异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高.docx

1、异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高空间角专题复习知识梳理一、 异面直线所成的角及求法定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或 直角称为两异面直线所成的角.n取值范围：若B是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是 氏(0,空,当n =2时，称异面直线a和b垂直，记为a丄b.(3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角 形，通过解该三角形而求其大小；二、 直线与平面所成的角及求法(1)定义：设I和a分别表示直线与平面.若I / a或I? a，则称直线I和平面a所成的角为0；若Ila,则称I与a所成的角为一；若I与a相交，则I

2、2与I在a内的射影所成的锐角为直线I与平面a所成的角.取值范围：设B是直线I与平面a所成的角，贝U B的取值范围是0,.2(3)求法：定义法：探寻直线I在平面a内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直 线I与平面a所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面 所成的角.三、 二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角， 且定义平面角的大小为该二面角的大小.(2)取值范围：规定二面角的取值范围为0，冗.(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角 称为该二面角的平面角练习提升1.

3、如图，E、F分别是三棱锥 P ABC的棱AP、BC的中点, 异面直线AB与PC所成的角为 （ ）A.30 B. 45C. 60 D. 90答案：CC.P? R? Q D. R? P= Q答案：B8 .设 ABC和厶DBC所在两平面互相垂直，且 AB = BC= BD = a，/ CBA=/ CBD = 120 则AD与平面BCD所成角的大小为（ ）A. 30 B. 45C. 60 D. 75解析：作AO丄CB交CB的延长线于 O,连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，/ ADO即为AD与平面BCD所成的角.AO = OD = -23a,/ADO = 45 答案：B9.如图，AB是圆的直

4、径，PA垂直于圆所在的平面， C是圆上一点（不同于A、B）且PA= AC,则二面角P BCA的大小为答案 C10.如图，已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形,PAB与平面PCD所成的二面角的度数为（ ）A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 解析：TAB /CD ,面PAB与平面PCD的交线I必为过P点与AB平行的直线.PA丄平面ABCD ,PA丄 AB, PA丄 CD，又 CD 丄 AD,DC丄平面FAD ,DC 丄 PD ,PAX I, PD丄I,即/APD为所求二面角的平面角,ZAPD =45.答案：C11.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：AC丄BD :

5、厶ADC是正三角形；AB与CD成60角；AB与平面BCD成60角.则 其中正确结论的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D . 4个解析：取BD的中点 0,则BD丄0C,BD丄OA，得BD丄平面 AOC ,1BD 丄AC,正确；cosADC = cos45 s45 =?,/ADC = 60； AD =DC ,AADC是正三角形，正确； AB与CD成60。角，正确；AB与平面BCD成角/ ABO= 45 ；错误.答案：CI)12.如图所示的正方体 ABCD A1B1C1D1中，过顶点 B、D、C1作截面，则二面角 B DC1C的平面角的余弦值是 .解析：取C1D的中点O,连接BO、C

6、O,贝U zBOC是二面角 B DC1 C的平面角.设正方体的棱长为1,则CO =22,DC1为正三角形，OB 二寺且 BC = 1,OB2+ OC2 BC2cosZBOC =2OB OC答案：于13.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中,AB = BC= AA1,Z ABC = 90 ；点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点.则直线 EF和BC1所成的角是（A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 解析：取B1C1的中点G, A1B1的中点H,连结EFG或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得1cos/EFG =-，故所求角为 60 BC = 4.3,再由面积公式答案：B14.如

7、图，将RtA ABC沿斜边上的高 AD折成120。的二面角C- AD C,若直角边 AB =4 3, AC = 4 6，则二面角 A BC D的正切值为（ ）A. 2B乎解析：ZCDC = 120 过D作DE丄BC于E,连结AD丄平面BC D, AD = 4 2，在 BC D中，由余弦定理求得ADDE = 2Scd = *BC DE = 2 BD CD sin60 知 DE = 4,.tanZAED =答案：A点评：考查二面角的知识,余弦定理及三角形的边角计算. 如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键.15.在矩形 ABCD 中，AB= 3,的度数是（ ）A. 30 C. 60 A BD

8、PAD = 4,解析：如右图所示，过A作AE丄BD ,垂足为E，连结PE,则PE丄BD（三垂线定理）,故/PEA为二面角 P BD A的平面角.在 Rt BAD 中，_ AB AD 12 AE = =BD 5 在Rt AE中，/ PA 並 小 otan ZPEA=忑= , /PEA = 30 .答案：A平面角为（ ）C. 120 解析：如图，作BE丄PC,连结DE.DC 也BC.DE 丄 PC/JDEB就是二面角 D PC B的平面角,O为DB的中点,zOEB = 2/DEB ,又面PAB丄面PCD ,po = 2ab,%/2 13在 Rt4POC 中，OC=-AB，所以 PC=AB.2ab

