当数学遇见文化.docx

1、当数学遇见文化當數學遇見文化 書名：當數學遇見文化作者：洪萬生、英家銘、蘇意雯、蘇惠玉、楊瓊如、劉柏宏共同著作班級：1年25班姓名：江泓座號：4號結構圖：前言： 世界上有很多東西都是和產生時的背景息息相關，如果不了解那時的歷史背景、產生文化，就可能失去很多有趣的訊息(如積分符號)。這一本當數學遇見文化依時間排序，介紹從古埃及時代到20世紀、從西方到遠東的日本，在不同的時代背景下產生的不同數學文化。即使有些已被更有效的方法取代，有些已經失傳或成為常識，我們仍然可以藉由此書，感受當時的時代潮流，及當初它們被數學家發明或證明時的努力。 國中小的國文課，我也被訓練了一些寫作技巧，但與諸位前輩相比，依舊

2、是幼稚得可笑。這一篇心得報告參考了一些學長的寫作架構及寫作技巧，期望藉這篇報告訓練自己的寫作技巧及表達能力，更藉由閱讀書籍的過程中充實自己的內涵、了解自己的能力。 各章節主要內容及心得：引號中以標楷體顯示的文字是引用書中內容，引號外的標楷體文字及圖形表示引用自網路。古埃及文化中的數學 英家銘 古埃及算數中，有一種非常獨特的系統，就是基於加倍與折半計算的乘除法。這種系統進行乘除法運算時，所需的先備知識只有加法與兩倍乘法表。很明顯的，兩倍乘法表只需要加法即可製出。所以他們幾乎只需要用加法就可以進行乘除法。書中所講的這種乘除法是古埃及數學的特色，它可以把乘除法計算降為一般的加法計算，所花費的是時間較

3、長而已。而他們之所以可以這樣做的原因，大概正如書中所引述：任何整數都可表示成2的乘冪之和因為有2的零次方等於1的存在。基於他們使用的運算方法，我認為他們已經知道次方的意義。 當遇到不能整除的計算時，古埃及算數的另一項特徵單位分數就開始出現。他們的分數不能表示成像3/5的形式，只能寫成1/n，n為自然數的形式，而且多個單位分數相加表示某個分數時，分母必須用不同的自然數。從當時的歷史背景，那個時代沒有負數的存在，有沒有減法就不知道了。但是像書上寫的我們是戴著現代數學的眼鏡去看他們的數學，他們可能甚至認為減法是沒有存在的必要的。 從古埃及出土的六份莎草紙文書中，有一份開頭就是將2/n寫成多個單位分數

4、的和，代表他們的數學中只有正整數和正分數的存在。但是他們的方法真的可以表示所有正分數嗎？書中沒有解答。他們不一定會將無法解決的問題(例如：2/95175=？)留在文件上流傳下來，而莎草紙容易毀損，且現在只出土了六份文件，古埃及的數學文化我們知道的可能只是其中極小的一部分。但是他們既然有辦法製作2/97=1/56+1/679+1/776這種等事，想必計算能力極為驚人。要不是古埃及利用以物易物的方式交易，恐怕沒有辦法出現這種強大的計算能力。 他們不只計算能力驚人，追求公平的態度也很驚人。舉一個書中的例子：【亞美斯紙莎草文書】中的前六個問題就是實際的食物分配問題，計算如何將n條麵包分給十個人。以現在

5、的作法，我們會算出一個人應該得多少後著手分配。如果是6條麵包，每人3/5條，我們便將麵包切下3/5條分給其中六人，剩下的交給另外四人平均分配。但古埃及人不是。他們不但要每人一樣多，每人切的次數也要一樣多。根據計算結果每人分到1/2+1/10條，於是他們把每條切成10等份每人拿六份，這種方法根本是不必要的。其實我很想知道每年尼羅河氾濫後土地的分配方法，他們大概都是移形與補形的專家。 古埃及的數學成就的巔峰莫過於金字塔。金字塔不但見證了古王國的榮耀，也是古埃及幾何學的代表作品。他們依照星座決定金字塔的方向和位置；金字塔全都在尼羅河西岸，因為那是通往來生的方向。金字塔從四面看起來都得是平平的三角形，

