卡尔达诺与三次方程全解.docx

1、卡尔达诺与三次方程全解卡尔达诺与三次方程解（1545年）霍拉肖代数的故事毫无疑问，15世纪的最后几十年标志着欧洲的文化骚动。西方文明显然已从中世纪的沉睡中觉醒。1450年，约翰内斯谷登堡发明了活字印刷术，从此，书籍大量流通。博洛尼亚、巴黎、牛津和其他地方的大学成为高等教育和学术活动的中心。在意大利，拉斐尔和米开朗基罗开创了非凡的艺术事业，而他们的前辈列奥纳多达芬奇则成为文艺复兴时期艺术家的杰出代表。不仅仅是知识王国的疆域在扩展。1492年，热那亚人克里斯托弗哥伦布发现了大西洋彼岸的新世界。像其他事情一样，对美洲大陆的发现证明了当代文明的认知能力是能够超越辉煌的古代文明的。15世纪结束时，欧洲无

2、疑正处于出现伟大事变的前夕。数学也是如此。1494年，意大利数学家卢卡帕西奥利（约14451509年）撰写了一部题为算术大全的书。在这部著作中，帕西奥利讨论了当代的标准数学，并重点讨论了一次方程和二次方程的解法。有趣的是，他在方程中用字母co代表未知量，无意中创造了原始的符号代数。co是意大利语cosa（意为“事物”）一词的缩写即求解的事物。虽然100多年以后，代数才有了我们今天这样的符号系统，但算术大全却朝着符号代数方向迈出了一步。然而，帕西奥利对三次方程（即一种形式为ax3+bx2+cx+d=0的方程）的认识却是极其悲观的。他不知道应怎样解一般三次方程，并认为在现时的数学中，求解三次方程，

3、犹如化圆为方一样，是根本不可能的。这种观点，实际上是对意大利数学界的一个挑战，并引出了关于下一个伟大定理的故事，即16世纪意大利代数学家和他们求解三次方程的故事。故事是从博洛尼亚大学的希皮奥内德尔费罗（14651526年）开始的。天才的费罗接受了帕西奥利的挑战，他发现了一个解所谓“缺项三次方程”的公式。所谓缺项三次方程，就是一个没有二次项的三次方程，其表现形式为ax3+cx+d=0。通常，我们习惯于用a去除方程的各项，并将常数项移到方程右边，这样，我们就可以将这一缺项三次方程转变为其标准形式x3+mx=n出于明显的理由，文艺复兴时期的意大利人称这一方程为“立方加未知量等于数字”。虽然费罗只掌握

4、了这种特殊形式的三次方程，但他对代数的推进却意义深远。人们或许会以为他将广为传播自己的成功，但实际上，他却完全不动声色。他对三次方程的解法绝对保密！这种做法在“不发表即发霉”的今天，简直不可思议。为了能够理解费罗这种奇怪的做法，我们必须考虑到文艺复兴时期大学的特性。那时，大学里的学术职位没有安全感可言。除了保护人的庇护和政治方面的影响外，继续任职还取决于能否在任何地点任何时间赢得公开质疑。因而，像费罗这样的数学家就必须随时准备与人进行学术论争，而当众出丑对于一个人的事业来说，可能是灾难性的。因此，一个重要的新发现就是一件有力的武器。如果有一个对手提出一系列求解的问题，费罗就可以用一系列缺项三次

5、方程来应付。即使费罗被他对手的某些问题难住了，他也可以相信，只有他一人掌握的三次方程注定了他那倒霉的对手必然失败。希皮奥内对他的三次方程解法终生保密，直到弥留之际才将其传给了他的学生安东尼奥菲奥尔（约1506？）。虽然菲奥尔的才华比不上他的老师，但他利器在握，不禁心高气傲，于1535年向布雷西亚的著名学者尼科洛丰塔纳（14991557年）提出了挑战。幼年时期一次不幸的灾难伴随了丰塔纳一生。1512年，法国人进攻他的家乡时，一名士兵，手持利剑，在年幼的尼科洛脸上凶残地砍了一刀。据传说，这孩子能够活下来，完全是因为一条狗经常舔他脸上可怕的伤口。虽然狗的唾液挽救了他的性命，但却无法挽救他说话的能力。

