pascal教程8动态规划.docx

1、pascal教程8动态规划第八章 动态规划8.1 字串距离 源程序名 blast.*（pas, c, cpp）可执行文件名 blast.exe输入文件名 blast.in输出文件名 blast.out【问题描述】 设有字符串X，我们称在X的头尾及中间插入任意多个空格后构成的新字符串为X的扩展串，如字符串X为”abcbcd”，则字符串“abcbcd”，“abcbcd”和“abcbcd”都是X的扩展串，这里“”代表空格字符。 如果A1是字符串A的扩展串，B1是字符串B的扩展串，A1与B1具有相同的长度，那么我扪定义字符串A1与B1的距离为相应位置上的字符的距离总和，而两个非空格字符的距离定义为它们

2、的ASCII码的差的绝对值，而空格字符与其他任意字符之间的距离为已知的定值K，空格字符与空格字符的距离为0。在字符串A、B的所有扩展串中，必定存在两个等长的扩展串A1、B1，使得A1与B1之间的距离达到最小，我们将这一距离定义为字符串A、B的距离。 请你写一个程序，求出字符串A、B的距离。【输入】 输入文件第一行为字符串A，第二行为字符串B。A、B均由小写字母组成且长度均不超过2000。第三行为一个整数K（1K100），表示空格与其他字符的距离。【输出】 输出文件仅一行包含一个整数，表示所求得字符串A、B的距离。【样例】 blast.in blast.out cmc 10 snmn 2【算法分

3、析】 字符串A和B的扩展串最大长度是A和B的长度之和。如字符串A为“abcbd”，字符串B为“bbcd”，它们的长度分别是la=5、lb=4，则它们的扩展串长度最大值为LA+LB=9，即A的扩展串的5个字符分别对应B的扩展串中的5个空格，相应B的扩展串的4个字符对应A的扩展串中的4个空格。例如下面是两个字符串的长度为9的扩展串： ab cbd bbcd 而A和B的最短扩展串长度为la与lb的较大者，下面是A和B的长度最短的扩展串： a b cbd bbcd 因此，两个字符串的等长扩展串的数量是非常大的，寻找最佳“匹配”（对应位置字符距离和最小）的任务十分繁重，用穷举法无法忍受，何况本题字符串长

4、度达到2000，巨大的数据规模，势必启发我们必须寻求更有效的方法：动态规划。 记为A串中A1到Ai的一个扩展串，为B串中B1到Bj的一个扩展串。这两个扩展串形成最佳匹配的条件是（1）长度一样；（2）对应位置字符距离之和最小。 首先分析扩展串与扩展串长度一样的构造方法。扩展串与扩展串可以从下列三种情况扩张成等长： （1）与为两个等长的扩展串，则在后加一空格，加字符Bj； （2）与为两个等长的扩展串，则在添加字符Ai，在后加一空格； （3）与为两个等长的扩展串，则在后添加字符Ai，在后添加字符Bj。 其次，如何使扩展成等长的这两个扩展串为最佳匹配，即对应位置字符距离之和最小，其前提是上述三种扩展方

5、法中，被扩展的三对等长的扩展串都应该是最佳匹配，以这三种扩展方法形成的等长扩展串(A1, A2, , Ai和也有三种不同情形，其中对应位置字符距离之和最小的是最佳匹配。 为了能量化上述的构造过程，引入记号gi, j为字符串A的子串A1, A2, , Ai与字符串B的子串B1, B2, , Bj的距离，也就是扩展串与扩展串是一个最佳匹配。则有下列状态转移方程： gi, j=Mingi-1, j+k, gi, j-1+k, gi-1, j-1+ 0iLa 0jLb 其中，k位字符与字符之间的距离；为字符ai与字符bi的距离。 初始值：g0, 0=0 g0, j=jk gi, 0=ik 综上所述，本

