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1、柯西施瓦茨不等式的应用及推广柯西施瓦茨不等式的应用及推广 柯西施瓦茨不等式的应用及推广摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用,并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题,反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快,甚至可以得到一步到位的效果,特别是在概率统计中的广泛应用. 关键词 Cauchy-Schwarz不等式 Minkowski不等式 Holder不等式 Hermite阵1引言 柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛,是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙的运用它,可以使一些较困难的实际问题得到比较简

2、捷地解决,这个不等式结构和谐,无论代数、几何,都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用,对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy不等式 命题1 设,则(1)其中当且仅当(为常数)等号成立. 证明 由则由于,因此上述不等式的判别式大于零,即: 易得(1)式成立. 例1 设求证 证明 由不等式左边的形式,很容易想到柯西不等式解之 柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛,而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式. 由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowsk

3、i不等式 定理1 任意的个实数,有 (2) 事实上,由(1)得 这就证明了(2). 将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充,则有赫尔德不等式. 定理2 对任意的非负数有 其中,满足且. 证明 由杨格不等式,其中且得 赫尔德不等式中,当时为柯西施瓦茨不等式,若将则可导出相应的无穷不等式. 由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,且,则证明 由杨格不等式 化简即得所要证得的不等式. 还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式: 推论1 若对任意非负实数,有,则 下面将上命题1进行推广: 引理1 (算术-几何平均值不等式)设为个正数,则 ,等号成立的充要条件为. 引理2 设,作定义:

4、则在中定义了的加法、数乘、内积作成上的线性空间一定构成欧几里得空间,简称欧氏空间 在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义. 推论2 设是组实数,则有 (2)等号成立的充要条件为 证明为方便起见,不妨设 从而由引理1有 对上式进行的累次求和,可得 即 (4)由于同理,这样(4)式为 再两边同时次幂,得 故证得(3)式成立. 注1 在命题1中,除,其余均为1,且,则不等式(3)就是不等式(1)的推广. 推论3 (将命题1推广为无限和不等式)设且,则 (证明过程可仿推论2的证法并结合引理2).微积分中的Cauchy-Schwarz不等式 命题2 设在可积,则(5) 证明 类似命题1可

5、以利用判别式证明之.下面给出另一种证法: 因为在上可积,则由定积分的性质均在上上可积,对区间进行n等分,分点为.由定积分的定义,有 由(1)式知再由极限的保号性易知(5)式成立. 注2 若对,或成正比,则(5)式等号成立,但其逆不真. 例如,除有限点外,有,但并不成比例. 例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限:设在上连续,有正下界,记,求证: 证明 为了分析的变化趋势,研究邻项之间的关系 因为,平方得,即.因为在连续,所以存在,使得,故因为单调有上界,所以有极限.即 在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式,如下面介绍的Minkowski不等式: 定理4 设在可积,则Minkow

6、ski不等式 证明由(5)式 因为两边都大于等于零,且右边大括号也大于等于零,所以有 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充,有Holder不等式 定理5 ,且,则 证明 得证. 利用定理5,将定理4的幂指数进行扩充,有 证明可参考定理3 的证明,且p2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设是闭区间上为正的个可积函数,则 (6) 证明 不妨设则 由引理1可得 这样就证得不等式(6)成立. 注3 在推论4中,取,则得到柯西施瓦茨不等式,即不等式(5). 注4 不等式(5)可写成 受此启发,易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式: 设是闭区间上的可积函数,则有 即为 并且等号

7、成立的充要条件为:存在不全为零的常数使得. 推论5 (将命题2再推广)设则 (7)(可仿推论4并结合反常积分理论即证).4 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz不等式 在维欧氏空间中,对任意的向量定义内积定义的长度或范数为. 命题3对任意的向量有 (8)当且仅当线性相关时等号才成立. 证明 若,则,(8)式显然成立.若,则令,则,且当线性相关时等号显然成立. 反之,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或或,即 也就是说线性相关. 根据上述在维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式,我们有三角不等式 (9) 因为所以(9)式成立. 用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题,如下求证.证