6、為了這個要求，埃及人有不同於現代數學的斜率。他們必須知道每增加一個石塊的高度需要將石塊往內推進多少，甚至還知道如何計算其體積。 如果有人對你說，一座截頂方錐的高為6單位，下底4單位，上底六單位，用4計算，平方，結果是16。用4加倍，結果8。用2計算，平方，結果4。將16+4+8，結果28。算6的1/3，結果2。算28兩次，結果56。你正確的計算出來了。在另一份文書中，以類似詩歌的方式記載了以上例題，數學家應該很高興埃及人文書沒有像中國人那樣的恐怖。雖然沒有給出計算公式，但是可以在另外的例題將數字帶入其中的計算方式。他們甚至可能不是用代數算(很久以後代數還被視為一種技巧)他們的文明在數學上的成就

7、是跟金字塔一樣輝煌的。古希臘文化中的數學 英家銘 以畢氏學派為例 亞里斯多德說人的天性中有求知的慾望。這句話告訴了我們古希臘人對知識本身的熱愛。顯然，古希臘人對知識本身的熱愛，讓他們發展出非常獨特的文化。那麼，我們可以知道，對於知識的熱愛正是古希臘擁有像畢氏學派及歐氏幾合這些影響後代甚遠的數學的主因。 畢氏學派在事物本質尋找數的存在與規律的過程中，帶給世人許多數學知識，也形成他們的宇宙觀。他們認為，數是形成宇宙的要素，所有的事物都含有數的成分，是實體的最根本。因此萬事萬物都可以表示成數目的比大概最能代表畢氏學派的宇宙觀了。這一段話和道耳吞的原子說有點類似，所不同的是原子變成了可用比例表示的數(

8、有理數)我想這樣也能說明為什麼當初找出無理數的人會被淹死，原因則跟哥白尼不敢發表地動說相同威脅社會主流意識形態。 由於畢氏學派這樣的信仰，使得他們努力研究數論這門學問。徒刑數是他們早期努力研究的主題之一，與畢氏定理相同，能將數與幾何關連起來。畢氏定理a2 + b2 = c2這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)最著名的發現：畢氏定理(Pythagoras Theorem，即所謂的商高定理、勾股定理)。本定理說明了直角三角形三邊的關係：斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。證明畢氏定理的方法很多，共有數百種，其中不乏運用到高深數學知識與特別的技巧，但仍有不少証明是根據其圖形的意義，直接分割

9、面積而得到証明。【圖一】【圖二】【圖三】【圖四】【圖五】(參考自http:/elearning.ice.ntnu.edu.tw/KM/Data/Teacher/744/Data/ebook/228/ebookdata/page/%B2%A6%A4%F3%A9w%B2z/page.htm)我覺得其實畢氏學派很多行為都是想要證明自己所認為的宇宙觀，即事物本質中蘊含有數目及比例所以才會有圖形數得出現。只不過這樣也促進了所謂不可公度量的無理數的發現吧！對畢達哥拉斯而言，數學之美在於有理數能解釋一切自然現象。這種的哲學觀使畢氏對無理數的存在視而不見，甚至導致一個學生被他處死。這位學生名叫希帕索斯，出於無

10、聊，他試圖找出根號2(以1為股的等腰直角三角形之斜邊)的等價分數，最終他認識到根本不存在這個分數，也就是說根號2是無理數，希帕索斯對這發現，喜出望外，但是他的老師畢氏卻不悅。因為畢氏已經用有理數解釋了天地萬物，無理數的存在會引起對他信念的懷疑。希帕索斯經洞察力獲致的成果一定經過了一段時間的討論和深思熟慮，畢氏本應接受這新數源。然而，畢氏始終不願承認自己的錯誤，卻又無法經由邏輯推理推翻希帕索斯的論證。使他終身蒙羞的是，他竟然判決將希帕索斯淹死。這是希臘數學的最大悲劇，只有在他死後無理數才得以安全的被討論著。後來，歐幾里德以反證法證明根號2是無理數。(引用自http:/residence.educ

11、ities.edu.tw/sanchiang/h5.htm)當畢達哥拉斯証明畢氏定理時，也許有隨意代數字進去計算，那將無可避免地出現根式。也許那個時候他沒有說明原因(他不敢或他認為已經用有裡數解釋萬物，根式應該也能解決)學生也沒問(把自己學生淹死的老師誰敢發問？)但是這已經跟開頭那句話有了衝突(人的天性中有求知的慾望。)無疑地，無理數動搖了畢氏學派的基礎。 我們可能無法想像，如果有人能用我們接受的方式證明我們心目中的神是不存在的，這對我們會是多麼大的打擊。也許我們會把它當成不可外揚的家醜，不擇手段地試圖掩飾它；又或許我們會嘗試尋找新的解釋來包容它，甚至將它發揚光大。無論如何，這對任何一個民族都

