电磁场与电磁波第三版课后答案第3章解读.docx

1、电磁场与电磁波第三版课后答案第3章解读第三章习题解答3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题3.1图所示)。解 由点电荷q和-q共同产生的电通密度为qR+R-D=3-3=4RR+-q4err+ez(z-a)r+(z-a)2232-err+ez(z+a)r+(z+a)2232=则球赤道平面上电通密度的通量D dS=D eSSzz=0dS=2rdr=q4a题3.1 图02(-a)(r+a)qaa212232-a(r+a)2232(r+a)=0-1)q=-0.293q3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，

2、其球体内均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze1r过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0=er 2-3，试证明之。4rraZe解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1=er 24rZe3Ze=-原子内电子云的电荷体密度为 =-334ra4ra电子云在原子内产生的电通量密度则为D2=er4r4r32=-erZer4ra3题3. 3图(a)Ze1r故原子内总的电通量密度为 D=D1+D2=er 2-34rra33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为0Cm, 两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(cb区域中，由高

3、斯定律 E dS=Sq022，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P E1=er-a020r2产生的电场分别为 E1=erb020r2=0br20r=-0ar220r2题3. 3图(b)点P处总的电场为 E=E1+E1=20(brr-ar2r)在ra区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E2=err20r=r20=er E2-a20r=-ar20r=点P处总的电场为 E=E2+E2020(r-arr)在ra的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E3=err020r=0r20=er E3-r020r=-0r20=点P处总的电场为 E=E3+E3020

4、(r-r)=020c3.4 半径为a的球中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为r3+Ar2Dr=a5+Aa42r(ra)(ra)其中A为常数，试求电荷密度(r)。1解：由 D=，有 (r)= D=故在ra区域 (r)=01drdr(rDr)drdrr(r+Ar)=0(5r+4Ar)231drdrr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为r(a+Aa)54=04的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=er(ra)，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷

5、体密度为=0 E=01drdr(rE)=0a1drdr(rra44)=60ra34（2）球体内的总电量Q为 Q=d=6r34a4rdr=40a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为 =2Q4a=203.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(ba)，圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷。（1）计算各处的电位移D0；（2）欲使rb区域内D0=0，则1和2应具有什么关系？D0 dS=q，当ra时，有 D01=0 解 （1）由高斯定理SD02=er当arb时，有 2rD02=2a 1，则a1ra

6、1+b2r当br时，有 2rD03=2a1+2b 2，则 D03=er （2）令 D03=era1+b2r=0，则得到12=-ba3.7 计算在电场强度E=exy+eyx的电场中把带电量为-2C的点电荷从点P1(2,1-,1移到点)P2(8,2,-1)时电场所做的功：（1）沿曲线x=2y2；（2）沿连接该两点的直线。解 （1）W=F dl=qE dl=qECCCxdx+Eydy=222qydx+xdy=qyd(2y)+2ydy=C21-6q6ydy=14q=-281012(J)（2）连接点P1(2,1,-1)到点P2(8,2,-1)直线方程为x-2y-1=x-8y-2即 x-6y+4=0故2W

7、=2qydx+xdy=qyd(6y-4)+(6y-4)dy=C1-6q(12y-4)dy=14q=-28101(J)（1）计算线电荷平分面上3.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为l0。任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-核对。解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为L2(r,0)=-Ldz=L2Ll040ln(z+-L2=rl040ln=-Ll0题3.8图20lnr（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元l0dz在点P的电场为dE=erdEr=er=erl0rdz20(r+z)2232故长为

8、L的线电荷在点P的电场为LE=erdE=erl0rdz20(r+z)223=erl020rL2=由E=-求E，有E=-=-ln20l0=rl0-er201e-=rrrP3.9 已知无限长均匀线电荷l的电场E=er电位函数。其中rP为电位参考点。rPrPl20r，试用定义式(r)=E dl求其r解 (r)=rE dl=2rlrdr=l2lr=rrPl2rPr由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。3.10 一点电荷+q位于(-a,0,0)，另一点电荷-2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。解 两个点电荷+q和-2q在空间产生的电位1(x,y,z)=-40令(x,y,z)=0，则有222

