因式分解难题举例.docx

1、因式分解难题举例因式分解难题举例一、巧用公式法1、 分解因式：a3+b3+c33abc解 原式=(a+b)33ab(a+b)+c33abc =(a+b)3+c33ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2c(a+b)+c23ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)说明 公式a3+b3+c33ab=(a+b)33ab(a+b)+c33abc c是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式其变形为a3+b3+c33abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c33abc0，即a3+b3+c33

2、abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论2、 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式anbn来分解解 因为x161=(x1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以二、拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项

3、或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式：x39x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成1+9原式=x39x1+9=(x31)9x+9=(x1)(x2+x+1)9(x1)=(x1)(x2+x8)解法2 将一次项9x拆成x8x原式=x3x8x+8=(x3x)+(8x+8)=x(x+1)(x1)8(x1)=(x1)(x2+x8)解法3 将三次项x3拆成9x38x3原式=9x38x39x+8=(9x39x)+(8x3+8)=

4、9x(x+1)(x1)8(x1)(x2+x+1)=(x1)(x2+x8)解法4 添加两项x2+x2原式=x39x+8=x3x2+x29x+8=x2(x1)+(x8)(x1)=(x1)(x2+x8)例5 分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+1练习设置1. 若a+b=3,a2b+ab2=30,则a3+b3 的值是（ ）（A）117 （B）133 （C）90 （D）1432. 已知，那么等于_3. 把代数式分解成因式的乘积，应当是 。4. 5分解因式三、换元法换元法指的是将一个较复杂的代

5、数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12例2 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例3 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例4 分解因式：6x4

6、+7x336x27x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x21)36x2=6(x42x2+1)+2x2+7x(x21)36x2=6(x21)2+2x2+7x(x21)36x2=6(x21)2+7x(x21)24x2=2(x21)3x3(x21)+8x=(2x23x2)(3x2+8x3)=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)说明 本解法实际上是将x21看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法2 原式=x26(t2+2)+7t36=x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8)=x22(x1/x)33(x1/x)+8=(2x23x2

7、)(3x2+8x3)=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)例5 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式解 原式=(x+y)2xy24xy(x+y)22xy令x+y=u，xy=v，则原式=(u2v)24v(u22v)=u46u2v+9v2=(u23v)2=(x2+2xy+y23xy)2=(x2xy+y2)2四、双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

8、)，我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x27xy22y25x+35y3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2(5+7y)x(22y235y+3)，可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即22y2+35y3=(2y3)(11y+1) 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=x+(2y3)2x+(11y+1)=(x+2y3)(2x11y+1)上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x11y)=2x27x

9、y22y2；(x3)(2x+1)=2x25x3；(2y3)(11y+1)=22y2+35y3这就是所谓的双十字相乘法用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx例6 分解因式：(1)x23xy10y2+x+9y2；(2)x2y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+xy2；(4)6x27xy3y2xz+7yz2z2解(3)原式中缺x2项

10、，可把这一项的系数看成0来分解原式=(y+1)(x+y2)(4)原式=(2x3y+z)(3x+y2z)说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似1.当m=时，二元二次六项式可以分解为两个关于x,y的二元一次三项式的乘积。2.分解因式： 3.分解因式： 4.分解因式： 五、求根法 我们把形如anxn+an1xn1+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，等记号表示，如f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f(1)=1231+2=0；f(2)=(2)23(2)+2=12若f

11、(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根例1 分解因式：x34x2+6x4例2 分解因式：9x43x3+7x23x2六、待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3

12、例4 分解因式：x42x327x244x+7练习（1）一、选择题1. 下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）。（A）(x+1)(x1)=x21 (B)(ab)(mn)=(ba)(nm) (C)abab+1=(a1)(b1) (D)m22m3=m(m2)2. x=0,y=4,是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有（ ）组。（A）2 (B)6 (C) 12 (D)163. 当x=6，y=8时，的值是（ ） （A）1200000254000 （B）1020000250400（C）1200000250400 （D）10200002540004. 把多

13、项式x2y22x4y3因此分解之和，正确的结果是（ ）。(A)(x+y+3)(xy1) (B)(x+y1)(xy+3) (C)(x+y3)(xy+1) (D)(x+y+1)(xy3)5. 已知a3+a2+a+1=0,那么a2008+2a2000+5a1996的值是（）。（A）8（B）4（C）6（D）166. 将多项式分解成因式的积，结果是（ ）。 （A） （B） （C） （D）二、填空题1. 已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是_。2. 已知3x2+4x7=0,则6x4+11x37x23x7=_ 。3. 分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3=_。4. 已知，那

14、么 。5. 多项式18a38ab2+27a2c12b2c分解因式积的形式是_。6. 分解因式：的结果是 。7. 分解因式：(a+b2x)3(ax)3(bx)3的 结果等于_三、解答题1. 分解因式：x2y2+xyx2y2+x+y+22. 分解因式3. 计算 练习（2）一、选择题1. 已知多项式x2+mx12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数m的个数是（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）62. 在方程组中，x、y、z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（ ）。（A）6 （B）3 （C）多于6 （D）少于33. 如果x、y都是小于的自然数，则满足x21992=y2的数组

15、（x,y）共有（）组。（） （）（）（）4. 下列给出5个恒等变形式： 其中属于因式分解的（ ）。（A）都是 （B）仅、（C）仅、 （D）仅、二、填空题1. 因式分解： _.2.分解因式： =_。3. 因式分解：(a+b2ab)(a+b2)+(1ab)2=_4. 已知，那么_5. 因式分解：。6. 若x,y均是自然数，且x2=y2+1997,则x=_7. 将分解因式，其结果是_三、解答题1. 因式分解2.分解因式： 练习（3）一、选择题1. 如果(x4)(xa)1能够等于乘积(x+m)(x+n)(m,n均为整数)，那么a的值等于（ ）。（A）2 （B）4 （C）6 （D）82. 若x,y均为自然数，且x2=y2+1993.则 x 的值是（ ）（A）994 （B）995 （C）996 （D）997二、填空题3. 已知（x+2y1）是二元二次式3x2+axy+by2+x+9y4的一个因式，则a=_,b=_。4. 若，则 。5. 分解因式：2x25xy3y2+3x+5y2=_6. 因式分解：x4+2x2x+2_。7. 已知x2+2x+5是x4+ax2+b的因式，那么a+b的值是_。8. 若(xa)(xb)k中含有因式x+b,则k=_三、解答题1.分解因式2.分解因式3.因式分解