等差数列及其应用精.docx

1、等差数列及其应用精等差数列及其应用 许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，

2、7，9，11，13. 2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列中，d=2-1=3-2=4-3=1；数列中，d=3-1=5-3=13-11=2；数列中，d=100-95=95-90=75-70=5；数列中，d=20-18=18-16=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.6，10，14，18，22，

3、98；1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；解：是，公差d=4.不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是，因为4-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记

4、为a1，第2项记为a2，第n项记为an。an又称为数列的通项。a1，又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.二、通项公式对于公差为d的等差数列a1，a2，an来说，如果a1小于a2，则由此可知： (1)an=a1+(n-1) d若a1大于a2，则同理可推得：(2) an=a1-(n-1) d公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.例2 求等差数列1，6，11，16的第20项.解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：第20项a20=a1=（20-1）5=1+195=96.一般地

5、，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：如果a1小于a2，则n=(an-a1) d+1 若a1大于a2，则同理可推得：n=(a1-an) d+1例3 已知等差数列2，5，8，11，14，问47是其中第几项？解：首项a1=2，公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得：n=（47-2）3+1=16.即47是第16项.例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.分析与解答方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.因为a4=a1+3d，又a4=21，所以a1=21-3d又a6=a1+5d，又a6=33，所以a1=33-5d所以

6、：21-3d=33-5d，所以d=6 a1=21-3d=3，所以 a8=3+76=45.方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d，其中a6已知，只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d，所以 2d=a6-a4所以a8=3+76=45方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.三、等差数列求和若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3an可以写为a1,a1+d,a1+d2，a1+d（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.设 Sn=a1+a2+a3+an则

7、 Sn=an+an-1+an-2+a1两式相加可得：2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2Sn=n（a1+an）,所以，Sn=n（a1+an）2例5 计算 1+5+9+13+17+1993.当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.解：因为1，5，9，13，17，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=（ana1）d+1=499.所以，1+5+9+13+17+1993=（1+1993）4992=997499=497503.题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第2

8、50项的值是997，而和恰等于997499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：这个定理称为中项定理.例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14， 容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2， d=4， an=2106，贝n=（an-a1）d+1=527这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）4=1054.方法2：（a1+an）n2=（2+2106）5272=555458（块）.

9、则中间一项为（a1+an）2=1054a1=2， d=4， an=2106，这堆砖共有 1054527=555458（块）.n=（an-a1）d+1=527例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+2000）-（1+3+5+1999）解法1：可以看出，2，4，6，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了100

10、0个1，即原式=10001=1000.例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？分析与解答方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为549=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）92=126.方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+89=126.在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（

11、a1+an）n2，则 a1+a9=5429.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？分析与解答方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=84502100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46134.这些数构成等差数列，和为（36+134）502=4250.方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数

12、列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）2=4250.四、等差数列的应用例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为2107=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子

13、都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.分析与解答因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？解：设满足条件的两数为a、b，且ab，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.若a=25，则b=26，27，50，共25种.若a=26，则b=27，

14、28，50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，50，共23种.若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+25+24+23+22+l=2（1+2+3+24）+25=625.例13 x+y+z=1993有多少组正整数解.显然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+1991=1983036.本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，

15、5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.例13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？第10行的第9个数是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49 分析与解答197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数. 第2行有3个数. 第3行有5个数 第n行有2n-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2n-1）=1+（2n-1）n2=nn因为99991010.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即19

16、7位于第10行第18个数.第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为99+9=90），它是179.例14 将自然数如下排列，1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 18 10 12 11 在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析与解答不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+n-119931+2+3+n即：n（n-1）21993n（n+1）2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.