6、尼科洛丰塔纳面目全非，以致再也不能清晰发言。于是，塔尔塔利亚（意为“结巴”）便成了他的绰号，而他今日正是以这一残忍的绰号而著称。我们暂且抛开他的残疾不谈，塔尔塔利亚确是一位天才的数学家。实际上，他自称能够解出x3+mx2=n形式的三次方程（即没有一次项的三次方程），但菲奥尔怀疑他是否真找到了这种解法。塔尔塔利亚受到菲奥尔挑战之后，便给菲奥尔寄去30道涉及各种数学问题的问题。而菲奥尔则回敬他30道“缺项三次方程”，使塔尔塔利亚陷于困境。显然，菲奥尔是在孤注一掷，塔尔塔利亚究竟能得0分，还是30分，就取决于他是否发现了解三次方程的秘密。毫不奇怪，塔尔塔利亚开始夜以继日地疯狂研究缺项三次方程。日子一

7、天天过去，他越来越沮丧。眼看最后期限就要到了，终于，1535年2月13日夜，塔尔塔利亚发现了三次方程的解法。他的努力终于得到了回报。他现在可以轻而易举地解出菲奥尔的所有问题，而他的平庸的挑战者则成绩平平。塔尔塔利亚光荣地战胜了对手。作为酬报，倒霉的菲奥尔应以丰盛的酒宴款待塔尔塔利亚30次；但塔尔塔利亚却以一种宽宏的姿态，免却了这一约定。与受到的羞辱相比，省下的钱财对于菲奥尔来说实在微不足道；于是，菲奥尔从此销声匿迹。接着出现的也许是整个数学史中最奇特的人物米兰的杰罗拉莫卡尔达诺（15011576年）。卡尔达诺听说了有关这一挑战的故事后，就想更多地知晓塔尔塔利亚这位三次方程大师奇妙的技巧。卡尔达

8、诺大胆地要求塔尔塔利亚这位布雷西亚学者公开他的秘密，从此，故事发生了意想不到的重大转折。在继续叙述之前，我们先来看一看杰罗拉莫卡尔达诺不平凡的一生。我们有幸在他写于1575年的自传我的一生中读到他第一人称的叙述。这本书充满了卡尔达诺的回忆、怨恨和迷信，还有大量奇闻轶事。虽然在几乎全部自传中，这一本自传是最不可信的，但我们从中却可以窥见他动荡不安的一生。卡尔达诺首先追述了他的先祖。在他的家谱中可能包括教皇切莱斯廷四世，还有他的一个远亲安焦洛。安焦洛在80岁高龄时“才得儿子孩子像他们父亲一样衰弱他的长子活了70岁，我听说他的子女中有些成了伟人。”接着，在我的诞生一章中，卡尔达诺写道：“我听说，虽然

9、用了各种堕胎药，但都无效”，他活下来了，严格地说，只是“从我母亲的子宫里拖出来了”。这种方式使他近于夭折，用温酒洗浴才活了下来。卡尔达诺似乎是一个私生子，这才能解释他何以不受欢迎。伴随而来的耻辱影响了他的一生。由于先天不足，卡尔达诺终生经受疾病的折磨就不足为怪了。在他的自传中，他坦率描述了这些痛苦，常常刻划入微，甚至到了令人厌恶的地步。他告诉我们，他患有严重的心率过速，胸腹部流出液体，还患有脱肛和痔疮，以及一种“排尿过多”的疾病，每天排尿多达100盎斯（约一加仑）。他惧怕登高和前往“据说疯狗出没过的地方”。他多年患有阳萎，直到临近结婚时才痊愈（无疑正是时候）。卡尔达诺常常连续八个夜晚失眠，这种

10、时候，他只能“起床下地，绕着床转圈，一遍又一遍地数数，数到一千。”偶尔不受这些疾病折磨时，卡尔达诺就自己折磨自己。他这样做是因为“我觉得快乐存在于强烈痛苦之后的放松”，而且，当身体上不受痛苦的时候，“精神上的痛苦就必然会来压迫我，没有什么能比这种痛苦更强烈的了”，所以，“我想出了一个办法，用力咬我的嘴唇，拧我的手指，掐我左臂的肌肉，直到疼得流出眼泪为止。”卡尔达诺说，这种自我折磨还算值得，因为一旦停止下来，就会感到非常惬意。然而，身体（和精神）上的疾患还不是他唯一的问题。卡尔达诺在帕多瓦大学以优异成绩完成他医学学业之后，却不能获准在他的家乡米兰行医。究其原因，可能是因为他是人人皆知的私生子，也