6、题的主要算法如下： （1）数据结构 var a, b:array1.2000of byte; 以ASCII码表示的字符串 g:array0.2000, 0.2000of longint; 各阶段的匹配距离 （2）读入字符串A、B，转换为ASCII码 la:=0; lb:=0; while not(eoln(f) do 子串长度单元 begin 从文件中读入一行字符 read(f, c); inc(la); ala:=ord(c); end; readln(f); while not(eoln(f) do begin read(f, c); inc(lb); blb:=ord(c); end;

7、readln(f); （3）根据状态转移方程求gla, lb g0, 0:=0; for i:=1 to la do gi, 0:=k+gi-1, 0; for j:=1 to lb do g0, j:=k+g0, j-1; for i:=1 to la do for j:=1 to lb do begin gi, j:=k+gi-1,j; temp:=gi, j-1+k; if gi, jtemp then gi, j:=temp; temp:=gi-1,j-1+abs(ai-bj); if gi, jtemp then gi, j:=temp; end; （4）输出 writeln(f,

8、gla, lb);8.2 血缘关系 源程序名 family.?（pas, c, cpp）可执行文件名 family.exe输入文件名 family.in输出文件名 family.out【问题描述】 我们正在研究妖怪家族的血缘关系。每个妖怪都有相同数量的基因，但是不同的妖怪的基因可能是不同的。我们希望知道任意给定的两个妖怪之间究竟有多少相同的基因。由于基因数量相当庞大，直接检测是行不通的。但是，我们知道妖怪家族的家谱，所以我们可以根据家谱来估算两个妖怪之间相同基因的数量。 妖怪之间的基因继承关系相当简单：如果妖怪C是妖怪A和B的孩子，则C的任意一个基因只能是继承A或B的基因，继承A或B的概率各占

9、50。所有基因可认为是相互独立的，每个基因的继承关系不受别的基因影响。 现在，我们来定义两个妖怪X和Y的基因相似程度。例如，有一个家族，这个家族中有两个毫无关系(没有相同基因)的妖怪A和B，及它们的孩子C和D。那么C和D相似程度是多少呢？因为C和D的基因都来自A和B，从概率来说，各占50。所以，依概率计算C和D平均有50的相同基因，C和D的基因相似程度为50。需要注意的是，如果A和B之间存在相同基因的话，C和D的基因相似程度就不再是50了。 你的任务是写一个程序，对于给定的家谱以及成对出现的妖怪，计算它们之间的基因相似程度。【输入】 第一行两个整数n和k。n（2n300）表示家族中成员数，它们

10、分别用1, 2, , n来表示。k（0kn-2）表示这个家族中有父母的妖怪数量（其他的妖怪没有父母，它们之间可以认为毫无关系，即没有任何相同基因）。 接下来的k行，每行三个整数a, b, c，表示妖怪a是妖怪b的孩子。 然后是一行一个整数m（1mn2），表示需要计算基因相似程度的妖怪对数。 接下来的m行，每行两个整数，表示需要计算基因相似程度的两个妖怪。 你可以认为这里给出的家谱总是合法的。具体来说就是，没有任何的妖怪会成为自己的祖先，并且你也不必担心会存在性别错乱问题。【输出】 共m行。可k行表示第k对妖怪之间的基因相似程度。你必须按百分比输出，有多少精度就输出多少，但不允许出现多余的0（注

11、意，0.001的情况应输出0.1%，而不是.1%）。具体格式参见样例。【样例】 family.in family.out 7 4 0% 4 1 2 50% 5 2 3 81.25% 6 4 5 100% 7 5 6 4 1 2 2 6 7 5 3 3【知识准备】 （1）基本的概率计算知识； （2）递推原理（包括记忆化搜索）。【算法分析】 本题是一道概率计算题，但这个概率计算又是建立在Family Tree模型上的。Family Tree是一个有向无环图，有明显的阶段性(辈分关系)，而且没有后效性（没有人可以成为自己的祖先），符合动态规划模型的基本条件。因此，应该可以套用类似动态规划的方法来解决

