离散数学第二版最全课后习题答案详解.docx

1、离散数学第二版最全课后习题答案详解 习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3） 3是素数或 4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 1.（4） 2x+ 35答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6） 2与 3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命

2、题.（10） 圆的面积等于半径的平方乘以 .答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11） 只有 6是偶数，3才能是 2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（12） 8是偶数的充分必要条件是 8能被 3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（13） 2008年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p:是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 .（13）p:2008年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真

3、值.（1）5是有理数.答：否定式：5是无理数. p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式 q的真值为 1. （2） 25不是无理数.答：否定式： 25是有理数. p： 25不是无理数. q： 25是有理数.其否定式 q的真值为 1.（3）2.5是自然数.答：否定式：2.5不是自然数. p：2.5是自然数. q：2.5不是自然数.其否定式 q的真值为 1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数.其否定式 q的真值为 1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与 5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为 p q，其真值为 1.（2）不

4、但 是无理数，而且自然对数的底 e也是无理数.答：p：是无理数，q：自然对数的底 e是无理数，符号化为 p q，其真值为 1.（3）虽然 2是最小的素数，但 2不是最小的自然数.答：p：2是最小的素数，q：2是最小的自然数，符号化为 p q，其真值为 1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为 p q，其真值为 0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为 p q，其真值为 0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或 3是偶数.（2）2或 4是偶数.（3）3或 5是偶数.（4）3不是偶数或 4不是偶数.（5）3不是素数或 4不是偶数.答

5、: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数(1)符号化: p q，其真值为 1.(2)符号化：p r，其真值为 1.(3)符号化：r t，其真值为 0.(4)符号化： q s，其真值为 1.(5)符号化： r s，其真值为 0.6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: ( p q)(p q) .7.设 p：王冬生于 1971年，q：王冬生于 1972年，说明

6、命题“王冬生于 1971年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：pq0011010101100111根据真值表,可以判断出,只有当 p与 q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p与 q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.,就有（1）只要（2）如果（3）只有（4）除非（5）除非（6）；,则；,才有,才有,否则；仅当.,则:;设 q:,则:答:设 p:.符号化真值（1）（2）（3）（4）（5）11000 （6）19.设 p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1）（2）；（

7、3）（4）；（5）（6）（7）；.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.自然语言真值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球1011101只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球10设 p：9是 3的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1）（2）（3）（4）；.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.自然语言真值（1）（2）（3）9

8、是 3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻9是 3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻9不是 3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻011 （4）9不是 3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻011将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不止的；（3）若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则是无理数.答:命题 1命题 2符号化真值（1）（2）（3）（4）p:2+2=4q:地球是静止不动的q:地球是静止不动的q:人类能生存0p:2+2=4111p:地球上有树木p:地球上有树木q:人类能生存12.将下列命题符号化,并给出各命题

9、的真值：（1）2+2=4当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是 3+3 6；（3）2+2 4与 3+3=6互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1)(2)(3)(4)100113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二； （3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设 p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)(2)(3)(4)不会出现前句为真,后句为假的情况不会

10、出现前句为真,后句为假的情况必然为 1若 p为真,则真值为 0;若 p为假,则真值为 114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2 ）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4 ）王欢与李乐组成一个小组；（5 ）李欣与李末是兄弟；（6 ）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与 4都是素数,这是不对的；（13）“2或 4是素数,这是不对的”是不对的.答:命题 1命题 2命题 3符号化(1)(2)

11、(3)(4)(5)p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-p:老王是山东人p:天气冷q:老王是河北人-q:我穿羽绒服p:王欢与李乐组成p:王欢与李乐组成一个-一个小组小组p:李辛与李末是兄p:李辛与李末是兄弟弟 (6)(7)p:王强学过法语p:他吃饭q:刘威学过法语q:他听音乐q:他乘车上班q:他乘车上班q:他乘车上班q:路滑-(8)p:天下大雨p:天下大雨p:天下大雨p:下雪-(9)-(10)(11)(12)(13)-r:他迟到了p:2是素数p:2是素数q:4是素数-q:4是素数15.设 p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真

12、值为 1，q真值为 1，r真值为 0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当 p,q的真值为 0,r,s的真值为 1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4） 解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“是无理数.并且,如果 3是无理数,则外,只有 6能被 2整除,6才能被 4整除.”也是无理数.另解：p:是无理数 q: 3是无理数 r:是无理数 s: 6能被 2整除 t：6能被 4整除符号化为:，该式为重言式，所以论述为真。18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确

13、的.”解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。真值为 1.真值为 0.可得，p真值为 1，q真值为 0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。19.用真值表判断下列公式的类型:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）p.解：（1）pqr00001001100101011111 111011101111此式为重言式（2）pq（p001101011011此式为可满足式（3）qr001101010000此式为矛盾式（4）pq001101011111此式为重言式（5）pqr00001001100101000111 111011101010此式为可满足式（6）pqr00001111001100110101010

