高中数学 814椭圆的简单几何性质1课件 新人教A版选修1.docx

1、高中数学 814椭圆的简单几何性质1课件 新人教A版选修12019-2020年高中数学 8.1.4椭圆的简单几何性质（1）课件 新人教A版选修1一课题：椭圆的几何性质（1）二教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.四教学过程：（一）复习：1椭圆的标准方程.（二）新课讲解：1范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标满足不等式，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里.2对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程

2、不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于轴、轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，且，即4离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率.，且越接

3、近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为（三）例题分析：例1求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出图形解：把已知方程化为标准方程，椭圆长轴和短轴长分别为和，离心率，焦点坐标，顶点，（图略）例2过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于，离心率等于解：（1）由题意，又长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为（2）由已知，所以，椭圆的标准方程为或例3如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近

4、的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，并且、在同一直线上，地球半径约为，求卫星运行的轨道方程（精确到）解：如图，建立直角坐标系，使点在轴上，为椭圆右焦点（记为左焦点），设椭圆标准方程为（），则， ，解得： ，所以，卫星的轨道方程是五小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）六作业：课本第103页习题 第3，4，6题补充：1已知椭圆的一个焦点将长轴分成的两个部分，且经过点，求椭圆的标准方程。2如图，已知椭圆中心在原点，它在轴上的一个焦点与短轴的两个端点，的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点的距离为，求这个椭圆的方程2019-2020年高中数学 8.1椭圆及其标准方程(备课

5、资料)大纲人教版必修名师授课表一、椭圆概念的引入第一组问题复习提问1.什么叫做曲线的方程？2.直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系.3.圆的一般方程是什么？主要特征是什么？对上述问题学生的回答基本正确，一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax+By+C=0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，它是关于x、y的二元二次方程，且具有以下重要特征：x2与y2的系数都是1；缺xy这样的项；D2+E2-4F0.（温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探索新知识）.第二组问题引导学生联想、归纳、分析、发现新问题.1.如前所

6、述,每一个二元一次方程都表示一条直线,那么每一个二元二次方程是否都表示圆,若不是,什么条件下它所表示的曲线就不是圆?对此问题学生一般能回答:“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零时或D2+E2-4F0时，这样的方程所表示的曲线都不是圆”.2.圆的几何特征是什么？学生一般能回答：“圆上任意一点到圆心（定点）的距离等于半径（定长）”.这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆?”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题.学生翻阅课本后能回答：“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆”.“到两定点连线斜率乘积等于-1的动点轨迹也是圆”.（当然还应除去两定点）

7、（启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫.）第三组问题深入思考与探索1.一般二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望.2.如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点连线斜率乘积等于-1”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？类比的能力大部分学生是具备的（尽管程度有差别），经

8、过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹”.“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹”.“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹”.“到定点与定直线距离相等的动点轨迹”.以上是学生受到已做习题的启发而提出的.还有学生通过类比提出：“到两定点距离的立方和（差）等于常量的动点轨迹”，“到定点与直线距离的比为常量的动点轨迹”，“到定点与定直线的距离和（差）等于常量的动点轨迹”等等.对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神，教师要予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描

9、点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形.（以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出斜曲线的概念已是水到渠成了）譬如说，同学们提出的“动点到两定点的距离之和等于常量”，此动点的轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种绘图方法.画出符合这种几何条件的轨迹.（课前要求学生准备图钉若干，细线一根）学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的学生说：“人造卫星运行轨道.”这是学生从物理课本中了解的.有的学生说：“洒

10、水车，装油车.”教师指出：确切地说，应是它的横截面的轮廓线.在上述基础上，引导学生概括椭圆定义.学生开始只强调主要几何特征_到两定点距离之和等于常量，这时教师通过演示（将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外），启发学生思考.学生认识到需加上限制条件：“在平面内”.教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到.这时都不可能形成椭圆.前者变成了线段，后者轨迹不存在.若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离.”这样学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹叫做椭圆.教师顺便指出：这两个定点叫

