们各

4、有240元.两人原来各有多少元钱？此时甲有2402-300=180（元）.此时乙有2402-216=264（元）.答：甲原有216元，乙原有264元.4. 兄弟三人分24个苹果，每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三，这时每人所得的苹果数恰好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁.分析 要求三人的年龄，必须先求各人所得的苹果数.为此我们反过来推导.为了便于理解和说明，可以列出一个表，从最后每人所得苹果数相等，倒推出开始每人所得的苹果数.解: 由于总共24个苹果，最后三

5、人所得苹果数相等，因此每人都分得8个苹果.为了便于说明，请看表231.由题中可以看出老大、老二、老三原有苹果分别为13、7、4个，因此他们的年龄分别为16岁、10岁、7岁.答：老大、老二、老三的年龄分别是16岁、10岁和7岁.同学们可以验证一下，由表中的最下面一行推上去，看是否能推出三人的苹果都是8个.列表的方法也是我们解应用题常用的方法.特别是当对象和程序较多的情况下，利用表格可以把中间过程清楚地表示出来，从而容易得到正确的结果.5. 甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍，然后丙又拿出

6、部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？解： 我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都为32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：322=16（本）.丁手中的书应为：32+163=80（本）.同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为：8本、8本、40本，此时丙手中的书应为：16+8+8+40=72（本）.继续下去，就可推出原来四人手中各有的书.甲、乙、丙、丁最初各有书66本、34本、

7、18本和10本.答：甲、乙、丙、丁原来各有66本、34本、18本、10本书.知识运用1. 一个数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6.求这个数. 2. 一个数除以5，乘以7，减去20再加上15等于100.求此数. 3. 一个数加上7，乘以3，减去15，得到最大的3位数.求这个数.4.有一个两位数，十位 上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数减3，个位上的数加3，就得到另 外一个两位数，把这个两位数与原来的两位数相加，和是141.求这个两位数. 4. 小红买书用去所带钱的一半，买练习本又用了2角5分，买铅笔用了剩余钱的一半， 这时小红还有2角7分钱.问小红带了多少钱？ 5. 书架

8、上有上、中、下三层，一共分放了192本书.现在先从上层取出与中层同样多的书 放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的 同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等.问这个书架上、中、下层原来各有多 少本书？ 6. 甲、乙、丙三只猴子各有桃子若干个.甲猴从乙猴手中抢来一半，吃掉一个；乙猴又从 丙猴手中抢来一半，吃掉一个；丙猴又从甲猴手中抢来一半，也吃掉一个，最后三只 猴子都有9个桃子.问原来它们各有桃子多少个？中级还原问题 例题精讲 1. 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？分析：这个问题是由（446）310

9、4，求出。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是41014；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14342；可知这个数乘以4后的积为424688，因此这个数是884=22。解：（410）346422。答：这个数是22。2. 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。解：123-450169。答：正确的结果应是169。3. 学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢

10、两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 181028（棵）。解：365（12）2-610=28（棵）。答：乐乐最初拿了28棵树苗。4. 甲、乙、丙三组共有图书90本

11、，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？ 分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90330（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30333（本），乙组有303532（本），丙组有30525（本）。5. 一 捆 电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？分析：由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（24

12、3）254（米）。解：（15710）23254（米）。答：这捆电线原有54米。知识运用1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。3.在125381=1999中，内应填入什么数？4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8

13、.80元，那么每个梨值多少钱？7.山顶有一株梨树，一只猴子去偷吃梨子，第1天偷了1/8 ，以后6天分别偷了1/7，1/6，1/5，1/4，1/3，1/2 ；最后 一天，树上仅剩下100个梨。试求原来树上有多少个梨子？8.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？高级还原问题 例题精讲1. 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？分析与解：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推，得到第三次分之前有1

14、415（枚），第二次分之前有51121（枚），第一次分之前有214185（枚）。所以原来至少有85枚棋子。2. 袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（31）24（个），第3次为了简洁清楚，可以列表逆推如下：所以原来袋中有34个球。3. 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果

15、原来各有多少个？分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48316（个），由此向前逆推如下表：原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。4. 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？分析与解：与例3类似，列表逆推如下：原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。逆推时注意，每次变化时，有

16、两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法。专题分析： 一个数量经过若干次变化成了另一个结果，我们从结果出发，根据每一次变化情况，一步一步地倒着想，把结果还原成开始状态，这类问题叫做还原问题，又叫逆运算问题。 对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题，可以直接列式一步步倒着推算，对于变化复杂的，可借助列表和画图来帮助解决问题。知识运用1、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果得60。求这个数。3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下