12、不是簡單的事。畢氏的沒落，也許是因為試圖掩飾的心態；柏拉圖學派的興起，也有可能是因為它提出處理無理數的方法。無論如何，畢氏的宇宙觀對後世影響甚遠。因歐幾里得將不可公度量局限於幾何圖形，古希臘人依然以非比這種帶有排斥性的詞形容無理數，甚至排斥所有自然數以外的數(為何正整數被稱為自然數？是不是因為古人認為只有正整數才是自然的數？)負數、虛數及其計算都在被發表時遭受困難。從歷史、文化中看數學，我們也跟體會所謂歷史的教訓，這或許是作者沒有寫出來的地方。數學與音樂的對話 劉柏宏 劉淑如 從古希臘到文藝復興 流傳至今世界上最古老、最具系統性的音階理論，是由古希臘哲學家兼數學家畢達哥拉斯所創建。她發現打鐵用

13、之鐵鎚的重量比分別為1：9：8：69和8的乘積和12根6得成績相等，9和8又分別為12和6的算數平均數和調合平均數，和畢氏學派萬物皆數的信念吻合。畢氏發現當彈播弦長為簡單整數比的兩弦時會產生和諧音階，12：62：1是所謂八度音程；12：83：2是所謂五度音程；12：94：3就是所謂四度音程如此，便得到所謂的畢氏音階。一開始看到的時候我很驚訝，沒想到畢達哥拉斯竟然還和音樂有所聯繫，而且訂出了最古老的音階，甚至親手利用單弦情做實驗。只不過不只是他的畢氏音階，連後人改良過的純律音階都無法達成平順轉調的目標，雖然他以單弦琴做的實驗是可以達成的，這對他來說應該至死前都是一個缺憾。假設我們從C調開始不斷上

14、升五度音，在理論上產生的音階，應該涵蓋所有的音階，而且到了另一個C調時，應該是比原來高數個八度的C調，這樣就可以形成一個完美的五度音樂圓。永遠有一個小缺口存在，因此形成一個五度音樂螺旋，而非五度音樂圓其實這個道理很簡單，只是畢氏不願意去想而已。因為如果要達成平順轉調的目標，每兩階之間的比例是所謂的不可公度量，這個問題一千年後也沒有被解決。而且畢氏可能不願意為了要平順轉調犧牲簡單整數比(或是他希望同時達成？)無論如何，在很久以後，事情才獲得解決。 14世紀義大利的世俗歌曲以方言為主，且盛行以詩入歌。意須人文主義學者如但丁、佩脫拉克、薄伽秋等人的文學作品經常被譜成歌曲畢氏音階或純律音階再也無法滿足

15、作曲家的需要。因為需要，所以存在。當世界需要一種新的音階時，就會有人去研究、去創造，然而因為堅持簡單整數比一直沒有成功。兩百年後的16世紀，開始出現了對於簡單整數比的懷疑與猶豫(我個人覺得早該有這種聲音了，只是一直沒人敢講，因為中古西歐是基督教的時代，而神是很專致且龜毛的。聽過聖經上耶穌毀滅了一座城然後將回頭看最後一眼的居民變成石像的故事嗎？我相信耶穌絕對是贊成簡單整數比的。)有人可能對於吟唱時的音成，究竟必須依據真實的比例，或是我先前所展示的調率有所疑問。我的回答是吟唱時根據前者，演奏時則根據後者當我們一邊演奏一邊吟唱時，和諧共鳴的真實形式只是淺在地存在，並無真正運作。而他們想創造一個可和諧

16、共鳴的音階。 伽利略得知亞理斯多德的一位學生曾提出12平均律的觀念。將2：1的弦長分成若干等比例的部分，以便能順利的轉調。藉由現代數學的眼鏡，我們知道那個比例應該是2的12次方根，但是做圖上很困難 ，要製造出來更是難如登天。那位伽利略老兄(伽利略奧伽利略的父親)以試誤的方式，建立起12平均律的模型。那個過程想必是要花好幾年的時間的。 人文主義之父佩脫拉克曾說：我只是個凡人，我只追求凡人的幸福。 平順轉調如果是屬於人的幸福，簡單整數比應該就是神的完美。在千年來的進步中，音樂擺脫了完美，建立了和諧。藝術或許本來就是最需要和諧的，追求完美的藝術便不易被接受。畢達哥拉斯或許知道這個道理，但他不願接受，