11、可能是因为他那讨厌而古怪的个性，但不论什么原因，这在他一生的沉浮中标志着一个低潮。在米兰遭到拒绝，卡尔达诺就转移到帕多瓦附近的一个小镇萨科，在乡间行医，那里不乏田园风光，但多少有些闭塞。在萨科的一天夜里，他梦见了一个身穿白衣的漂亮女人。他很信梦，因此，当有一天，他遇到了一个与他梦中所见完全一样的女人，不免受到极大震动。起初，贫困的卡尔达诺因为不能向她求爱而深感绝望：“如果我，一个穷人，娶一个女人，没有嫁妆，只有一大群弟妹需要供养，那我就完蛋了！我甚至连自己也养活不起！如果我试图诱拐她，或勾引她，周围又会有多少双眼睛在监视我！”但终于，他的爱赢得了婚姻。1531年，他娶了梦中的女人卢西亚班达里妮

12、为妻。这段小插曲表明了梦、先兆和预兆在卡尔达诺的一生中所起的突出作用。他是一位热心的占星术士，一位护身符佩戴者，一位从雷雨中预卜未来的预言家。并且，他还常常感到守护神的存在，他在自传中写道：“据说守护神常常对某些人特别垂青苏格拉底、柏罗丁、辛纳修斯、戴奥、弗莱维厄斯约瑟夫斯，我觉得自己也包括在内。所有这些人，除了苏格拉底和我之外，都生活得非常幸福”显然，他很乐意与他的守护神热烈交谈。卡尔达诺20世纪的传记作家奥伊斯坦奥尔说：“由于这类故事，无怪他的一些同时代人认为他精神不正常。”他的另一个终生爱好是赌博。卡尔达诺经常沉湎于赌博，他常常能赢许多钱，贴补收入。他在自传中以忏悔的心情承认：“我过度沉

13、溺于轮盘赌和掷骰子，我知道，我应该受到最严厉的批评。我染上这两种赌瘾有许多年了；不仅年年赌，而且，我羞愧地承认，是天天赌。”幸好，卡尔达诺将这一恶习提到科学研究的高度。他为此撰写论赌博，死后于1663年出版，这是第一部论及数学概率的重要论文。这样，杰罗拉莫卡尔达诺从1526年至1532年，在萨科生活了许多年，他在那里算命、赌博，并成了家。但是，不论是他的收入，还是他的自尊，都使他不能长期忍受小镇的环境。1532年，卡尔达诺携其妻子卢西亚与儿子詹巴蒂斯塔一道返回米兰，但他仍然被禁止行医，最后不得不依靠贫民院的救济过活。终于，好运降到了他的头上。卡尔达诺开始讲授大众科学，这种讲演特别受到有教养的人

14、和贵族的欢迎。他撰写了许多有趣的论文，论题从医学、宗教到数学，内容极为广泛。特别是1536年，他发表了一篇论文，攻击意大利医生中的腐败和不称职现象。这篇文章无疑得罪了医学界，但却受到公众的欢迎，医学界再不能将卡尔达诺拒之门外。1539年，米兰医师协会勉强接收他为会员，不久，他就赢得了行业的最高声誉。到16世纪中叶，卡尔达诺已成为也许是欧洲最著名和最受欢迎的医生。他曾为教皇治过病，也曾越洋去苏格兰（这在当时是一个漫长而艰难的旅程）为圣安德鲁的大主教治病。但是，好景不长，不久就接连发生了悲剧。1546年，他的妻子去世了，年方31岁，留给卡尔达诺两个儿子、一个女儿。在这些子女中，长子詹巴蒂斯塔是卡尔

15、达诺的希望与欢乐。这个孩子非常聪明，他在帕维亚大学获得了医学学位，子承父业，前途不可限量。但是，灾难像“疯女人”（卡尔达诺语）一般袭来。他写道，1557年12月20日晚，“我正当睡意朦胧之际，床突然抖动起来，继而整个卧室都在震动。”第二天早上，卡尔达诺从询问中得知，全城没有任何其他人感觉到了夜里的震动。卡尔达诺认为这是一个凶兆。他刚一得出这个结论，仆人就带来一个意想不到的消息：詹巴蒂斯塔娶了一个“平庸或没有任何可取之处”的女人为妻。后来证明这果然是一桩不幸的婚姻。詹巴蒂斯塔的妻子生了三个孩子，她自称，没有一个是詹巴蒂斯塔的。她的不贞，乃至不知羞耻，令詹巴蒂斯塔失去了理智。为了报复，他在给妻子的