14、111111111此式为重言式（7）pqrs00000000111111110000111100001111001100110011001101010101010101011001100100111001 此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）（3）（ 4）解：pq001101010111101111100111由真值表得：（1）的成真赋值是 01，10,11（2）的成真赋值是 00，10,11（3）的成真赋值是 00，01,10（4）的成真赋值是 01，10,1121.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（ 3）解：pqr000011110011001101010101111

15、011111101110111110011由真值表得：（1）的成假赋值是 011（2）的成假赋值是 010,110（3）的成假赋值是 100,101 22.已知公式是矛盾式，求公式成真和成假赋值.解：是矛盾式也是矛盾式。由此可得：该式无成真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式是重言式,求公式的成真和成假赋值.解：是重言式，也是重言式。由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11124.已知是重言式，试判断公式及的类型.解：是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有都是重言式。1

16、1，25.已知是矛盾式，试判断公式及的类型.解：是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值都是重言式。只有 00，26. 已知是重言式，是矛盾式，试判断及的类型.解：是矛盾式。是重言式。27.设 A、B都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,证明:重言式.是重言式当且仅当 A和 B都是 解：AB001101010001由真值表可得，当且仅当 A和 B都是重言式时，是重言式。28.设 A、B都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,已知是矛盾式,能得出 A和 B都是矛盾式的结论吗?为什么?解：AB001101010001同样由真值表可得，的成假赋值有 00,01,10.所以无法得到 A和 B都是

17、矛盾式。29.设 A、B都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,证明:是矛盾式当且仅当 A和 B都是矛盾式.解：AB001101010111由真值表可得，当且仅当 A和 B都是矛盾式时，是矛盾式。30.设 A、B都是含命题变量项 p1,p2,pn的公式,已知重言式的结论吗?是重言式,能得出 A和 B都是 解：AB001101010111由真值表可得的成真赋值有 01,10，11.所以无法得到 A和 B都是重言式。习题二1.设公式 A p q= ,B p q= ，用真值表验证公式 A和 B适合德摩根律： (A B)A BpqAB A B (A B)00100101000100001110110

18、12.公式 A和 B同题（1），用真值表验证公式 A和 B适合蕴涵等值式.A B A BpqABA B A B0010000111011010100100103用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.（1） (p q q)答：原式= ( (p q q)= ( p q q)= 0是矛盾式.4.用等值演算法证明下面等值式. （1）p （p q p q）（）答：右式= p q q （）= p1= p(p q ) (p r) (p (q r)（2）答：右式= p q r( )=( p q) ( p r)= (p q p r ) ( ) =左式（3） (p q)

19、 (p q) (p q)答：左式= ( p q) (p q)= (p ( p q) ( q ( p q)= (p q ) (p q)（4）(p q ) ( p q) (pq) (p q)答：左式= (p ( p q)( q ( p q)= (p q ) (p q)5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1） (pq) (qp)答：( = = p q)( q p) (p q)(p q q( )( q p) (p q) ( q p)= ( p q) ( q p p()= (p q = ) (p p)( p q m m m) 0 2 3 成真赋值为 00,10,11.（2） (pq) qr答：

20、= = =(p q q r) ( p q q r p q q)0所以为矛盾式。（3） (p q r ()(p q r) 答(p q r = = ()(p q r) (p q r( )(p q r) ( p (q r)(p q r)= ( = p ( q r)(p q r) ( p q) ( p r) (p q r)= ( p q r r( )( p q q() r) (p q q r r()() (p p q r r)()(p p q q r ) ()= ( p q r) ( p q r )( p q r) (p q r) (p q r)(p q r = ) (p q r) ( p q r m

21、 m m m m mm m)7 所以是重言式，真值为0 1 2 3 4 5 6 000,001,010,011,100,101,110,111.6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1）(qp)p 答： = = =(q p) p ( q p) p qp p 0，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。（2）(pq) (pr)答：(p q = = =) ( pr) (p p r q p r) ()( p q r M) 4，成假赋值为 100.（3）(p (pq)r 答： (p = = =(p q r) ( p p qr( ) ( p p q r 1，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。7.求下列公

22、式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1） (pq)r答：(p q r p q r r = ) (p p q q r ) (= (p q r r ( )(p p q q r )()()= (p q r )(p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)=m m m m m M M M1 3 7 = 0 2 45 6 （2） (pq) (qr)答： (p q q r = = )q q q r)= ( p q r r( )()( p q) ( q r) ( p q) ( p r()()( p q q r() ) (p p q r )= ( p q r) ( p q r)

23、( p q r) (p q r)=m m m m M M M M0 13 7 = 2 4 5 68.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：（1）(pq) q答： (p q = = = = ) q(p q q p q q) 1 m m m m0 1 2 3为重言式。（2）(p q ) r答：(p q = = ) r (p q) ( p q r) ( (p q) ( p q r)= ( = p q)(p q r) ( p q r) (p q r M M) = 0 6=m m m m m m1 2 3 4 5 7（3） (r p p q)答： = (r p p q r p p q)=M M M M M M M M0 1 2 3 4 5 6 7= 0