9、-22=02(+a)+y+z=(x-a)+y+ z即 4x故得 (x+53354由此可见，零电位面是一个以点(-a,0,0)为球心、a为半径的球面。33a)+y+z=(222a)23.11 证明习题3.2的电位表达式为 (r)=Ze40r(1+r22ra-32ra) Ze4r2解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为 D1=er电子云在原子外产生的电通量密度则为 D2=er4ra34r23=-erZe4r2所以原子外的电场为零。故原子内电位为2a)cosra(r)=A(r-r（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解 （1）由E=-，可

10、得到 ra时， E=-=-er-erA(1+a22rA(r-a2r)cos-erA(r-a2r)cos=rr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为)cos+eA(1-a22)sin=0n Er=a=0er Er=a=-20Acos23.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足=0（1）sin(kx)sin(ly)e-hz 其中h2=k2+l2； （2）rncos(n)+Asin(n) 圆柱坐标； （3）r-ncos(n) 圆柱坐标； （4）rcos 球坐标； （5）r-2cos 球坐标。 解 （1）在直角坐标系中 =而x22x22+2y22+z22-h

11、z22=22xysin(kx)sin(ly)esin(kx)sin(ly)e-hz=-ksin(kx)sin(ly)e=-lsin(kx)sin(ly)e2y222-hz-hz2z2=222zsin(kx)sin(ly)e222-hz=hsin(kx)sin(ly)e)lysien(=)-hz2-hzn(故 =(-k-l+h)sikx +z22（2）在圆柱坐标系中 =21rr(rr)+r222而11n(r)=rrcos(n)+Asin(n)=n2rn-2cos(n)+Asin(n) rrrrrr1r222=-nr2n-2cos(n)+Asin(n)z22=22zrcos(n)+Asin(n)=

12、02-n故 =0（3）1rr2(r2r)=21rr-n-2rrr-ncos(n)=nr2-n-2cos(n)1r2=-nrcos(n)z22=22zr-ncos(n)=0故 2=0（4）在球坐标系中 =21rr2(r2r2)+12rsin2(sinr2)+12222rsin2r而1rr12(rr)=1rr2r2(rcos)=1cos2rsin(sin)=rsin12sin(rcos)=2rcosrsin211=2(rcos)=0 22222rsinrsin2(-rsin)=-故 2=0（5）1rr122(r2r)=1r22rr(rr1-22cos=2sin(-r-2r(rc os-2rsin(

13、sin)=2rsin122cos)=2r4rsin211-2=(rcos)=0 222222rsinrsin2sin)=-cos故 =03.14 已知y0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）e-ycoshx；（2）e-ycosx； （3）e2cosxsinx22（4）sinxsinysinz。 解 （1）x(e-ycoshx)+22y(e-ycoshx)+22z(e-ycoshx)=2e-ycoshx0所以函数e-ycoshx不是y0空间中的电位的解；（2）22x(e-ycosx)+22y(e-ycosx)+22z(e-ycosx)=-e-ycosx+e-ycosx=

14、0所以函数e-ycosx是y0空间中可能的电位的解；（3）22x(ecosxsixn+2y2ycxosx+s2)z2y(xco=sx sin)-4ecosxsinx+2ecosxsinx02所以函数e-（4）2ycosxsinx不是y0空间中的电位的解；22x(sinxsiynszi+n2y2x(sinysinz+2inz)x sin(ysin=zsin)-3sinxsinysinz0所以函数sinxsinysinz不是y0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P=P0(exx+eyy+ezz)。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的

15、束缚电荷为零。P解 （1） P=-P(x=L2=3-P0x=L)=n PL2=ex Px=L2=L2P0 =LP0P(x=-)=n Px=-L2=-ex PL23x=-L同理 P(y=LL)=P(y=)=Pz(22)=Pz(22LL-=P0 22（2） qP=Pd+PdS=-3P0L+6LSL2P0=03.16 一半径为R0的介质球，介电常数为r0，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为2r+12r(30)R02D dS=q，可得到 解 由SrR0时， 4rD2=D1=即 D2=故中心点的电位为R0R03rR0， E2=R030r3203(0)=E1dr+R0E2dr=3rr0dr+R0dr

16、=R0+R0=2r+1()R2 2030r6r0302r30R022介电常数为，球内的极化强度P=erKr，其中K为3.17 一个半径为R的介质球，一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 p=- P=-在r=R的球面上，束缚电荷面密度为 p1d2=n Pr=RrdrK=er Pr=R=R(r2Kr)=-Kr2P（2）由于D=0E+P，所以 D=0 E+0 D+ P即 (1-0由此可得到介质球内的自由电荷体密度为K= D= P=-p=2-0-0(-)r0) D= P总的自由电荷量 q=d=K

17、-0KRr124rdr=24RK-0（3）介质球内、外的电场强度分别为E1=P-0q=er(-0)r(rR)E2=er40r2=erRK0(-0)r2介质球内、外的电位分别为R11=E dl=Edr+ErR2dr=dr=rR(-rK)r0dr+RRK(-0)r02K(-0)lnRr+K0(-0)2(rR)RK0(-0)r2=rE2dr=rRK(-0)rdr=(rR)（2）导3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；出束缚电荷密度P的表达式。解 （1）由D=0E+P，得束缚电荷体密度为 P=- P=- D+0 E 在介质内没有自由电荷密度时， D=0，则有 P=

18、0 E(E)= E+E 0由于D=E，有 D= =E E=所以由此可见，当电介质不均匀时， E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。0= E=-E （2）束缚电荷密度P的表达式为 P03.19 两种电介质的相对介电常数分别为r1=2和r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的E1=ex2y-ey3x+ez(5+z)那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？解 设在介质2中E2(x,y,0)=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)+ezE2z(x,y,0)D2=0r2E2=30E2在z=0处，由ez(E1-E2

19、)=0和ez (D1-D2)=0，可得ex2y-ey3x=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)250=30E2z(x,y,0)于是得到 E2x(x,y,0=)y2E2y(x,y,0)=-3xE2z(x,y,0)=103故得到介质2中的E2和D2在z=0处的表达式分别为E2(x,y,0)=ex2y-ey3x+ez(103)D2(x,y,0)=0(ex6y-ey9x+ez10)不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20 电场中一半径为a、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为-03cos1=-E0rcos+aE

20、0 ra 2+20r2=-30+20E0rcos ra验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解 在球表面上-030(a,)=-Eacos+aEcos=-E0acos 100+20+202(a,)=-1r2rr=ar=a30+20E0acos 2(-0)E0cos=-3E0cos=-E0cos-=-30+20+20+20E0cos1rr=a故有 1(a,)=2(a,)， 0=2rr=a可见1和2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为p=n P2d2r=a=(-0)er E2=-(-0)2rr=a=30(-0)+20E0cos3.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距

21、离为d。电容器的一半厚度(0)用介电常数为的电介质填充，如题3.21图所示。(1) (1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2) (2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3) 求电容器的电容量。解 （1） 设介质中的电场为E=ezE，空气中的电场为E0=ezE0。由D=D0，有 E 0E0又由于 Ed2 E0d2 U0由以上两式解得E 2 0U0( 0)d，E0 2 U0( 0)d题 3.21图故下极板的自由电荷面密度为2 0 U0 下 E ( 0)d2 0 U0( 0)d上极板的自由电荷面密度为 上 0E0 电介质中的极化强度 P ( 0)E ez故下表面上的束缚电荷面密度为 2 0( 0U)( 0)d2 0( 0U)( 0)dp下 ez P 上表面上的束缚电荷面密度为 p上 ez P 2 0( 0U)( 0)dQab （2）由 2 0 U( 0)d得到 U ( 0)dQ2 0 ab ( 0)Q故 题3.22图 ab( 0)Q p上 ab2 0 abQC （3）电容器的电容为U( 0)dp下3.22 厚度为t、介电常数为 4 0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角 1