12、。 我们先来明确一下相似程度的计算方法。假设我们要求的是A和B的相似程度（设为P(A, B)），那么有两种情况是显然的： （1）A=B:P(A, B)=1； （2）A与B无相同基因：P(A, B)=0。 这是计算其他复杂情况的基础。因为动态规划就是从一些特定的状态（边界条件）出发，分阶段推出其他状态的值的。 再来看一般的情况，设A0和A1是A的父母。那么，取概率平均情况，A拥有A0和A1的基因各占一半。假设A0与B的相似程度为P(A0, B)，A1与B的相似程度为P(A1, B)，那么P(A, B)与P(A0, B)和P(A1, B)之间应该是一个什么样的关系呢？很容易猜想到： P(A, B)

13、=(P(A0, B)+P(A1, B)/2 但是，这只是一个猜想。要让它变为一个结论还需要证明： 我们用归纳法来证明。 首先，我们知道，在这个问题中不同基因都是从特定的祖先传下来的，不会出现同一个基因采自不同的祖先的情况(注：这里的祖先是指那些没有父母的妖怪)。所以，如果A与B有相同的基因，这些基因必然来自同一个祖先。这里，我们最想说明的是，祖先那代是不存在两个人，它们之间不同的基因相同的概率不一样，因为它们相同的概率都是0。 现在，A有祖先A0和A1，A0和A1与B的相似程度分别为P(A0, B)和P(A1, B)。从祖先一代开始归纳，可由归纳假设A0与B、A1与B之间每个基因相同的概率都是

14、一样的，分别都是P(A0, B)和P(A1, B)。A的单个基因，它可能是继承A0的，也可能是继承A1的，概率各50%。继承A0的话与B相同的概率是P(A0, B)，继承A1的话与B相同的概率是P(A1, B)。那么这个基因与B相同的概率就是： (P(A0, B)+P(A1, B)/2因此，A的每个基因与B相同的概率都是(P(A0, B)+P(A1, B)/2，具有相同的概率。进而，A与B相同基因的数量概率平均也为(P(A0, B)+P(A1, B)/2，A与B的相似程度 P(A, B)=(P(A0, B)+P(A1, B)/2 这样就归纳证明了P(A, B)的概率递推公式。 下面总结一下前面

15、得出的结论： (1)边界条件： A=B:P(A, B)1； A与B无相同基因：P(A, B)=0； (2)递推关系： P(A, B)(P(A0, B)+P(A1, B)/2，其中A0和A1是A的父母 有了边界条件和递推关系，以及Family Tree的阶段性和无后效性作为前提，用动态规划解决问题的所有条件都已满足。应该说，从理论上来讲，本题已经完全解决。下面需要讨论的仅仅是实现方法而已。 动态规划的实现方法有两种：一种是逆向的递推，另一种是正向的记忆化搜索（递归）。这两种方法都是可行的，区别仅仅在于，递推需要更多的考虑状态的阶段性，按照阶段计算出所有状态的值；而记忆化搜索只需要承认状态具有阶段

16、性，无需考虑阶段，只需要按照递推式本身设计带记忆化的递归函数即可。 本题给出的仅仅是一棵Family Tree，并没有给出Family Tree的阶段，如果要用递推的话，就必须先给Family Tree分阶段（拓扑排序）。所以，本题显然更适合用记忆化搜索来实现。 另外，需要注意的是，本题所求的答案是有多少精度就输出多少精度。300个节点的图，少说也可以构成几十层的Family Tree，算出的结果至少也有小数点后几十位。所以，高精度是必不可少的（保险起见，可以设置300位的高精度）。 分析一下本题的时间复杂度。动态规划的状态有n2个，转移代价为O(C)（高精度计算的代价）。因此，时间复杂度为为

17、O(Cn2)，n300。 严格的讲，本题的算法不能算动态规划的方法，因为本题不存在最优化，应该仅仅是一个递推。不过，从分析问题的过程来看，它里面包含了很多动态规划的思想，例如，阶段性和无后效性，特别是使用了动态规划的一种实现方法记忆化搜索。8.3 尼克的任务源程序名 lignja.?（pas, c, cpp）可执行文件名 lignja.exe输入文件名 lignja.in输出文件名 lignja.out【问题描述】 尼克每天上班之前都连接上英特网，接收他的上司发来的邮件，这些邮件包含了尼克主管的部门当天要完成的全部任务，每个任务由一个开始时刻与一个持续时间构成。 尼克的一个工作日为N分钟，从第

