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1、一元二次方程的应用增长率问题有答案11页一元二次方程的应用 (增长率问题)宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年

2、内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起

3、笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。 解答题唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学

4、”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才之子

5、师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 1. 光华机械厂生产某种产品，2019年的产量为2019件，经过技术改造，2019年的产量达到2420件，平均每年增长的百分率是多少？“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种

6、尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里

7、的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 考点：由实际问题抽象出一元二次方程；一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：本题是关于增产率的问题，设平均每年增长的百分率为x，由2019年的产量可知2019年和2019年的产量，根据题意列方程，可求出增长的百分率解答：解：设平均每年增产的百分率为x，因为2019年的产量为2019件，所以2019年的产量为2019（1+x）件，2019年的产量为2019（1+x）2件，依题意列方程：

8、2019（1+x）2=2420解方程得：（1+x）2=1.211+x=1.11+x=1.1或1+x=-1.1x=0.1=10%或x=-2.1（不合题意，舍去）故增产率为10% 答：平均每年增长的百分率为10%点评：根据题意设平均每年增长的百分率为x，由2019年的产量可知2019年和2019年的产量，找出等量关系列出一元二次方程，解出一元二次方程，求出x2. 某市政府为落实“保障性住房政策，2019年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2019年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设（1）求到2019年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；（2

9、）设（1）中方程的两根分别为x1，x2，且mx12-4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值考点：一元二次方程的应用；根与系数的关系专题：增长率问题分析：（1）等量关系为：2019年某市用于保障房建设资金（1+增长率）2=2019年用于保障房建设资金，把相关数值代入求得合适的解即可（2）理由上题得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得m的值即可解答：解：（1）设到2019年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5（3分）（2）由（1）得，x2+3x-0.5=0（4分）由根与系数的关系得，x1+x2=-3，x1x2=-0.5（5分）又m

10、x12-4m2x1x2+mx22=12 （mx1的平方）m（x1+x2）2-2x1x2-4m2x1x2=12m9+1-4m2（-0.5）=12m2+5m-6=0解得，m=-6或m=1（8分）点评：考查求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b3. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠

11、方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可；（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果解答：解 （1）设平均每次下调的百分率为x由题意，得5（1-x）2=3.2解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%（2）小华选择方案一购买更优惠理由：方案一所需费用为：3.20.95

12、000=14400（元），方案二所需费用为：3.25000-2005=15000（元）1440015000，小华选择方案一购买更优惠点评：本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时注意其固定的等量关系4. 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2019年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2019年、2019年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设

13、年平均增长率为x根据题意2019年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2019年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次根据题意得方程求解；（2）2019年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x根据题意得 5000（1+x）2 =7200解得 x1 =0.2=20%，x2 =-2.2 （不合题意，舍去）答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，则2019年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200120%=8640万人次答：预测20

14、19年我国公民出境旅游总人数约8640万人次点评：此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大5. 某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售

15、价格列方程解答即可；（2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较即可求解解答：解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，7000（1-x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%（2）（1-5%）（1-15%）=95%85%=80.75%，（1-x）2=（1-10%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠点评：此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格（1-每次下调的百分率）2=经过两次下调每平方米销售价格6. 2019年漳州市出口贸易总值为2

16、2.52亿美元，至2019年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来漳州市出口贸易的高速增长（1）求这两年漳州市出口贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测2019年漳州市的出口贸易总值（温馨提示：2252=4563，5067=9563）考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设年平均增长率为x，则2009年出口贸易总值达到22.52（1+x）亿美元；2019年出口贸易总值达到22.52（1+x）（1+x）=22.52（1+x）2亿美元，得方程求解；（2）2019年出口贸易总值=50.67（1+x）解答：解：（1）设年平均增长率为x，依题意得 （1分） 22.52

17、 （1+x）2=50.67，（3分） 1+x=1.5，x1=0.5=50%，x2=-2.5（舍去） （5分）答：这两年漳州市出口贸易的年平均增长率为50%； （6分）（2）50.67（1+50%）=76.005（亿美元） （9分）答：预测2019年漳州市的出口贸易总值76.005亿美元 （10分）点评：此题考查一元二次方程的应用增长率的问题主要是搞清楚基数，再表示增长后的数据7. 国家发改委公布的商品房销售明码标价规定，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的

18、出台，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元请问哪种方案更优惠？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）关系式为：原价（1-降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；（2）费用为：总房价9.810 （10分之9.8）费用为：总房价-2121.5平米数，把相关数值代入后求出解，比较即可解答：解：（1）设平均每次下调的

19、百分率为x5000（1-x）2=4050（1-x）2=0.81，1-x=0.9，x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率为10%；（2）方案一的总费用为：10040509.8 10 =396900元；方案二的总费用为：1004050-2121.5100=401400元；方案一优惠点评：主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键8. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2019年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年

20、投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2019年底共建设了多少万平方米廉租房考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x根据到2019年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资单位面积所需钱数可得结果解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，（1分）根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x-1.75=0，（3分）解之，得：x=-3 9+41.75 2 ，（解含有根号）x1=0.5，x2=-3.5（舍去），（5分）答：