17、午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？4、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人的故事书的本数相等。这三个人原来各有故事书多少本？5、王亮和李强各有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？6、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。问粮库原有大米多少吨？7、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还

18、剩下1个。问爸爸买了多少个橘子？8、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？9、书架分为上、中、下三层，共放192本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层，再从中层取出下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书的本数相等。这个书架三层原来各放书多少本/10、学校运来36棵树苗，小强和小平两人争者去栽，小强先拿了树苗若干棵，小平看到小强太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小平那里抢回6棵。这时小强拿的树苗棵数是小平的2倍，问最初小强准备拿几棵？11、

19、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：把我的年龄加上9，除以4，减去2，再乘以3，恰好是30岁。问王老师今年多少岁？小学奥数竞赛专题之还原问题例1：村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个;第二次卖出余下的一半又二个;第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个?分析：从上面线段图可以看出：最后剩下2个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是(2+2)2=8(个).8个再加上第二次卖出余下的一半以外的2个就是余下的一半，因此可求出余下的是：(8+2)2=20(个)20个再加上第一次卖出一篮的一半以外的2个就是全篮的一半，因此可求出全

20、篮鸡蛋的个数是： (20+2)2=44(个) 答：这篮鸡蛋有44个.例2：甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元?分析：三人最后一样多，所以都是813=27元，然后我们开始还原：(1)甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是273=9，丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把钱还给乙：甲93=

21、3，丙633=21，乙81-3-21=57;(3) 最后是乙和丙把钱还给甲：乙573=19，丙213=7，甲81-19-7=55元. 知识运用1、某粮库有面粉若干袋，第一次卖掉原有的一半少12袋，第二次卖出剩下的一半多10袋，第三次又卖出48袋，这时还剩28袋。求粮库中原有面粉多少袋?2、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球?3、有119只蜜蜂在三棵枣树上采蜜.一会儿有10只蜜蜂从第一棵枣树上飞到第二棵枣树上;过了一会儿，又有20只蜜蜂从第二棵枣树上飞走了.这时三棵枣树上的蜜蜂正好一样多，第二棵枣树上原来有多少只蜜蜂? 还原

22、问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题。解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决。在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。典型例题例【1】三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？分析经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（3243）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另

23、一半，即相当于第1天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。解第1天借书后还剩的本数：324375（本）原有图书的本数：752150（本）综合算式：（3243）2150（本）答：小图书箱原有图书150本。例【2】某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。求这个数。分析从后往前推，原来是加法，推回去是减法；原来是减法，推回去是加法；原来是乘法，推回去是除法；原来是除法，推回去是乘法。从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5530；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25530；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：3056；最后看第1

24、步，“某数加上5”得6，某数为651。解5525255303056651答：所求的数为1。例【3】小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的结果应是多少？分析要求正确的和，就要知道两个正确的加数。看错的加数是39，因此得到错误的和是123。根据逆运算可得到一个没看错的加数是1238984，题中已知一个正确的加数是85，所以正确的和是8584169把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和应把4减去；把视为上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和应把50加上去。这样，正确的答案123504169。解一12339

25、858485169解二954803050123504169答：正确的答案是169。例【4】仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？分析如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（1912）吨。第一天售出以后剩下的吨数是（1912）2吨。以下类推。解（1912）262（吨）（6212）2100（吨）答：这个仓库原有大米100吨。小结还原问题是逆解应用题。一般根据加减法或乘除法的互逆运算关系，由题目所叙述的顺序倒过来思考，从最后一个已知条件出发，逆推而上，求得结果。知识运用1、 某人去银行取款，第一次取了存款

26、的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？2、 有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？3、 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中的两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将两份三等分之后还剩两个，这筐苹果至少有多少个？4、 甲，乙，丙三组共有图书90本，如果乙组借给甲组3本后，又送给丙5本，结果三个组所有图书刚好相等，甲，乙，丙三个组原

27、有图书各多少本？5、 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？6、 袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？7、 三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？8、 兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得

28、的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？9、 有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。问：原来有多少个桃？10、 某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？11、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？12、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘

29、以2，结果得60。求这个数。13、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？14、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人的故事书的本数相等。这三个人原来各有故事书多少本？15、王亮和李强各有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？16、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。问粮库原有大米多少吨？17、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个。问爸爸买了多少个橘子？18、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球100颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，丁给甲2颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？19、书架分为上、中、下三层，共放192本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层，再从中层取出下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层，这时三层书架所放的书的本数相等。这个书架三层原来各放书多少本/20、学校运来36棵树苗，小