18、一分钟开始到第N分钟结束。当尼克到达单位后他就开始干活。如果在同一时刻有多个任务需要完戍，尼克可以任选其中的一个来做，而其余的则由他的同事完成，反之如果只有一个任务，则该任务必需由尼克去完成，假如某些任务开始时刻尼克正在工作，则这些任务也由尼克的同事完成。如果某任务于第P分钟开始，持续时间为T分钟，则该任务将在第P+T-1分钟结束。 写一个程序计算尼克应该如何选取任务，才能获得最大的空暇时间。【输入】 输入数据第一行含两个用空格隔开的整数N和K(1N10000，1K10000)，N表示尼克的工作时间，单位为分钟，K表示任务总数。 接下来共有K行，每一行有两个用空格隔开的整数P和T，表示该任务从

19、第P分钟开始，持续时间为T分钟，其中1PN，1P+T-1N。【输出】 输出文件仅一行，包含一个整数，表示尼克可能获得的最大空暇时间。【样例】 lignja.in lignja.out 15 6 4 1 2 1 6 4 11 8 5 8 1 11 5【算法分析】 题目给定的数据规模十分巨大：1K10000。采用穷举方法显然是不合适的。根据求最大的空暇时间这一解题要求，先将K个任务放在一边，以分钟为阶段，设置minutei表示从第i分钟开始到最后一分钟所能获得的最大空暇时间，决定该值的因素主要是从第i分钟起到第n分钟选取哪几个任务，与i分钟以前开始的任务无关。由后往前逐一递推求各阶段的minute

20、值： （1）初始值minuten+1=0 （2）对于minutei，在任务表中若找不到从第i分钟开始做的任务，则minutei比minutei+1多出一分钟的空暇时间；若任务表中有一个或多个从第i分钟开始的任务，这时，如何选定其中的一个任务去做，使所获空暇时间最大，是求解的关键。下面我们举例说明。 设任务表中第i分钟开始的任务有下列3个： 任务K1 P1=i T1=5 任务K2 P2=i T2=8 任务K3 P3=i T3=7 而已经获得的后面的minute值如下： minutei+5=4，minutei+8=5，minutei+7=3 若选任务K1，则从第i分钟到第i+1分钟无空暇。这时从第

21、i分钟开始能获得的空暇时间与第i+5分钟开始获得的空暇时间相同。因为从第i分钟到i+5-1分钟这时段中在做任务K1，无空暇。因此，minutei=minutei+54。 同样，若做任务K2，这时的minutei=minutei+8=5 若做任务K3，这时的minutei=minute1+7=3 显然选任务K2，所得的空暇时间最大。 因此，有下面的状态转移方程： 其中，Tj表示从第i分钟开始的任务所持续的时间。 下面是题目所给样例的minute值的求解。任务编号K123456开始时间P1148811持续时间T2611515时刻I16151413121110987654321minutei0123

22、401234561234选任务号k0000060040003002注：选任务号为该时刻开始做的任务之一，0表示无该时刻开始的任务。 问题所求得最后结果为从第1分钟开始到最后时刻所获最大的空暇时间minute1。 主要算法描述如下： （1）数据结构 var p:array1.10000of integer; 任务开始时间 t:array1.10000of integer; 任务持续时间 minute:array0.10001of integer; 各阶段最大空暇时间 （2）数据读入 readln(n, k); 读入总的工作时间n及任务k 读入k个任务信息 for i:=1 to k do rea

23、dln(pi,ti); 假设任务的开始时间按有小到大排列 （3）递推求minutei j:=k; 从最后一个任务选起 for i:=n downto 1 do begin minutei:=0; if pii then minutei:=1+minutei+1 无任务可选 else while pj=i do 有从i分钟开始的任务 begin if minutei+tjminutei then minutei:=minutei+tj; 求最大空暇时间 j:=j-1; 下一个任务 end; end; （4）输出解 writeln(minute1);8.4 书的复制 源程序名 book.?（pas