16、糕点里下了砒霜。砒霜果然有效，而詹巴蒂斯塔自己也以谋杀罪被捕。卡尔达诺凭借他的声望，作了不懈的努力，但一切都无济于事；他的爱子罪名成立，并于1560年4月初被推上断头台。“家门不幸，以此为甚。”极度悲痛的卡尔达诺写道。他心如死灰，失去了他的朋友、事业，甚至生活的兴趣。与此同时，他的另一个儿子阿尔多也成了罪犯，实际上，卡尔达诺“不得不一次又一次地将他送进监狱”。令人心碎的事情似乎一件接着一件。1562年，他离开米兰这座记载着他的成功与不幸的城市，接受了博洛尼亚大学的一个医学教职。陪同他一起的是他的孙子，詹巴蒂斯塔的儿子法齐奥。在他垂暮之年，这位老人与孩子之间也许发展了一种强烈的友爱关系，使他享受

17、到了他自己的子女未能给予他的天伦之乐。但是，年幼的孙子和新城市也未能给他动荡的生活带来宁静。1570年，卡尔达诺以异端罪被捕入狱。当时，意大利教会对宗教改革运动的异端采取了强硬态度，卡尔达诺曾为耶稣占星，并写了一本尼禄颂，记述这位可恨的反基督教的罗马皇帝，教会当然大为不快。监禁和羞辱似乎使年迈的卡尔达诺名誉扫地。然而，一些有名望的朋友们为他讲情，加上教会的宽恕，卡尔达诺不久即被释放出狱，他来到罗马，不知怎么竟得到了教皇颁发的养老金！所谓否极泰来，大约就是这样的了。卡尔达诺恢复名誉后，与他心爱的孙子一道，度过了他的晚年。他在自传中骄傲地写道，虽然他年事已高，但仍有“十四颗好牙和一颗有点儿松动的牙

18、；但我想，这颗牙会存在很长时间，因为它还好用。”卡尔达诺在比较平静的气氛里度过了他的晚年，并于1576年9月20日安祥地死去，结束了他充实的一生。对于现代读者来说，卡尔达诺是一个自相矛盾但却依然十分迷人的人物。他的著述多得令人难以置信，累计达7000页，广泛涉及从科学到其他领域的各种主题。但他虽然一只脚站在现代理性世界，另一只脚却站在中世纪迷信的非理性世界。就在他谢世一百年后，伟大的哲学家兼数学家戈特弗里德威廉莱布尼兹恰当地概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双。”我们现在再回到三次方程的问题，卡尔达诺对解三次方程作出了重大贡献。1535年，布雷西亚的塔尔

19、塔利亚发现了某些类型三次方程的解法，从而战胜了安东尼奥菲奥尔。卡尔达诺极感兴趣，他一次又一次地写信给塔尔塔利亚，请求塔尔塔利亚告诉他三次方程的解法，当然，他一次又一次地遭到拒绝，因为塔尔塔利亚决心趁势写一部解三次方程的书。卡尔达诺起初非常生气，但终于好言好语将塔尔塔利亚请到米兰作客。1539年3月25日，塔尔塔利亚向卡尔达诺公开了他解缺项三次方程的秘密，但他是用密码书写的。卡尔达诺为此庄严宣誓：“谨对着神圣的福音书，以君子的信义向你发誓，如果你把你的发现告诉我，我不仅绝不发表，而且还以我一个真正基督教徒的忠诚保证并发誓也用密码记录，这样，在我死后，就没有人能够读懂这些密码。”现在，这场戏剧中的

20、最后一个人物出现了。这就是年轻的卢多维科费拉里（15221565年），他敲开卡尔达诺的门，要求找一份工作。那天，卡尔达诺听到喜鹊不停地叫，知道是个吉兆，便急忙收下这个孩子为仆。小卢多维科很快显现出是一个绝顶聪慧的神童。他们的关系很快便从主仆关系发展为师生关系，最后，在费拉里不到20岁的时候，他们的关系又转变为伙伴关系。卡尔达诺将塔尔塔利亚的秘密告诉给了他聪明而年青的弟子，两人共同努力，取得了惊人的进展。例如，卡尔达诺发现了如何求解一般三次方程x3+bx2+cx+d=0在这里，系数b、c、d可以是0，也可以不是0。但遗憾的是，卡尔达诺的工作是立足于将一般三次方程化为缺项三次方程，这样就遇到了为塔