17、在最後仍皆持理想，是該令人佩服的。 西方文化中的歐幾里得 英家銘 證明題是國中生的噩夢，過程繁複而機械化，結論重複而無新意。但是在很久很久以前，今日的常識是古人以最嚴謹的證明方式及過程，經過最嚴格的邏輯判定而來的。大多數是由希臘化時代的歐幾里得及歐式幾何學派所証。但是在那之前，有專屬於那個時代的背景。 從第一位有紀錄的自然哲學家開始，古希臘人開始嘗試尋找在自然表象背後的統一理性解釋。他們對於幾和想法背後統一性的追尋，使得他們去探索邏輯方法，讓他們能從某些眾所皆知的幾何敘述推導出其他敘述。書中的例子是以所有平角皆相等推導出對頂角相等。與此類似的許多行動成為他們生活的重心。而在這個過程中，是需要具

18、有強大說服力的事物佐證的。 西元前4世紀，希臘人累積了很多關於幾何與數論的知識。畢氏學派有自己的發現，其他學派有自己的發現，但卻是建立在自己的假設而不是建立在全希臘認定的假設或是亙古不變的真理上。這代表雖然然數學的版圖很大，彼此間卻沒有有強而有力且顯而易見的連結。假如沒有人出手統整，整塊版圖勢必分崩離析。這時，歐幾里得出手了。他重新整理過去的成果將其建立在統一的基礎上，並延伸開展。 邏輯系統必須建立在幾個我們認為理所當然的假設上。所以在給出23個名詞定義後，歐幾里得提出咯10點基本假設，並嘗試利用其及精心設計的證明推導出其餘幾何知識。1. 等於相同量的量彼此相等。2. 等量加等量，其和仍相等。

19、3. 等量檢等量，其差仍相等。4. 彼此能重合的物體是相等的(例：三角形全等)5. 全體大於部分。6. 兩點可決定一直線。7. 直線可繼續延長。8. 有圓心及半徑可決定一圓。9. 直角都相等。10. 同側內角互補則兩直線不相交。歐幾里得以此建造整個平面幾合的理論。歐幾里得的幾何原本中整個統整過的幾何學成為後代幾何學的基礎(如果沒有歐幾里得，會有人這樣做嗎？) 然而，我們的國中教育似乎只教導了幾何的內容，跟古代人比起來，缺少了探索幾何的精神。我們國中的考試對於證明題這一塊，完全是課本怎麼寫考試就怎麼寫，及少出現課本外的題目，以及要我們自行探索的區塊，這是十分令我感到遺憾的。對於某些學生來說，數學

20、是填充考試總分的工具；對於某些補習班老師來講，數學似乎是斂財的工具，甚至有些受過高等教育的公眾人物，講出來的話、表現的行為完全沒有邏輯性！歐氏寫幾何原本是為了將數學建立在統一的邏輯系統上，邏輯穩固了，數學才能開枝散葉。教育不該只教導幾合的內容，更應該教導幾何的精神。幾合的內容有人出了社會鮮少用到，幾何被後的邏輯精神一輩子都得用到。劉徽的墓碑怎麼刻 洪萬生 他顯然藉此提醒數學家，最好生前自己刻墓碑，免得像高斯的正十七邊形，由於石匠的力有不逮，雕出了一個既不像原，也不像正多邊形的圖形，而壞了一世英名。看到這一段讓我很想看看高斯的墓碑到底被刻成什麼樣子，於是上網自己找圖片，但是一直找不到。不過他的墓

21、碑畢竟還是接近正十七邊形。書中提到的另一個倒楣鬼是Jacob Bernoulli(瑞士籍)，他的對數螺線被雕成了同心圓再加上一句I shall arise the same though changed.我想石匠雖然不需要懂數學，至少應該去找一張對數螺線的圖照著描。 比較幸運的科學家，大概是偉大的統計力學大師波曼。他的墓碑上豎立了他的雕像，連同他那偉大的公式 S=klogW公式自然是比圖形容易刻上去的，但這不能做石匠把圖形刻得亂七八糟的藉口。或許在遙遠的古希臘，石匠也必須精通幾何學。 中國古代的偉大數學家不多，生前大概都不能選擇自己的墓碑要刻上什麼，連本章主角劉徽第三世紀世界偉大的數學家都不能