9、AB/OE=芦AB.22 ABan ZOEB =a AB6 冗， 2 n ZOEB = 3，./DEB =.答案：C2的正方形，其它四个侧面都是侧B . 90 D. 150 17.如图，在四棱锥 V ABCD中，底面 ABCD是边长为棱长为一5的等腰三角形，则二面角 V ABC的度数是答案 60n18.如图，直角梯形 ABCD中，AB/ CD，/ DAB =，点M、N分别在AB, CD上，且MN丄AB, MC CB, BC = 2, MB = 4，现将梯形 ABCD沿MN折起，使平面 AMND与平面MNCB垂直(如图).(1)求证：AB /平面 DNC ;3当DN = 2时，求二面角 D BC

10、 - N的大小.解：（1）证明：MB /NC, MB?平面 DNC , NC?平面 DNC ,.MB /平面 DNC.平面MAB /平面NCDAB / 平面 DNC .AB?平面MAB由 MB = 4, BC= 2, ZMCB = 90 知ZMBC = 60 ,由条件知：tanNHD = DH = f,./NHD = 30 :NH 3求PC与平面ABCD所成的角的正切值;求二面角 P EC D的正切值.解：(1)证明：如图，取 PC的中点0,连接 OF、0E,贝 U FO /DC,且 FO = 1DC ,FO /AE,又E是AB的中点,且 AB= DC,FO = AE.四边形AEOF是平行四边

11、形,AF /OE.又OE?平面PEC,AF?平面 PEC,AF /平面 PEC.如图，连接AC,PA丄平面ABCD , zPCA是直线PC与平面ABCD所成的角.在Rt AC中,PA tan ZPCA = AC,5= 5即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为如图，作AM丄CE,交CE的延长线于M .连接PM，由三垂线定理得 PM丄CE ,/PMA是二面角 P EC D的平面角.由AAME sZcbe可得AM =面角P EC D的正切值为 2.20.如图所示，四棱锥 PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,/ BCD = 60 E 是 CD 的中点，PA丄底面 ABCD , PA =3.证

12、明：平面 PBE丄平面FAB;(2)求二面角 A BE F的大小.因为E是CD的中点，所以 BE丄CD.又 AB / CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD ,BE?平面 ABCD ,所以PA丄BE.而 FAQ AB = A,因此BE丄平面FAB.又BE?平面PBE,所以平面PBE丄平面PAB.(2)解 由(1)知，BE丄平面PAB, PB?平面PAB, 所以PB丄BE.又 AB丄BE,所以/ PBA是二面角 ABE P的平面角.在 Rt PAB 中，tan/ PBA = TA = .3 则/ PBA= 60 .AB故二面角 A BE P的大小是60 .21.已知平面a外两点A、B到平

13、面a的距离分别为1和2, A、B两点在a内的射影之间距 离为.3,求直线AB和平面a所成的角.解 如图，当A、B位于平面a同侧时，由点A、B分别向平面a作垂线，垂足分别为Ai、Bi,则AAi= 1 , BBi = 2, BiAu ,3过点A作AH丄BBi于H，贝U AB和a所成角即为 / HAB.如图，当A、B位于平面a异侧时，经 A、B分别作AAi丄a于Ai， BBi丄a于Bi,ABn a= C,则AiBi为AB在平面 a上的射影，/ BCBi或/ACAi为AB与平面 a所成角. BCBis ACAi, BBi = CC= 2, BiC = 2CAi，而 BiC+ CAi= /3, BiC

14、= 3 . tan/ BCBi =/ BCBi= 60 AB 与 a所成角为 60 综合 、可知：AB与平面a所成角为30或60 22.如图，在三棱锥 PABC中，PA丄底面 ABC，/ BCA = 90 点D、E分别在棱 PB、PC上，且 DE / BC.求证：BC丄平面FAC.(2)是否存在点E使得二面角A DE F为直二面角？并说明理由证明/ PA丄底面ABC,FA丄 BC.又/ BCA = 90AC丄 BC.又 T AC n PA= A,BC丄平面PAC.(2)解/ DE / BC,又由(i)知，BC丄平面FAC, DE丄平面FAC.又T AE?平面FAC, PE?平面FAC, DE丄AE, DE丄 PE./ AEP为二面角 ADE P的平面角./ FA丄底面ABC,PA丄 AC, PAC= 90在棱 PC 上存在一点 E,使得AE丄PC.这时/ AEP = 90 故存在点E,使得二面角 ADE P为直二面角.