21、尔塔利亚保守秘密的问题。与此同时，费拉里也成功地发现了解四次多项式方程的方法。这是代数上的一个重大发现，但它也是依据化四次方程为相关的三次方程的方法，同样也受制于卡尔达诺的誓言而不能发表。他们两人都作出了当时代数学中最大的发现，但却都陷入了困境。后来，1543年，卡尔达诺与费拉里一起来到博洛尼亚，他们仔细查看了希皮奥内德尔费罗的论文。对于费罗来说，这一整个故事早在三十年前就已开始了。他们在论文中看到了费罗亲手写的缺项三次方程的解法。它对卡尔达诺的含义是十分清楚的：他不必再受限制而不能发表这一解法了，因为这是费罗，而不是塔尔塔利亚发现的，他当然可以接受费罗的启示。急切的卡尔达诺才不管费罗与塔尔塔

22、利亚的解法其实完全相同。1545年，卡尔达诺出版了他的数学名作大衍术。对于卡尔达诺来说，代数是一门“伟大的艺术”，而他的著作代表了代数学中一个惊人的突破。大衍术共包括40章，开始几章只讨论了一些简单的代数问题，而在题为“论三次方加一次方等于常数”的第十一章中，最终展现了三次方程的解式。值得注意的是，卡尔达诺为这关键的一章写了如下的序言：“博洛尼亚的希皮奥内费罗在近三十年前便已发现了这一规则，并将其传给了威尼斯的安东尼奥马里亚菲奥尔；而菲奥尔与布雷西亚的尼科洛塔尔塔利亚的竞赛使尼科洛有机会发现了这一解法。后来，塔尔塔利亚应我的恳求，向我公开了他的发现，但保留了对这一解式的证明。在这一帮助下，我发

23、现了（各种）形式的证明。这是极为艰难的。”卡尔达诺在此赞誉了许多人，这种赞誉是公正的。除了塔尔塔利亚以外，人人都感到满意。而塔尔塔利亚则相反，他对卡尔达诺的欺骗和背叛行为大为恼怒。在塔尔塔利亚看来，卡尔达诺违背了他神圣的誓言，他曾以一个“真正基督教徒”的忠诚发誓，但他却是一个不折不扣的恶棍。塔尔塔利亚提笔问罪，但回答他的却不是卡尔达诺（他想凌驾于这场争斗之上），而是顽强忠诚的费拉里。费拉里以其脾气暴躁著称（他曾在一次恶性争斗中失去了几个手指），他激烈地驳回了塔尔塔利亚的指责。一时间，在布雷西亚与米兰之间，火药味十足的信件飞来飞去。例如，在1547年的一封信中，费拉里斥责塔尔塔利亚是一个“整天忙

24、于斤斤计较的人。如果要我报答你，我就给你肚里塞满草根和胡萝卜块，让你一辈子再也咽不下别的东西。”（最后一句话是双关语，暗指在解三次方程问题中随处可见的数学乘方根。）1548年8月10日，塔尔塔利亚与费拉里在米兰的一次公开论战使冲突白热化。塔尔塔利亚后来指责卡尔达诺的缺席，说他“避免在论战中露面”是一种怯懦的表现。但是，这场论战是在费拉里的家门口进行的，最后以客座一方的失败而告结束。塔尔塔利亚埋怨观众的喧闹和偏见，而费拉里则当然把事情的结局归功于他自己的智力。但不管怎么说，塔尔塔利亚败下阵去，而费拉里则大获全胜。数学史家霍华德伊夫斯注意到观众的敌意和费拉里暴躁鲁莽的名声，他说，塔尔塔利亚能够活着

25、逃回去，还算是他的造化。这些就是围绕着三次方程解所发生的故事，激烈、复杂，而又不免荒唐。现在我们所要做的，就是要讨论作为这一奇特故事核心的伟大定理。伟大的定理：三次方程的解现代读者在阅读大衍术第十一章时，会有两点感到意外。其一是卡尔达诺并没有给出解一般三次方程的证明，只列举了一种特殊形式的缺项三次方程，即x36x20我们在以下的讨论中，将采用更一般的形式x3mxn其二是卡尔达诺的论证是一种纯几何式的，涉及真正的立方体及其体积。实际上，我们只要想一想当时代数符号的原始状态和文艺复兴时期数学家对古希腊几何的看重，疑团便会烟消云散。本书用卡尔达诺自己的语言阐述了大衍术第十一章的重要命题，并附上了他对