22、倖免。那劉徽的墓碑上應該刻些什麼才好，石匠刻得出來嗎？ 劉徽是中國為進時期的數學家，史書有關他的生涯，只有魏陳留王景元四年，劉徽注【九章】一句話交代。顯然(也是我們早就知道的)中國對於傑出的數學家及科學家並不重視，如他沒有注九章算經，史書上有沒有他的位置都還不知道。然而官方不重視，中國民間卻是有人重視的。王孝通在他的書中盛讚劉徽注九章的博綜纖引與思極毫芒，亦即綜合與解析能力兼備 那麼，劉徽為何要注九章？他為何能注九章？九章為算經之首，蓋猶儒者之六經照我的了解，中國古代貴古賤今，隨意注解古人想法會遭天打雷劈，永不超生。他沒有被天打雷劈，是他注得很好？成書於公元前一世紀的九章算術是我國最重要的數學

23、經典之一， 它集先秦到 西漢數學知識之大成，集中體現了當時中國數學領域的 最高發展水平。全書以計算為中心，基本上採取算法統率應用問題 的形式。它的許多成就居世界領先地位， 對中國後世的數學發展和數學教育產生了深遠的影響，奠定了此後中國數學居世界前列千餘 年的基礎。九章算術成書後，注家峰起，並有諸多創造。魏晉 時 期數學泰斗劉徽的九章算術注貢獻最大，影響深遠。九章及其歷代注釋 者在數學教育領域，內有許多值得我們學習的重要內容和見解。一般地說，九章非當時的一本數學啟蒙教育著作，其內容遠遠超過了今天小學六年的教學要求。九章粟米中的今有術，是完整的比例算法：已知所有數、所 有率和所求率， 則 所求數

24、= 所有數所求率所有率 這個方法傳到印度和西方，叫做 三率法 (rule of three)。在九 章中，今有術所屬例題都是粟米互換問題。比如，己知 粟率50， 糠米率30，今有粟一斗，欲為糠米，問得幾何？ 這裡1斗是所有數， 50和30分別是所有率和所求率，按今有術，得糠米：10升3050 = 6升。這個 問題就是現在小學課本中的比例問題，按現在的解法是： 設所求的米為x升，則 有比例式 50：10 = 30：x，所以x = (1030)50，即x = 6 。九章商功章已有許多立體體積計算的術，如方柱、方 錐，圓柱、圓錐等等 都給出了體積公式，劉徽採用了 勾股術、 出入相補、損廣補狹等多種思

25、想 和方法給予解釋和証明，充分體 現了古中國數學家處理幾何問題的風格和特點。(引用自http:/www5.chhs.tp.edu.tw/teacher/083/mathweb/others/nine.htm)看起來劉徽注得比其他所有數學家都要好，那他是如何注的？書中給出了幾句話：劉徽在他自己的注序中指出：徽幼習九章，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算數之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注至於做注的理由根據，乃是由於：是類相推，各有所歸，故枝條雖分而同本幹知，發其一端而已於是，他便採取了以下的進路：析辭以理，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣！事實上，這三段古文很

26、難讓人讀得明白，我現在也只明白一部份而已，重要的事，從這三段古文基礎，作者認為劉徽有能力注九章。 劉徽在注的過程中論正了面積公式、體積公式、勾股形，結合無限小分割法(微分？)證明了圓面積公式。在中國古代的數學家之中，他的貢獻應該是位居首位的。但是，他無以證明弓形面積公式和球體體積公式。今有弧田，弦三十步，矢十五步，問為田幾何？答曰：337平方步術曰；以弦乘矢，矢又自乘，併之，二而一由於劉徽也不知此一面積的正確公式，他只提供更精密的逼近方式：宜依勾股鋸圓材之術，以弧弦為鋸道長，以矢為鋸深，而求其徑。既知圓徑，則圓可割分也，半弧田之弦以為股，其矢為勾，為之求弦，即小弧之弦也。以減半徑，其餘則小弦之