11、做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.二、推导椭圆的标准方程给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种斜曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知.因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程.如何建立曲线方程！首先应建立适当的坐标系.建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则.如使关键点的坐标，关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性.这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的.以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系，设|F1F2|=2c(c0),M(x,y)是椭圆上任意一点，则有F1（-c,0）、F2(c,

12、0).下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆的定义即可写出椭圆的方程.+=2a.教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.（化简方程可让学生完成）教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质.这一简化的方程称为椭圆的标准方程（焦点在x轴上）.三、参考练习题1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是 （ ）A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线

13、段答案：D2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为 （ ）A.32 B.16 C.8 D.4答案：B3.设(0,)，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则 （）A.(0, B.(,) C.(0,) D.,)答案：B备课资料一、椭圆及其标准方程的学习椭圆是一种常见而重要的曲线，对它的学习我们要通过它的方程去进一步深入研究它的几何性质，而对椭圆的定义及其标准方程的熟练掌握则是我们以后继续学习的基础和预备知识.1.深刻理解椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，用集合语言可叙述为：点集P=M|MF1|+|MF2|

14、=2a,a0,2a|F1F2|.问题1：若点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a(a0,F1、F2是平面内的两个定点)，则它的轨迹一定是椭圆吗？反过来，如果一个点M的轨迹是椭圆，一定有|MF1|+|MF2|=2a（a0）这一条件吗？分析：从上节课我们画椭圆的实际操作中可以得到：当M满足：|MF1|+|MF2=2a且2a|F1F2|条件时，才能得到一个椭圆，同样可以得到，若M的轨迹是一个椭圆，则它一定满足|MF1|+|MF2|=2a(a0)这一条件.评述：深刻理解以上问题的关键是：从实际出发，通过实践从而巩固理论.问题2：将定义中的“2a|F1F2|”改成“2a=|F1F2|”或“2a|F1F

15、2|”时，点M的轨迹如何呢？分析：理解透彻以上问题仍可提醒学生在实践中总结理论，通过直接具体的实践不难发现和得到：当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2.当2a|F1F2|时，点M的轨迹是不存在的.评述：以上两个问题思考之后，可以得出：“动点M到两个定点F1、F2的距离和|MF1|+|MF2|=2a(a0)”是“点M轨迹是椭圆”的必要而不充分条件.注意：椭圆的定义是我们对它方程式的推导的依据.请读者试探索以下题目：到两个定点F1（-2，0）和F2(2,0)的距离之和不小于4的点M的轨迹是什么？答案：线段或椭圆2.熟练掌握椭圆的标准方程：问题1：在学习椭圆的标准方程时，应注意些什么？分

16、析：椭圆的位置特征与它的标准方程形式是统一的.椭圆的位置由其中心位置和焦点位置确定，即当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，对应的方程为=1(ab0).当椭圆的中心在原点，焦点在y轴上时，对应的方程是=1(ab0).在求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中的a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法去求.问题2：在具体去求椭圆的标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？下面通过具体例子说明：例1根据下列条件，求椭圆的标准方程.坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（）.坐标轴为对称轴，一焦点为（0，），

17、且截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为0.5.经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.解：设所求椭圆的方程为=1(m0,n0)椭圆过A（0，2），B（）所求椭圆方程为：x2+=1根据题意设所求椭圆的方程为=1(ab0)c=a2=b2+50消去y得：10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0设直线与椭圆相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，则x1、x2是以上方程的根且有0即5b3+2b2+43b+1000(*)x1+x2= b2=25,a2=75将b2=25代入*中成立所求椭圆的方程为：=1椭圆9x2+4y2=36的焦点为（0，），则可设所求椭圆方程为

18、：=1(m0)将x=2,y=-3代入上式得：解得：m=10或m=-2（舍去）所求椭圆的方程为：=1评注：小题中所求椭圆方程设为=1(m0,n0)，这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为=1（ab0）或=1(ab0)去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.小题中的解法体现了求椭圆方程的一般方法，通过“定位”与“定量”两个过程可求得所求椭圆方程，但本题注意到方程结构的特点可直接求出a2、b2而无需再去求a、b了，另外，此题要根据根与系数的关系去求b2,在消去