24、, c, cpp）可执行文件名 book.exe输入文件名 book.in输出文件名 book.out【问题描述】 现在要把m本有顺序的书分给k给人复制（抄写），每一个人的抄写速度都一样，一本书不允许给两个（或以上）的人抄写，分给每一个人的书，必须是连续的，比如不能把第一、第三、第四本书给同一个人抄写。 现在请你设计一种方案，使得复制时间最短。复制时间为抄写页数最多的人用去的时间。【输入】 第一行两个整数m，k；（km500） 第二行m个整数，第i个整数表示第i本书的页数。【输出】 共k行，每行两个整数，第i行表示第i个人抄写的书的起始编号和终止编号。k行的起始编号应该从小到大排列，如果有多解

25、，则尽可能让前面的人少抄写。【样例】 book.in book.out 9 3 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 8 9【问题分析】 本题可以用动态规划解决，但是动态规划并不是一个聪明的方法，这个后面会提到。不管怎样，我们还是先介绍动态规划的方法。 设f(n, k)为前n本书交由k个人抄写，需要的最短时间，则状态转移方程为 f(n, k)=minmaxf(i, k-1), , i=1, 2, , n-1 状态数为nk，转移代价为O(n)，故时间复杂度为O(n2k)。 不难看出，上述方程满足四边形不等式，所以如果利用四边形不等式的性质，转移代价由平摊分析可得平均为O(1)。因此

26、，时间复杂度可以降为O(nk)。 动态规划求出的仅仅是最优值，如果要输出具体方案，还需根据动态规划计算得到的最优值，做一个贪心设计。具体来说，设最优值为T，那么k个人，每个人抄写最多T页。按顺序将书分配给k人去抄写，从第一个人开始，如果他还能写，就给他；否则第一个人工作分配完毕，开始分配第二个人的工作；以后再是第三个、第四个、直至第k个。一遍贪心结束后，具体的分配方案也就出来了。贪心部分的复杂度是O(n)的。 从前面的分析可以看到，动态规划部分仅仅是求出了一个最优值，具体方案是通过贪心求得的。而动态规划这部分的时间复杂度却是相当之高，所以用动态规划来求最优值是很不合算的。可以看到，当每人抄写的

27、页数T单调增加时，需要的人数单调减少，这就符合了二分法的基本要求。我们可以对T二分枚举，对每个枚举的T，用贪心法既求出需要的人数又求出具体的方案。所以，通过二分就能求得需要人数为k的最小的Tmin和相应的方案了。时间复杂度为O(nlog2c)，c为所有书本的页数和。 从这道题目的解题过程中，我们可以看到动态规划也不是万金油，有时更一般的方法却可以得到更好的结果。8.5 多米诺骨源程序名 dom.?（pas, c, cpp）可执行文件名 dom.exe输入文件名 dom.in输出文件名 dom.out【问题描述】 多米诺骨牌有上下2个方块组成，每个方块中有16个点。现有排成行的n个多米诺骨牌如图

28、8-1所示。 上方块中点数之和记为，下方块中点数之和记为，它们的差为。例如在图8-1中， =6+1+1+1=9， =1+5+3+2=11， =2。每个多米诺骨牌可以旋转180，使得上下两个方块互换位置。 编程用最少的旋转次数使多米诺骨牌上下2行点数之差达到最小。 对于图8-1中的例子，只要将最后一个多米诺骨牌旋转180，可使上下2行点数之差为0。【输入】 输入文件的第一行是一个正整数n(1n1000)，表示多米诺骨牌数。接下来的n行表示n个多米诺骨牌的点数。每行有两个用空格隔开的正整数，表示多米诺骨牌上下方块中的点数a和b，且1a，b6。【输出】 输出文件仅一行，包含一个整数。表示求得的最小旋转次数。【样例】 dom.in dom.out 4 1 6 1 1 5 1 3 1 2【问题分析】 本问题可归约为经典的背包问题。