26、三次方程的巧妙分析。他用文字叙述的解三次方程的“法则”初看非常混乱，但如果用一种更常见的代数方法重新演算一遍，就会发现卡尔达诺的规则是正确无误的。定理 解x3mxn的法则：用x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算式的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半然后，用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其差即为x的值。证明 卡尔达诺设想了一个大立方体，其边AC的长度，我们用t来表示，如图6.1所示。AC边于B点截取线段BC，其长度为u，则线段AB的长度为tu。这里的t和u都是辅助变量，我们必须确定它们的值。如图所示，大

27、立方体可以分为6部分，各部分的体积我们确定如下： 前下角小立方体的体积为u3 后上角较大立方体的体积为(t-u)3 两个垂直板块，一个沿AB向前，另一个沿DE向右，每一个长方体的边长分别为t-u、u和t（大立方体的边长），因而，每一个长方体的体积分别为tu(t-u) 前上角细长的长方体，其体积为u2(t-u) 在后下角，即较大立方体的下面，有一个扁平的立方体，其体积为u(t-u)2显然，大立方体的体积t3等于这6个小立方体的体积之和，即t3u3(t-u)32tu(tu)u2(t-u)u(t-u)2对方程式中的各项做一些整理，即得到(tu)32tu(t-u)u2(t-u)u(t-u)2t3u3从

28、方括号中提取公因数(t-u)，得(t-u)3(t-u)2tuu2u(t-u)t3u3或简化为(t-u)33tu(t-u)t3u3 （*）（现代读者会注意到，这一方程式可以用简单的代数方法直接推导出来，而无需借助于神秘的几何立方体和板块。但1545年的数学家们还不可能采用这种方法。）（*）方程式很容易使我们联想起最初的三次方程式的形式x3mxn。也就是说，如果我们设t-ux，则（*）方程就变为x33tuxt3u3，然后，我们再设3tum和t3u3n现在，如果我们能用原三次方程式中的m和n来确定t和u的值，那么，xt-u就能够推导出我们所求证的定理。但是，大衍术没有推导这些量的值。相反，卡尔达诺直

29、接提出了求解前述“三次方加一次方等于常数”的法则。要明确译解他纯用文字表达的解题方法绝非易事，这就使人更加赏识现代代数公式这种简明而直接的解题方法。卡尔达诺在这一段文字中究竟讲的是什么意思呢？首先，我们来看他对t和u所规定的两个条件，即3tum和t3u3n将方程两边分别乘以t3，经整理后，就得到方程初看似乎并没有什么改进，因为我们把原来x的三次方程变成了t的六次方程。然而，后者却可以看作变量t3的二次方程：而数学家早已掌握二次方程的解法，我们在前一章的后记中也讲到过这一点。现在，我们可以解出这个二次方程：然后，只选取正平方根，我们就得到我们还知道u3t3n，据此，我们得出最后，我们就得到了用代

30、数式表达的卡尔达诺解缺项三次方程x3mxn的法则，即xtu 这一方程式就叫做缺项三次方程的“根式解”或“代数解”。也就是说，这一解式只涉及了原方程的系数（即m和n），而且，代数运算一般也只限于加、减、乘、除和开方。再深入一些的研究表明，这一公式与卡尔达诺用文字阐述的“法则”结果完全相同。卡尔达诺论证中的最精彩之处在于他用相关的（t3的）二次方程解替代了三次方程解，并从而发现了将方程降低“一次”的方法，这样，他就从生疏的三次方程进入了熟悉的二次方程。这一非常巧妙的方法开辟了解四次、五次和更高次方程的道路。例如，卡尔达诺用这种方法解出了他的原型方程x36x20。按照然后，他求出常数项一半（即20的

31、一半）的平方，得100，再加上8，其和为108，求出这个数的平方根。他再用这个平方根加上和减去常数项的当然，我们可以简单地用m6和n20代入有关代数式，就得到显然，这是一个“根式解”。令人感到意外的是，正如卡尔达诺所正确指出的那样，这一貌似复杂的方程式实际上只不过是数字“2”的伪装而已，用计算器不难验证这一点。人们已经看出，x2确是x36x20的解。有关解方程的其他问题我们注意到，在知道了三次方程的一种解法后，就可以据此去发现一些其他类型的解法。例如，因为x2是上述方程的解，而且，我们知道x-2是x36x-20的一个因式，经过长除后，就可以得到另一个二次方的因式。因而，x36x-20(x2)(x22x10)。这样，解原三次方程的问题就变成了解一次方程和二次方程x20和x22x100这样简单的问题。（因为此二次方程无实数解，所以，原三次方程只有一个实数解x2。）对于现代读者来说，