19、y的过程中因运算量较大，故应小心谨慎一些.小题中的设法也不失为一种好的设法.因已知椭圆的焦点为（0，），如若能注意到方程=1(m0)表示的是其焦点F1（0，-）、F2（0，）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.注意：确定圆锥曲线的方程是解析几何里的一类重要题型，常规解法固然思路简单自然，但在很多情况下，它会使我们陷入运算量繁琐的困境中，因此“巧设巧求”会带给我们事半功倍的效果.3.深入学习“定义法”求“动点轨迹”.问题1：椭圆的定义在求点的轨迹问题中发挥着巧思妙解的作用，它是如何体现的呢？以下试通过具体例子说明：例2平面内两个定

20、点距离是8，求到两个定点距离的和是10的点的轨迹.解法一：设两个定点分别为F1、F2，以两个定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则F1（-4，0），F2（4，0）.设M（x,y）为轨迹上任一点，依题意得：=10整理得：9x2+25y2=259即：点的轨迹是一个椭圆.解法二：根据椭圆的定义，可知所求点的轨迹是一个椭圆，以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.2a=10,2c=8a=5,c=4b2=3所求点的轨迹方程为：点的轨迹是一个椭圆.评述：解法一用的是“坐标法”，其思路简单清晰，但运算量繁琐；解法二巧妙地用了椭圆的

21、定义直接写了轨迹方程，这种求轨迹的方法叫定义法.“坐标法”与“定义法”都是解析几何中求点轨迹问题的重要方法，两种方法起着互相补充的作用，要具体问题灵活分析应用.请读者对以下题目分别用两种方法讨论，并体会准确恰当地选择方法对我们解题的影响程度如何.在ABC中，A、B、C所对的三边分别是a、b、c，并且B（-1，0），C（1，0），求满足bac,b,a,c成等差数列时，顶点A的轨迹.答案：A点的轨迹方程是，即A点的轨迹是椭圆的左半部分，且除去（-2，0）这一点.例3一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹.解法一：设圆圆心为P（x,y），半径

22、为R，两已知圆的圆心分别是O1，O2.分别将已知两个圆的方程x2+y2+6x+5=0与x2+y2-6x-91=0配方，得：（x+3）2+y2=4与(x-3)2+y2=100当圆P与圆O1：(x+3)2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2 当圆P与圆O2：（x-3）2+y2=100内切时，有|O2P|=10-R 、两式的两边分别相加，得|O1P|+|O2P|=12即： =12 化简得：动圆圆心的轨迹是椭圆解法二：同解法一得方程=12 由方程可知，动圆圆心P（x,y）到点O1（-3，0）和点O2（3，0）距离和是常数12，所以点P的轨迹是一个椭圆，并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，

23、于是可求出它的标准方程.2c=6,2a=12c=3,a=6b2=36-9=27动圆圆心的轨迹方程为：动圆圆心的轨迹是一个椭圆评述：通过以上例题的分析我们不难体会出圆锥曲线（这里是椭圆）的定义在简化计算方面发挥着巨大的功效，值得我们特别注意.二、参考练习题1.已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7答案：D2.已知椭圆方程为,那么它的焦距是 （ ）A.6 B.3 C.3 D.答案：A3.已知椭圆的两个焦点坐标是F1（-2，0），F2（2，0），并且经过点P（），则椭圆标准方程是 .答案：4.过点A（-1，-2）且与椭圆的两个焦点相

24、同的椭圆标准方程是 .答案：5.过点P（，-2），Q（-2，1）两点的椭圆标准方程是 .答案：备课资料一、椭圆及其标准方程的进一步学习对椭圆及其标准方程熟练掌握的基础上，我们要不断深入学习，要灵活地将椭圆的定义及其标准方程应用于其他与椭圆有关的问题中，这就要求我们在教学中必须注意对学生拓展思维能力的培养.下面，试举几例说明：例1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成ABF2的周长是多少？解：根据题意画出图形|AF1|+|AF2|=2|BF1|+|BF2|=2|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4即|AB|+|AF2|+|B