8、明 这里可取由柯西施瓦茨不等式整理即得 概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式 命题4 设为任意随机变量,若存在,则也存在,且 (10)式中等号成立当且仅当存在常数,使得 (11) 证明 定义实变量的二次函数为因为对一切,必然有,从而有,于是方程要么无实根,要么就有一个实根,亦即重根,即判别式非正,从而即当等号成立时,方程有一个重根,使从而即且 于是即 反之,若存在常数,使得(11)式成立,即 从而 ,于是 ,即 ,且故 即在(10)式中等号成立. 例4 设随机变量与的相关系数存在,则且的充要条件为与以概率1线性相关.即存在常数,使,其中当时,;当时. 证明 对随机变量与应用柯西施瓦茨

9、不等式,有 即,所以,此时等式成立当且仅当存在,使得其中是方程当时的解.显然,当时,即当时,即 该定理表明:当时,与之间存在线性关系,从而相关系数作为“标准尺度下的协方差”是随机变量与之间的线性强弱程度的度量,更确切地说应该是线性相关系数. 在统计教学中,求直线趋势方程的两个待定系数时,用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用,增强了预测模型的准确性、科学性、严密性. 例5 (求方程系数中的应用)当函数,是由实验或观察得到的,建立直线趋势方程的模型时,要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小. 解 设,这里令整理得到:消去,.由柯西施瓦茨不等式知,当且仅

10、当时取等号. 由于是时间变量,故,所以所以. 在直线回归方程中,均为回归系数.在求回归系数时,同样用Cauchy不等式证明得到. 事实上,如果,由柯西施瓦茨不等式我们得到这时,总体回归直线就是一条平行于轴的直线了,这时与之间没有线性关系,从统计学的角度讲总体中没有变异,就没有必要进行统计了. 例 6 (在判断极值存在中的应用)证明存在极小值. 证明 因为求二阶偏导得 因为由柯西施瓦茨不等式我们得到 所以又因为,所以存在极小值,可以证明也就是最小值. 由以上几个例子可以发现,柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz不等式 定义1

11、设为n阶方阵,记,即同时取共轭又转置.若,则称是一个Hermite阵.当为实矩阵时,Hermite阵就是实对称阵. 命题5 设,则 a等号成立当且仅当与线性相关. 证明 当与至少一个为零向量时,结论显然不成立.不妨设,定义,则.于是 此即等号成立与成比例. (b)设A为Hermite阵且,则 等号成立当且仅当与线性相关. 证明 因为,则由Hermite阵的性质,存在矩阵B,使得.命,对和应用a,便得到b. c设A为的Hermite阵且,则 ,等号成立当且仅当与线性相关. 证明 因为,所以存在,对和应用a,即得欲证的c. 由上可知为任意的一对列向量,我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等

12、式,是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广. 推论6 表示复数域,表示的共轭转置向量, 阶正定矩阵的全体记为.设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意一对正交向量,有 证明 不失一般性,令,显然只需要证明当正交向量对时,推论6成立.令那么,B是一个Hermite阵,令其特征值为,由Poincare定理,有所以.同时 所以 又因为是单调递减的函数,所以 这样定理得证. 例7 设,A的特征值为,且都大于零,那么对于任意非零向量,有 证明 令,这样同时 (12) 由(12)式,我们可以得到,将(11)式带入推论6,有因为,所以 将上式用于,我们得到即这样定理得证. 注5 由柯西施瓦茨不等式的形式(b

13、),我们可得到由推论6 (13)因此(13)式的结论较柯西施瓦茨不等式精确,所得结果更强.结束语 本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式,并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用,特别是在概率统计中的实际应用,而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限,在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析,也没有进行推广.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社, 2003.2吴传生.数学分析(上册)习题精解M.合肥:中国科技大学出版社,2004.3邓天炎,叶留青.概率统计M.北京:中国矿业大学出版社,200

14、4.4 王松佳,吴密霞,贾忠贞M.北京:科学出版社,2005.5 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用M.北京: 科学出版社, 2007.6K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导M.北京:北京大学出版社,2006.7孙永生,王昆扬.泛函分析讲义M.北京:北京师范大学数学科学学院,2007.8 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式J.商洛学院学报,23:42009,28-29.9常广平,李林衫,刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数J.北京联合大学学报,22:42008,77-78.Application and promotion of the Cauc

15、hy-Schwartz inequalityAuthor:Zha MinSuperviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statisticsKeywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix