小学数学问答手册一整数.docx

1、小学数学问答手册一整数小学数学问答手册一、整数1.为什么古代中国应称为数学王国？我国古代数学家，创造了光辉的业绩，在许多数学领域处于领先地位。因此我国应称为古代数学王国。仅举几例说明。约公元前5世纪，我国数学家就研究了幻方。即从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的方。如图，每行每列3个数的和都是15，而且两条主对角线上的3个数的和也都是15。西方人大约在14世纪才开始研究幻方构造。比我国晚约2000年。公元1世纪，我国数学家就开始研究开平方法与开立方法。魏晋间杰出的数学家刘徽在公元263年又有所发展，而西方出现类似的方法晚于公元 390年。我国

2、对于一元同余方程组的研究约在公元400年时就开始了，到了秦九韶时代（公元1247年）已经有完整的解法，被世界称为“中国剩余定理。”我国古代数学家祖冲之（429-500）在公元500年之前，已将圆周率计算到小数点后7位，得到3.1415926n3.1415927，又结果的。祖冲之之子祖暅提出“祖暅原理”之后的1200年，意大利数学家B.卡瓦列里才重新发现这个事实。我们最早提出的代数方程的近似解法-秦九韶法，贾宪三角形或称杨辉三角形是世界上最早研究二项式展开式系数的三角形，比西方巴斯卡三角形早四五百年。2.数的概念是怎样发展起来的？数的概念是由人类生产和生活的实践需要而逐渐形成和发展起来的。在人类

3、历史发展的最初阶段，由于计量的需要，形成了自然数（也叫“正整数”）的概念。以后随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零及负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了样，就把整数扩大为有理数。为了解决这些量与量之间的比值（例如，正方形对角线和边长的比），不能用有理数表示，人们又引进了无理数。无理数就是无限不循环小数。有理数和无理数的全体组成实数。实数概念的产生经过相当长的时间，然而在解方程中，像x2=-1无法解下去时，促使人们考虑数的概念还应继续发

4、展。到16世纪，人们开始引进一个新数i，叫虚数单位，并明确规定i2=-1，使数的概念发展到复数。3.怎样理解自然数的含义？在数（sh）物体个数的过程中，我们数（sh）出的一，二，三，四，五，都叫做自然数。谁也不能把自然数全部数出来或全部写出来。因此，自然数有无限多个。1是自然数的单位。任何自然数都是由若干个“1”组成的。1是最小的自然数，但是自然数没有最大的。从集合的观点看，每一个自然数是一类等价的非空有限集合的标记。它表示非空有限集合中的元素的个数。例如，把两支铅笔作为一个集合，把一个人的两个耳朵作为一个集合，这两个集合是等价集合。又如，把五本练习本作为一个集合，把人的一只手上的手指作为一个

5、集合，这两个集合也是等价集合。前者等价集合的标记是“2”，后者等价集合的标记是“5”。它们都是自然数。4.自然数的性质有哪些？自然数的性质有下列几点：（1） 1是自然数；（2）每一个确定的自然数 a.都有一个确定的后继数 a，a也是自然数。（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数。例如，1的后继数是2，2的后继数是3，等等。）；（3）如果b、c都是自然数a的后继数，那么b=c；（4） 1不是任何自然数的后继数；（5）任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n的后继数n也真，那么，命题对所有自然数都真。以上五条自然数的性质是由意大利数学家皮亚诺（

6、1858-1932年）提出来的，通常把它叫做自然数的皮亚诺公理。其中的性质（5）是数学归纳法的依据。5.怎样理解自然数列的含义？我们把自然数大家庭中的所有成员按照从小到大的顺序排成一列长长的队伍，自然数1是这个队伍的“排头兵”，2排在1的后面，3排在2的后面这样一直排下去，谁也看不见这个队伍的排尾。我们把这样排成的一列长长的看不到尾的“队伍”叫做自然数列。总之，从“一”起，把自然数按照由小到大的顺序排列起来，就得到一列数：一、二、三、四、五、六这个依次排列着的全体自然数的集合，叫做自然数列。6.自然数列的性质有哪些？自然数列的性质主要有以下三点：（1）自然数列是有序的。自然数列里的自然数都是按

7、照一定顺序排列着的，在“1”后面的一个自然数是“2”，在“2”后面的一个自然数是“3”，这就是说，每个自然数后面都有一个而且只有一个后继数。（3）自然数列是无限的。自然数列里不存在“最后的数”，即自然数列里的数是无限的。7.常说“自然数有两方面的意义：一是基数的意义，二是序数的意义”，这是怎么一回事呢？在日常生活中，自然数在不同的情况下有不同的意义。例如，同学们在上体育课的时候，有时排成一列横队，老师发出口令：“报数！”，于是从横队由右边排头开始，一！二！三！四！，排尾报的是三十五。我们知道，横队里的学生同自然数列里的自然数从1开始到35为止，建立起一一对应关系。自然数“ 1”对应自右起的第一

8、个学生，自然数“2”对应自右起的第二个学生，自然数“35”对应自右起的第三十五个学生（即排尾）。这个“35”，既可以表示这横队共有35个学生，也可以表示站在排尾的这个学生是第35号。我们可以把这一横队的学生的全体看做是一个集合，其中每一个学生，可以看做是这个集合中的一个元素。就这样，用来表示事物数量多少的自然数叫做基数；用来表示事物次序的自然数叫做序数。这就是平常所说的自然数有两重意义，一是基数的意义，二是序数的意义。所谓基数的意义，即被数的事物有“多少个”；所谓序数的意义，即最后被数的事物是“第几个”。为了使学生懂得自然数的双重意义，可以举些实例予以说明。例如，大家都伸出1只手来，从大拇指开

9、始数到小指：一，二，三，四，五！这个“五”可以表示一只手共有五个手指，也可以表示小指是第五号。在数轴上也可以同时反映出自然数的两个含义。（如图）数轴上的“5”，一方面表示的点是原点右边的“第5个”整点，这时“5”就是序数；另一方面，用“5”表示的点同原点之间的距离是“5个”单位，这时“5”就是基数。 8.什么叫扩大的自然数列？我们知道自然数列是按照后面的一个自然数比前面的一个多1的顺序排列的。1比0也是多1，可以把0写在自然数列的前面，就得到由小到大依次排列的一个序列。0，1，2，3，4，5，叫做扩大的自然数列。在扩大的自然数列里，只有零不是自然数，其他的数都是自然数。零和自然数都是整数。9.

10、什么叫做数字？常见的数字有哪几种？用来记数的符号（或文字）叫做数字。常见的数字有：阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；中国小写数字：、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十；中国大写数字：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、兆；罗马数字：I、 V、 X、 L、 C、 D、 M。（1）（5）（10）（50）（100）（500）（1000）阿拉伯数字，是现在世界各国通用的数字，在我们的数学书上也使用阿拉伯数字。中国数字，不论大写的还是小写的，在我国的许多书上常常见到。在一些重要的文件编号上，在商店的发货票上都采用了中国大写数字。罗马数字是过去欧洲人常用的数字

11、，由于它在记数时非常麻烦，后来逐渐被阿拉伯数字所代替。今天，在一些钟表盘上还能见到它。10.你知道我国数字的历史吗？我国古代很早就有了数字。最初的数字还不可考。只有把数字刻在龟甲和兽骨上时，才有可能留传下来。在我国河南省发现的殷墟甲骨文卜辞中有很多记数的文字，说明早在三千多年前人们已经能用一、二、三、十、百、千、万等记数，并且采用十进制，只是文字的形体和后来的有所不同。下面是甲骨文的十三个记数单字：这些数字可以说是我国现存最早的数字了。由甲骨文数字几经演变，才形成现代的汉字数字。我国古代还有用小竹棍或小木棍摆出来记数和计算的，这叫做“算筹”。据文献记载，算筹除竹筹外，还有木筹、铁筹、骨筹、玉筹

12、和牙筹，并且有盛装算筹的算袋和算子筒。算筹记数的规则，最早载于孙子算经：“凡算之法先识其位。一纵十横，百立千僵。千、十相望，万、百相当。”用算筹表示数目有纵、横两种方式：表示一个多位数，是把各位数码由高位到低位从左至右横列。各位筹式必须纵横相间：个位、百位、万位等用纵式；十位、千位、十万位等用横式。例如1987用算筹表示出来是。数字“零”表为空位，例如6023用算筹表示出来是。这与现今的十进制记数法基本一致。我国明、清时代，在商业上曾用过如下的数码：这种数字，也叫做“苏州码子”，又叫“草码”，直到解放前，有时记帐还用它。现在我们用的中国小写数字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十是由甲骨文

13、的数字演变而来的。此外，现在人们还可以在发货票上见到中国大写数字：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。虽然我国的大写数字是目前世界上最繁的数字，但是它的优点是不易涂改，因此我国还把它用在会计工作中以及在重要票证或证件的编号上。11.“0”是不是只表示没有？这个问题要分两方面来讲。首先讲一讲“0”是表示“没有”；其次讲一讲“ 0”不只是表示“没有”，还有更丰富的内容。在日常生活中，有时会遇到一件事物也没有的情况。例如：全班同学都到操场上体育课去了，教室里一个同学也没有了，这时教室里学生的人数，就用“0”表示。既然“0”不仅仅是表示“没有”，那么它还有哪些意义和作用呢？（1）表

14、示分界。“0”是正负数的分界，“0”既不是正数也不是负数，它是仅有的一个中性数。“0”对应于数轴上是一个特定点，由它决定了其他点的位置。从这点起在一条直线上的某一方向被定为正，而相反的方向则为负。因此，原点“0”比表示正负数的任何点都更重要。又如，在温度计上，“0”度是零上温度和零下温度的分界。在通常情况下，摄氏零度是水开始结冰的温度。有时说：“今天的气温是零摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是指气温是零度。（ 2）“ 0”占有数位。在记数时，当某个数的某些数位上一个计数单位也没有时（即空位），就用“0”表示。例如，九十可以记作90，三百零五可以记作305。这里的“0”不能随意增添或去掉，因为

15、它是占有数位的。如果随意增添或去掉，那么，不是把表示的数量扩大了若干倍就是缩小了若干倍。可知，“0”在写数时是起到占位作用的。（3）“0”可以做为起点。例如，从甲城到乙城的公路上，靠近路边栽有里程碑，每隔1千米栽1个。开始第一个石头桩上刻的号是“0”，表明这段公路的起点。又如，米尺上的一个端点的刻度“0”表示起点，可以把被量的物体端点放在0处起量，是准确的。12.“ 0”的性质有哪些？在小学数学教材中，有关“0”的性质分散在各部分内容里。现集中起来，简述如下：（1） 0是一个数，并且是一个整数，但0不是自然数，它比一切自然数都小。（2）在十进制记数法中，0起占位的作用。（3）0是一个偶数。（4

16、） 0是任意自然数的倍数。（5）任何数与0相加，它的值不变，即a0=0a=a。（6）任何数减0，它的值不变，即a-0=a。（7）相同的两个数相减，差等于0，即a-a=0。（8）任何数与 0相乘，积等于 0，即a0=0a=0。（9）0被非零的数除，商等于0，即如果 a0，那么0a=0。（10）0不能作除数。例如：30，00，这类式子是没有意义的。随着数学知识的扩充，0的性质也将进一步扩充。比如，当引进负数之后，0是唯一的中性数，即既不是正数，也不是负数；引入绝对值的概念后，0的绝对值等于0，即0=0；引入指数概念后，任何非零的数的 0次幂等于1，即如果 a0，那么a=1；等等。13.怎样用罗马数

17、字记数？罗马数字是罗马人创造的记数符号。基本的共有7个：1（表示1），V（表示 5）， X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示500），M（表示1000）。这些数字在位置上不论怎么变化，所代表的数是不变的。罗马记数法是把罗马数字按照下列法则并列起来表示数。（l）相同的数字连写，或者把较小的数字写在较大的数字右边，所表示的数就等于这些数合并在一起所得的数。如=3.=6,LX=60，DCC=700，DCLXX=678。（2）把较小的数字写在较大的数字左边，所表示的数就等于从大数里去掉较小的数后所得的数。如 =5-1=4，=10-1=9，XC=90，CD=100。（3）在数

18、字上加一条横线，表示1000倍，或者在这数字的右下角写一个字母M，就表示若干个千组成的数。如X是101000=10000；也可以写作XM是 101000= 10000。把这几个方法结合起来,就可以表示所有的数。如：MCMXL=1946，MCMLXXX=1988。13世纪以前，罗马数字曾盛行于欧洲。由于使用不如阿拉伯记数法方便，后来就用得少了。14.现在各国通用的数字，为什么称为阿拉伯数字？1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，称为阿拉伯数字。是现在世界各国通用的数字。这组数字最早起源于印度，8世纪前后传到阿拉伯。13世纪初由意大利数学家斐波那契，L，（约1170-约1250）用拉丁文写成的算

19、盘书（1202年完成，1228年修订），系统介绍了印度数码与记数制度，以及整数、分数的各种计算方法，结果用弃九法来验算。还列有乘法表、素数表和因子表等若干数表。当时欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯传来的，称它为阿拉伯数字，以后逐渐推广开来。15.怎样理解算术及算术数？算术是数学的一个分支，它主要讨论非负整数、分数、小数的读数法、记数法和它们在加、减、乘、除、乘方等运算下产生的数的性质、运算法则。算术进一步发展成为代数与数论。小学数学教材的主要内容是算术部分的知识。近来，由于增加了一些代数知识，为了使名称和内容一致，对小学数学教材不再称为“算术”，改称为“数学”。算术数是自然数、零和正分数（小数）

20、的统称。也可以称为“非负有理数”。16.算式、式子和算草有什么区别？算式是用“”、”-”、“”、“”等运算符号联结数字而成的横列的式子。例如：（125+68-32）23=16123=7。这就是一个算式。通常称为横式。式子是算式、代数式、方程式等的总称。算式可以看成是式子，但式子不一定都是算式。式子在没有要求计算时可以不算，而算式一般都要求算出结果来。算草是演算时所做的草式。通常称为竖式，例如：17.计数单位和数位有什么区别？对于每一个数都应当有一个名称，这样，我们才能称呼它，也就是才能读出这个数来。就以自然数来说吧，自然数是无限多的，如果每一个自然数都用一个独立的名称来读出它，这是非常不方便的

21、，也是不可能做到的。为了解决这个问题，人们创造出一种计数制度，就是现在我们使用的十进制计数法。十进制计数法的特点是“满10进一”。也就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位。即10个一叫做“十”，10个十叫做“百”， 10个百叫做“千”， 10个千叫做“万”，。一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿、兆、，都是计数单位。数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。但是，它们之

22、间的关系又是非常密切的。这是因为“个位”上的计数单位是“一（个），“十位”上的计数单位是“十”，“百位”上的计数单位是“百”，“千位”上的计数单位是“千”，“万位”上的计数单位是“万”，等等。例如：8475，“8”在千位上，它表示8个千，“4”在百位上，它表示4个百，“ 7”在十位上，它表示 7个十，“ 5”在个位上，它表示5个一。18.一位数、两位数、三位数、是怎样规定的？用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。例如：1，3，9。用两个数字，其中最左端的数字不是0，所表示的数，叫做两位数。例如：10， 29， 87。用三个数字，其中最左端的数字不是0，所表示的数，叫做三位数。例如：100，29

23、0，607。因此，在一个数中，数字的个数是几（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。也有的书上是如下规定的：“只用一个有效数码表示的数，叫做一位数。用两个数码，其中左端第一个是有效数码来表示的数叫做两位数。同样的规定多位数：三位数、四位数。”又特别指出：“除数码0以外其他的数码（如1，2，3，4，5，6，7，8，9）都叫做有效数码”。可以看出，在以上的规定中，常常特意强调“左端的数字不是0”，这是怎么一回事儿呢？这是因为有时在报名单的号数或者较徽等的号数上常常用“0”占据数位以防止更改。例如：数8可以写成0008，它仍然表示8或第8号，还叫做一位数，不能叫做四位数。数97可以写成009

24、7，但也仍然是二位数。总之，一位数是：1-9：两位数是10-99，三位数是100-999；四位数是10009999；学生也可能问“最小的一位数是不是0？”这句话本身就是不对的。首先，根据规定，如果只写一个“0”，它不叫一位数。至于“0”这个数是否最小，应该说：在非负整数范围内，最小的整数是0。19.写数的位值原则是什么？同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“ 3”，如果写在个位上，就表示 3个一；如果写在十位上，就表示3个十；如果写在百位上，就表示3个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，我们称它为

25、写数的位值原则。阿拉伯记数法就是应用这个原则，把数字和数位结合起来，可以写出一切整数。古代罗马因为缺乏位值原则，写数与计算非常繁难，于是，罗马记数法就逐渐被淘汰了。例如：我国古代，用筹码计算的时候就已经采用位值原则了。有时，初学写数的学生，常把“十九”写成“109”，把“四十五”写成“405”。这是什么原因呢？这是还没有理解阿拉伯记数法的位值原则的缘故。应该进一步弄清阿拉伯记数法的特点数字和数位结合起来记数。20.整数包括哪些数？我们认识了自然数和零之后，知道了自然数和零都是整数。即0，1，2，3，都是整数。当我们学习了负数之后，在自然数前面添上负号“-”而得到的数叫做负整数，如-1，-2，-

26、3，-4， 都是负整数。这时，正整数（自然数）、零、负整数，统称为整数，而正整数和零可称为非负整数。21.数轴的三要素是哪些？规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。原点、方向、单位长度就是数轴的三要素。22.为什么要建立进位制？由于自然数有无限多个，对于每一个自然数如果都用一个独立的名称或符号来读出它或表示它，那是很不方便的，也是不可能做到的。因此，需要建立一种读数、写数制度-进位制。23.进位制的基数是什么意思？在一种进位制中（设为K进制），由K（K1）个某一单位组成一个相邻的较高单位，这种进位制就叫做K进位制。K叫做这种进位制的底数（或称进率），底数也可以叫做基数。基数是10的进位

27、制叫做十进位制，用十进位制记出的数简称为十进数。它的特点是满10进一，它需要10个数码；基数是2的进位制叫做二进位制，用二进位制记出的数简称为二进数。它的特点是满2进一，它只需要两个数码-1。电子计算机是用二进制数，它只需“通电”与“断电”两种信号来表示0和1。24.怎样把二进数化为十进数？二进位制的特点是“满二进一”，它的底数是2。写二进数只用0和1两个数字就可以了。根据位值原则，“”至“十”各数的写法如下：“一”记作 1，“二”记作 10，“三”记作 11，“四”记作 100，“五”记作101，“六”记作110，“七”记作111，“八”记作1000，“九”记作1001，“十”记作1010，

28、“零”记作0。由于二进数只有两个数码，所以用通电和断电这两种状态就能把它们表示出来。这样，如果有几组电路的通、断，就可以表示出任意的一个二进数，并且能进行四则运算。因此二进位制广泛应用于电子计算机中。二进数可以化为十进数，十进数也可以化成二进数。例：把 1011012化为十进数。解：二进数的各个数位所表示的计数单位，从右起第一位是一（20），第二位是二（21），第三位是四（22），第四位是八（23）。为了把1011012化为十进数，可以把1011012先改写成不同计数单位的数之和的形式，再改写成十进数。1011012=125+024+123+122+021+120=132+0+18+14+0+

29、11=32+8+4+1=4510110122=45 25.怎样把十进数（整数）化为二进数？例：把43化为二进数。解：根据二进数“满二进一”的特点，可以用2连续除43。432=21（余1）把21进到第二位，余下的1是第一位数字；212=10（余1）把10进到第三位，余下的1是第二位数字；102=5（余0）把5进到第四位，余下的0是第三位数字；52=2（余1）把2进到第五位，余下的1是第四位数字；22=1（余 0）把 1进到第六位，余下的 0是第五位数字；12=0（余1）余下的1是第六位数字。除到此，就可以写出所求的二进数为：431010112为了书写简便，可以用竖式计算：43=1010112这种

30、方法通常叫做“二除取余法”。26.在教学10以内数的时候，怎样使学生建立数的概念？提起10以内数的教学，不禁使人想到一个真实的故事。一年级小学生聚精会神地听老师讲算术课，老师对学生说：“今天咱们学习一和二。”随即举起一张画片，问道：“这张画片上画的是什么？”学生：“画的是皮球。”老师：“画的是几个皮球？”学生：“一个皮球。”这时，老师把画片翻转过来，问：“这上面写的数字念做什么？”学生：“念做1。”老师：“对！念做1。”紧接着，老师用同样的办法开始讲“2”了。画片的正面画着两支铅笔，背面写着数字“2”。老师再没有举出其他的事例。就这样讲完了1和2，然后就指导学生练习写数了。下一次上课的时候，老师在黑板上画了两个皮球，让学生到黑板上表示两个皮球的数字，学生们举手争着要求来写。照理说应该写个“ 2”就对了。事与愿违，没有料到，这个小学生在每个皮球下面都写上“1”。老师问他为什么这样写，这个小学生理直气壮地回答：“您不是讲过吗，1表示一个皮球，那么，两个1不就是表示两个皮球吗！”看来，这位老师讲课时使用的直观教具太少，使小学生错误地认为：“