27、矢也。割之又割，使之極細，但舉弦、矢相成之樹，則必近密率以。原來中國在三世紀時已經有人可以掌握割之又割，使之極細的無窮與無限小觀念了，似乎比西方微積分的發明早了不只一千年(中國有多少東西都是一樣比西方早發現，成就卻都遠遜西方？原因是不是因為當官、尋求富貴、滿足需求的方式太早被制定而且太制式化，使得能接受教育的人都去考科舉，沒有時間和精力研究科學？)。 有一件事是很巧合的，東方的劉徽與西方的阿基米德都想到了牟合方蓋，其體積是外切正立方體的2/3與內接球體的4/，但是兩人都未及證明。但是劉徽找到的原因是為了找出球體積公式而額外發現得(有多少東西是同樣的被發現？)後來證明球體積公式及沿用劉徽割圓數計

28、算出的祖沖之在現在的中學生中應該是比劉徽知名的人物，那應該是教育重視結論輕視過程、教簡單的不介紹困難的，或是只看到樹木的果實而忽略供給養分的根及土壤？ 那麼，劉徽的墓碑上應該刻上什麼？作者覺得他會樂意仿照阿基米德的墓碑圓柱體內切球體及圓錐體而刻上正立方體內切牟合方蓋形和球體。但是千年後西方的石匠連正十七邊形也刻得四不像、對數螺線刻成同心圓，我實在不認為魏晉時中國的石匠能刻出這種圖形(而且我們看到還要能解讀？)如果劉徽有高斯的個性，他絕對不會希望墓碑上出現的是他終其一生無法完成的證明，他會希望出現的是世人皆知的偉大成就(就像高斯的正十七邊形)，他要的可能只是劉徽，證明圓面積公式，注九章算經寥寥數

29、字而已！求一與占卜 楊瓊如 中國剩餘定理的歷史場景 今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？答曰：23數曰：三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。併之得二百三十三。以二百一時減之，即得。國中有時候會出現如上題目，我們只能慢慢的代數字進去算，雖然可以限定在某幾個特殊的數，仍需花費不短的時間。看了這一章才知道，原來是有方法速算的！ 無獨有偶，西方的義大利也有出現相同的題目，而且使用的解法如出一轍。讓人在覺得巧合之餘也不禁想到，是否有某種關係將這兩個不同時代也不同地點的數學進行連結？而中國發展出了一套對於這種問題求解的方法中國剩餘定理及大

30、衍求一術。在中國古代著名數學著作孫子算經中，有一道題目叫做物不知數，原文如下：有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？即，一個整數除以三餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。中國數學家秦九韶於1247年做出了完整的解答，口訣如下三人同行七十希，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五便得知這個解法實際上是，首先利用秦九韶發明的大衍求一術求出5和7的最小公倍數35的倍數中除以3餘數為1的最小一個70（這個稱爲35相對於3的數論倒數），3和7的最小公倍數21相對於5的數論倒數21，3和5的最小公倍數15相對於7的數論倒數15。然後233便是可能的解之一。它加減3、5、

31、7的最小公倍數105的若干倍仍然是解，因此最小的解為233除以105的餘數23。(轉自http:/zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%B8%AD%E5%9C%8B%E5%89%A9%E9%A4%98%E5%AE%9A%E7%90%86) 中國剩餘定理的公式牽涉到同餘觀念，及使aK同餘1(mod b)的算式。而秦九韶給了一個上式的解法：置奇右上，定居左下，立天元一於左上。先以右上除右下，所得商數與左上一相生，入左下。然後乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數隨即遞互累乘，歸左行上下。須使右上末後奇一而止，乃驗左上所得，以為乘率。中國的數學沒有符號，古文又難以理解，所以往往看懂題目本身比解決題目更加困難。如果沒有作者在下面舉例，真沒人看得懂秦九韶在寫什麼。以書中K*20同餘1(mod 27)為例：1 20 1 20 3 6 3 6 23 11 27 1 7 1 7 4 1 4 127=1*20+7 20=2*7+6 7=1*6+1 6=5*1+1 1*1+0=1 2*1+1=3 1*3+1=4 5*4+3=23 K=23而如果以此法，甚至能寫出模數不為整數的解。 中國剩餘定理，是因為有其需要而出現；秦九韶的大衍求一術，補足了它的計算困難之處。這讓我們知道事物的出現