25、F2|=4例2如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长为多少？解：根据题意画出图形，其中F2是椭圆的另一个焦点，由椭圆定义得：|MF2|+|MF1|=25=10又|MF1|=2，|MF2|=8ON是MF1F2的中位线|ON|=4评述：对于例1可以通过分别求出A、B两点的坐标从而求出ABF2的周长.对于例2可以通过求M点坐标，再求N点坐标，从而求ON的长度.但通过利用定义求出结果的这种方法可以使我们去繁就简，其巧妙之处大家也深有感触.可见寻求简捷的解法应成为我们不断探索的动力.例3已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任一点.（1）若

26、F1PF2=，求F1PF2的面积.(2)求|PF1|PF2|的最大值.分析：（1）如果设P（x,y），由P点在已知椭圆上且F1PF2=,利用这两个条件，列出关于x,y的两个方程，解出x,y，再求F1PF2的面积，这种思路虽简单清晰，但运算量大，过程繁琐，须另寻捷径，不妨利用椭圆定义去求，如果考虑到F1PF2=，和三角形面积公式S=absinC,只要求得|PF1|PF2|问题就可以解决了.(2)继续利用椭圆定义及均值不等式定理即可求出|PF1|PF2|的最大值.解：（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，根据椭圆定义，有m+n=20，在F1PF2中，由余弦定理可得：m2+n2-2mncos=12

27、2m2+n2-mn=144(m+n)2-3mn=144202-3mn=144mn=|PF1|PF2|sinF1PF2(2)a=10,根据椭圆定义有：|PF1|+|PF2|=20|PF1|+|PF2|2 |PF1|PF2|(当且仅当|PF1|=|PF2|时“=”号成立|PF1|PF2|的最大值是100评述：对解题方法的灵活选择，运用自如，是建立在扎实的基本功和基本技能的基础上形成的一种能力，教学中应引起我们的重视.二、深入学习“转移法”求点的轨迹问题一：转移法求轨迹的基本步骤是什么？答：（1）设所求轨迹上的动点P（x,y），再设具有某种规律f（x,y）=0上的动点Q（x,y）（2）找出P、Q之间

28、坐标关系式，并表示为 (3)将x,y代入f(x,y)=0，即得所求轨迹方程f1(x,y),2(x,y)=0问题二：什么条件下应用转移法求点的轨迹呢？答：当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的时，应用转移法求点的轨迹比较合适.例4在椭圆内，内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，A在椭圆上运动，试求ABC的重心轨迹.分析：直接寻找三角形ABC的重心P的轨迹较为困难，而A在椭圆上运动，可将点P转移到A来讨论.解：设重心P（x,y）及A（x1,y1）则AO是三角形ABC的中线，根据三角形重心公式与定比分点定义，有=，则有：x1=y1=A点在椭圆上是所求点的轨迹方程，且所求点的轨迹方

29、程是一个中心在原点，焦点在x轴上的椭圆.例5已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.解：将椭圆方程变为a2=25,b2=16c=焦点F（0，3）设点P（x,y）、Q(x1,y1)25x12+16y12=400 由P分所成比为2，得x1=3x,y1=3y-6代入式，得25(3x)2+16(3y-6)2=400整理，得225x2+144y2-576y+176=0例6已知圆x2+y2=25,一条平行于x轴的半弦交圆于点P，交y轴于点N、O为圆心，M为圆与x轴的正向的交点，当半弦PN在y轴的右侧平行移动时，求PO与MN的交点

30、Q的轨迹方程.解：设P（x0,y0）,M(5,0),N(0,y0)OP:y=xMN: 以x0,y0为主字母解得：x0=代入x02+y02=25中，得(整理，得y2=-10x+25(0x)三、参考练习题1.已知椭圆(ab0)，F1、F2是它的焦点，AB是过F1的弦，则ABF2的周长是多少？解：|AF1|+|BF1|=2a,|BF1|+|BF2|=2a将两式相加得ABF2的周长是4a答案：4a2.椭圆的右焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，求点M的纵坐标.解：由M是PF2的中点，O是F2F1的中点，可知PF2x轴，点P的横坐标是-3，将其代入椭圆方程中，得P(-3,)，故点M的纵坐标是.答案：3.已知点P在直线x=2上移动，直线l过原点，并且与射线OP垂直，通过点A（1，0）及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程.解：设Q