21、每年市政府投资的增长率为50%；（6分）（2）到2019年底共建廉租房面积=9.52 8 =38（万平方米）（8分）（除8分之2）点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率9. 随着家庭轿车拥有量逐年增加，渴望学习开车的人也越来越多据统计，某驾校2019年底报名人数为3 200人，截止到2019年底报名人数已达到5 000人（1）若该驾校2019年底到2019年底报名人数的年平均增长率均相同，求该驾校的年平均增长率（2）若该驾校共有10名教练，预计在2019年底每个教练平均需要教授多少人

22、？考点：一元二次方程的应用分析：（1）设增长率是x，则增长2次以后的报名人数是3200（1+x）2，列出一元二次方程的解题即可；（2）先求出2019年底的报名人数，除以10即可求出每个教练平均需要教授的人数解答：解：（1）设该驾校的年平均增长率是x由题意，得3 200（1+x）2=5 000（5分）解得x1=1 4 ，x2=-9 4 （不合实际，舍去）（分数4分之1）该驾校的年平均增长率是25%（7分）（2）5 000（1+25%）10=625（个）预计2019年每个教练平均需要教授625个学员（10分）点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，增长率问题是中考中重点考查内容，同学们应熟练掌握1

23、0. 某市为争创全国文明卫生城，2019年市政府对市区绿化工程投入的资金是2019万元，2019年投入的资金是2420万元，且从2019年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2019年需投入多少万元？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）等量关系为：2019年市政府对市区绿化工程投入（1+增长率）2=2019年市政府对市区绿化工程投入，把相关数值代入求解即可；（2）2019年该市政府对市区绿化工程投入=2019年市政府对市区绿化工程投入（1+增长率）2解答：解：（1）设该

24、市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为x，（1分）根据题意得，2019（1+x）2=2420，（3分）得x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去），（5分）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%（6分）（2）2019年需投入资金：2420（1+10%）2=2928.2（万元）（7分）答：2019年需投入资金2928.2万元（8分）点评：考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b11.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持

25、币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题；优选方案问题分析：（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案更优惠解答：解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1-x）2=4860，解得x1=0.1或x2=1.9（舍去），

26、故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案购房优惠：4860100（1-0.98）=9720（元）方案可优惠：80100=8000（元），故选择方案更优惠点评：本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题12. 2019年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越发展和长治久安，作出了重要战略决策部署，为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2019年当年用于城市基础设施维护与建设的资金达到8.45亿元（1）求从2019年至2019年我市每年投入城市基

27、础设施维护与建设资金的年平均增长率；（2）若2019年至2019年我市每年投入城市基础设施维护和建设的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共多少亿元？考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设从2019至2019年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，根据2年增长率的一般计算公式a（1+x）2，列方程5（1+x）2=8.45求解即可，注意值的取舍问题；（2）分别表示出2019年到2019年这三年每年的投入资金，相加即可求解解答：解：（1）设从2019至2019年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意，得：5（

28、1+x）2=8.45，解得x1=30%，x2=-2.3（不合题意舍去）答：从2019年至2019年我市每年投入城市基础设施维护与建设资金的年平均增长率为30%（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45=5+5（1+0.3）+8.45=19.95（亿元）答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设的资金共19.95亿元点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率13. 2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2019年全市国民生

29、产总值要达到1726亿元（1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）；（2）求2019年至2019年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）考点：一元二次方程的应用专题：增长率问题分析：（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为x，那么2019年全市国民生产总值为1376（1+x）亿元，2019年全市国民生产总值为1376（1+x）（1+x）亿元，然后根据2019年全市国民生产总值要达到1726亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率；（2）根据（1）的结果可以分别计算出2019、2019、2019三年的国民生产总值，然后就可以求出结果解答：解：（1）设全市国民生产总值

30、的年平均增长率为x，依题意得1376（1+x）2=1726，1+x1.12，x=12%或x=-2.12（负值舍去），答：全市国民生产总值的年平均增长率约为12%；（2）2019年的国民生产总值为：1376（1+12%）1541亿元；2019年的国民生产总值为：1726（1+12%）1933亿元；2019年至2019年全市三年可实现国民生产总值：1541+1726+1933=5200亿元点评：此题主要考查了增长率的问题，一般公式为原来的量（1x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-14. 据茂名市某移动公司统计，该公司2019年底手机用户的数量为50万部，2019年底手机用户的数量达72万部请你

31、解答下列问题：（1）求2019年底至2019年底手机用户数量的年平均增长率；（2）由于该公司扩大业务，要求到2019年底手机用户的数量不少于103.98万部，据调查，估计从2019年底起，手机用户每年减少的数量是上年底总数量的5%，那么该公司每年新增手机用户的数量至少要多少万部？（假定每年新增手机用户的数量相同）考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用专题：增长率问题分析：（1）考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程原来的数量为a，设平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x）2增长用“+”，下降用“-”；（2）设该公司每年新增手机用户的数量至少要y万部，则2009年手机用户数量