数列知识点总结与题型归纳总结.docx

1、数列知识点总结与题型归纳总结高三总复习-数列一、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an，在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ； 数列的一般形式：a1, a2, a3, , an , ，简记作 1an?。例：判断下列各组元素能否构成数列(1) a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2) 2010年各省参加高考的考生人数。(2) a.的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。例如：1

2、, 2 , 3 , 4, 52 :1 :an 表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式；_1 门=2k _12 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)n= (kZ);k+1, n=2k3 不是每个数列都有通项公式。例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N .(或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n从1开始依次取值时对应

3、的一系列函数值f(1),f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n，其图象是一群孤立点。例：画出数列an =2n 1的图像.(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1,0, 1,0, 1,0, (4)a, a, a, a, a, 例：已知数列an的前n项和Sn = 2n2 3，求数列an的通项公式练习：1 根据数列前4

4、项，写出它的通项公式:2 数列注中，已知an3 Jn N )(6)8, 88, 888, 8888(1)与出 ai, , a2, a3, an i, an2 ；2（2） 792是否是数列中的项？若是，是第几项?33 （2003京春理14,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。303540455055 606S收堀压 水锦桂11011512012513S 14S訐张压（:水輾桂707375738083 ( )384、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数

5、的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an -an 丄=d(n 一2)或 a. .1 -a* =d(n 一1)。例：等差数列an 2n1， a anj ：题型二、等差数列的通项公式： aa1 - (n -1)d ；说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d=0为常数列，d：0为递减数列。例：1.已知等差数列 an，中，a7飞9=16, a4 =1,则a12等于( )A. 15 B . 30 C .

6、 31 D . 642. an是首项a1 =1，公差d =3的等差数列，如果 a 2005，则序号n等于(A) 667 ( B) 668 (C) 669 (D) 6703. 等差数列an =2n - 1,bn二2n 1，则an为 bn为 (填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中2a + ba , A , b 成等差数列= A 即卩：2an .1 二 an an -2 ( 2an 二 an_m an m )2例：1. (14全国I )设耳是公差为正数的等差数列， 若a1+a2+a3=15 , a1a2a80

7、,则a栢 Ja = ()A. 120 B . 105 c. 90 D . 752. 设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是( )A. 1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：(1) 在等差数列 订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2) 在等差数列:a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3) 在等差数列 1an 中，对任意 m , n N ., aam (n -m)d , d =色一am (m = n);n -m(4) 在等差数列 gn 中，若 m , n , p , q N .且 m n = p q，则 am a

8、ap aq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：sn二n(a1 an)二nar 二丄n2( a-) n。2 2 2 2(Sn = An2 Bn (代B为常数)=乩:堤等差数列)递推公式：(a +an)n (am * an 4m 4) )nSn2 2a7例：1.如果等差数列 a 1 中，a3 “4 心5 =12，那么 a1 +a2 +2. （2015湖南卷文）设Sn是等差数列 的前n项和，已知a2=3 , 11，则S7等于（）A. 13 B . 35 C . 49 D . 633. （2015全国卷I理） 设等差数列:a/?的前n项和为Sn，若5=72,则a2 a4 a9 = 4. （2015

9、重庆文）（2）在等差数列CaJ中，a1 a10，则的值为（ ）（A） 5 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 106.已知等差数列 & 的前n项和为Sn，若S12 = 21,则a2 a5 a8 a“ 口7. （2014全国卷n理）设等差数列laj的前n项和为Sn，若a5=5a3则= S58. （2014全国）已知数列 bn是等差数列,b1=1, b1+b2+bo=100.（I）求数列 bn的通项bn；D.9.已知an，数列是等差数列，a10 =10，其前10项的和S10 =70，则其公差d等于（）C.10. （2015陕西卷文）设等差数列 的前n项和为Sn,若a6二S3 = 12,则务二 1

10、1. （2013全国）设 an为等差数列，S为数列 an的前n项和，已知S?= 7,乐=75, Tn为数列 S n的前n项和，求Tn。12.等差数列，an 的前n项和记为Sn,已知a10 = 30, a20 =50求通项an ；若Sn =242,求n13.在等差数列a*中，(1)已知 S8 = 48,32 = 168,求d ； (2)已知 a6=10,S5=5,求a8和 S ; (3) 已知 a3 a15 - 40,求 7题型六对于一个等差数列:（1）右项数为偶数，设共有2n叽则S偶 S奇=nd ; an ;S 偶 an 1（2）若项数为奇数，设共有2n 1叽则S奇S偶二an二a中；気=门。S

11、偶 n -1题型七对与一个等差数列， Sn,n -Sn,S3n -S2n仍成等差数列。例：1.等差数列&的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60，则前3n项的和为 。3 已知等差数列 a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列 江，的前n项和，S4 =14, S10 -S7 =30,则S9 = 5. -，则鱼=3 S12D.（2015全国II ）设S是等差数列 an的前n项和，若色S6A. 3 B. 1 C10 3题型八.判断或证

12、明一个数列是等差数列的方法:定义法：an1-an = d（常数）（nN Ju f是等差数列中项法：2an 1 =an an 2 (n N ) = 堤等差数列3 通项公式法：an = k n（k,b为常数）=Sn匚是等差数列4 前n项和公式法：Sn =An2 Bn （A, B为常数）=是等差数列例：1.已知数列an满足 an -an4=2，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an的通项为an =2n 5，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn = 2n2 4

13、，则数列an为（)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列2a*的前n项和Sn =2n，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5. 已知一个数列a.满足an 2 - 2an i a 0，则数列a.为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断6. 数列 满足 a1 =8， a4 =2，且 an 2 -2an .1 an = 0 （ n N ”）求数列a ?的通项公式；7. （14天津理，2）设S是数列an的前n项和，且S=n2，则an是（ ）A.等比数列，但不是等差数列

14、B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1） ai 0 , d : 0时，Sn有最大值；ai ： 0 , d 0时，Sn有最小值；2（2） Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数 &二an bn的最值；可用二次函数最值的求法（n EN+）；或者求出laj中的正、负分界项，即:an工0 an兰0若已知an，则Sn最值时n的值（n N .）可如下确定 或兰0 gn比兰0例：1.等差数列 n 中，a1 0, S9 =S12，则前 项的和最大。2 .设等差数列：an?的前n项和为Sn，已知a3 =12, S12 0, S

15、13 ： 01 求出公差d的范围，2 指出S1, S2/ , S12中哪一个值最大，并说明理由。3. （12上海）设 an （n N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且 Sv S, S= SS，则下列结论错误 的是（ ）4 已知数列 的通项n （ nw N *）,则数列a. 的前30项中最大项和最小项分别是 n 2)1例：1. （2015 北京卷）数列an的前 n 项和为 S,且 ai=l, an d Sn, n=1, 2, 3, ，求 a2, a3, a43的值及数列an的通项公式.2. （2015山东卷）已知数列 曲 的首项a1 =5,前n项和为Sn，且Sn Sn 55（门N*），证明数

16、列an 是等比数列.四、求数列通项公式方法(1 )公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 =7,a5 a7 =26 ,求an ；2.已知数列an满足ai = 2, an - an=1(n _ 1)，求数列an的通项公式;3. 数列n满足ai =8, a4=2,且a.书2an卅十a. = 0 ( n)，求数列an的通项公式;4.已知数列an满足ai =2，二 1 =2，求数列?的通项公式; a n+l an1 1设数列an满足a1 =0且 1,1 an+ 1 an6.已知数列an满足an 二2an =1，求数列an的通项公式。an +227.等比数列a

17、n的各项均为正数，且 2ai 3a2 =1，as =9a2a6，求数列an的通项公式8.已知数列an满足ai =2,an =3an4（n _ 1），求数列a.的通项公式;9.已知数列an满足印=2, a? = 4且a2已=an/ （ n乏N*），求数列aj的通项公式;10.已知数列an满足ai =2,且an卅5小=2（务5n）（ n己N用），求数列的通项公式;11.已知数列an满足 a! =2,且 an#+5x：2n4l+2 = 3(an+5x：2n+2) ( n N),求数列 IaJ 的通项公 式；A12.数列已知数列满足a-,a4anJ 1(n 1).则数列an ?的通项公式= 2(2)累

18、加法1、累加法适用于：an an f (n)a2 - a1 二 f (1)玄3 a? = f (2)若 an 1 -an = f (n) (n 一2)，则山 屮an 1 - an = f (n)n两边分别相加得 an 1 -a f (n)k=11 1例：1已知数列an满足a1 , antan 2 ，求数列an的通项公式。2 4n 12.已知数列an满足an d = an 2n 1, a1，求数列a.的通项公式。3.已知数列an满足an d -an - 2 3n 1，ai =3，求数列an的通项公式。4.设数列an满足ai =2，ani -an =3 22n，求数列an的通项公式(3)累乘法适用

19、于： anif( n)anan i a2右 =f (n)，则anai=鮒),色7 (2)，川L = f( n)a2 an两边分别相乘得,n4 1【f(k)ai k =i3.已知 ai = 3， an 13n -13n 2an(n _1)，求 an。例：1.已知数列an满足ani =2(n1)5n务，ai =3，求数列an的通项公式。(4) 待定系数法适用于 an qan f (n)解题基本步骤：1、 确定f(n)2、 设等比数列an 1f( n)1，公比为3、 列出关系式 an1 n 1) v；2an 2f (n)4、 比较系数求1， 25、 解得数列an (n)1的通项公式6、 解得数列匕的

20、通项公式例：1.已知数列an中，ai =1,an =2a“二1( n_2)，求数列的通项公式。2.(2015，重庆，文,14)在数列a中，若ai =1月卅=2an+3(n1)，则该数列的通项a.= 3. (2014.福建.理22.本小题满分14分)已知数列訂满足a1 = 1,an 1 = 2an 1(n，N )求数列 an 1 的通项公式；4.已知数列an满足an 2an 3 5n，a 6，求数列 订鳥的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 =2(an x 5n)5.已知数列an满足an 1 =3an 5 2n 4，a1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1 3(an x

21、2n y)5 1 1 n 16.已知数列和中，a-,an3an（2），求an27.已知数列an满足a. 1 =2an 3n 4n 5,印=1，求数列a*的通项公式。解：设 an .1 x(n 1)2 y(n 1) z = 2(an xn2 yn z)8.已知数列an满足an 2an 4 3心， =1，求数列a,的通项公式。递推公式为an 2 = pan d qan （其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为 an 2 - san t（an d - san）其中s，t满足卢+t =P& = 79.已知数列an满足an 2 =5an 丫6an,印=-1,a2 = 2，求数列an的通项公式。(5 )递推公式中既有Snf S|, n = 1分析：把已知关系通过an= Sn,n_2转化为数列曲或&的递推关系，然后采用相应的方法求解。11. (2015北京卷)数列a的前n项和为S，且ai=1, an 1 Sn, n=1, 2, 3,，求a2, a3, a4的值3及数列an的通项公式.2. (2015山东卷)已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且