概率论分赌注问题.docx

1、概率论分赌注问题概率论分赌注问题分赌注问题小论文报告 问题来源：分赌注问题是统计学历史上最著名的问题。1654年,职业赌徒德梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？（1） 文献综述1（2） 相关知识2（3） 应用实例3（4） 总结感受4（5） 文献列表5（一） 文献综述 主要内容：本文以通俗的语言介绍概率发展史上一个著名的问题分赌注问题，并讨论它的简单解法，给出简

2、单的实际应用。应用：甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局甲获胜的概率为0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，可采用5局3胜制或者7局4胜制进行比赛，问采取哪一种比赛制对甲有利？这一问题实际上是问采取哪一种赛制，甲获胜的概率更大。因此，只需在5局3胜制或者7局4胜制中，分别计算甲获胜的概率即可，且这两个概率是分赌注问题的特殊情形。推出结论：如果每局甲获胜的概率比输的概率大，则多比赛几局对甲是有利的。主要内容：分赌注问题是个很有名的问题，但一般的分赌注只研究两个人分赌注，如果三个人分赌注该如何呢？本文在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。方法：二项分布应用：甲乙二人扔硬币比赛，

3、约定出现正面得一分，谁先得三分就获胜；如果出现双方都得两分的情况，则视为平局，此后比赛继续下去，谁能比对方多得两分，谁就获胜现比赛进行到甲得两分，乙得一分时感觉成绩不如甲，有退赛的想法，问如果继续比赛下去，乙获胜的概率还有多大？改进：在详细讨论了两个人分赌注的前提下，推广到了三个人分赌注的情况。主要内容: 尽管由帕斯卡和惠更斯等人所启动的概率论这门学科被称作概率演算, 但早期概率学者研究的一个中心问题是期望而不是概率。早期概率论中对于数学期望的强调是由于这个概念承载了当时常用的/ 期望0术语的两种不同的定性含义, 一是人们对于法律中公平公正的期望, 另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两重

4、含义使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁, 并将概率论与理性和道德科学的启蒙观念联系在一起, 于是对于期望思想的探讨便成为 17、18 世纪启蒙思想实践的一部分。然而至 19 世纪, 随着启蒙运动的结束, 这个议题失去了其主要的素材来源, 也失去了有效性的判断标准, 随之期望作为概率论研究的中心地位也就被其它方面的研究取而代之了。方法：历史分析和文献考证。 主要内容：系统探讨和分析惠更斯在论赌博中的计算中所给出的 14个概率命题, 以揭示其概率思想。结果：惠更斯首次提出数学期望的概念, 创立了 /惠更斯分析法 0, 第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系, 第

5、一次将以往概率论知识系统化、公式化及一般化。结论 惠更斯的概率思想奠定了概率论的基础, 且对今日数学创造仍有重要启发意义。 方法：历史分析和文献考证。 主要内容:惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其论赌博中的计算是第一部概率论著作,该书首次提出数学期望的概念,创立了“惠更斯分析法”,第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。方法：历史分析和文献考证。 主要内容及改进：惠更斯在第一部概率论著作中提出5个概率问题，但均无求解过程。这5个问题即可看作实际问题，又可看作该书中的命题延伸，这些问题以机会问题为研究对象，把赌博问题的分析提升到一定的理论高度。这就为概率论的进一步发展奠

6、定了坚实的基础。本文尝试以惠更斯的方法来解决这些问题，再对比今日所用之法，从中得到若干结论。 方法：文献考察，历史分析，理论验证 （二） 相关知识 1.二项式定理 2.二项分布概率公式P(X=k)=C(n,k)(pk)*(1-p)(n-k),n是试验次数,k是指定事件发生的次数,p是指定事件在一次试验中发生的概率。 3.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次实验获胜的概率是p1，失败的概率是p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1，n2= 4.甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n

7、2次之前的概率是Pn1,n2=5.一人进行某种概率实验，实验可以独立重复进行，每一次试验获胜的概率是p1，失败的p2=1-p1。则n1次获胜在n2次失败之前的概率是Pn1,n2=6. 惠更斯的14个概率命题公理 每个公平博弈的参与人愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数 2 。命题 1 若在赌博中获得赌金 a和 b的概率相等, 则数学期望值为 (a + b) /2。命题 2 若在赌博中获得赌金 a, b和 c的概率相等, 则数学期望值为 ( a+ b + c) /3。命题 3 若在赌博中分别以概率 p和 q(p 0, q 0, p +

8、 q = 1) 获得赌金 a和 b, 则数学期望值为pa+ qb。命题 4 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 2时, 其赌注应如何分?命题 5 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 3时, 其赌注应如何分?命题 6 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 2, 3时, 其赌注应如何分?命题 7 假设 2人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 2, 4时, 其赌注应如何分?命题 8 假设 3人一起赌博, 离全胜所差局数分别为 1, 1, 2时, 其赌注应如何分?命题 9 假设若干人一起赌博, 给出其离全胜所差局数, 其赌注应如何分?命题 10 一颗骰子连掷多少次有利于

9、 /至少出现一个 6点0?命题 11 两颗骰子连掷多少次有利于 /至少出现一对 6点0?命题 12 一次掷多少颗骰子有利于/至少出现一对 6点 0?命题 13 甲、乙 2人赌博, 将两颗骰子掷一次, 若其点子和为 7则甲赢, 为 10则乙胜, 为其他点则平分赌注。试求 2人分配赌注的比例。命题 14 A, B 2人轮流掷两颗均匀的骰子, 若 A 先掷出 7点, 则 A 胜; 若 B先掷出 6点, 则 B胜。B 先掷, 求 A 获胜的概率。（三） 应用实例惠更斯的5个概率问题问题1两人玩掷双骰子游戏。若 A 掷出 6 点则赢,而 B 掷出 7点胜。A 先掷一次后, B 掷二次, A 再掷二次,如

10、此下去直至一方获胜。A 与B 的胜负比是多少？问题2一袋中装有 4 个白球 8个黑球,3 人蒙住眼睛轮流摸球。先得白球者获胜,求三人获胜的机会比。惠更斯在其 1665 年的笔记中给出问题答案为 964。问题3有 40 张牌,每种花色10 张。甲同乙打赌他能抽出花色不同的 4 张牌,每人投的赌注应是多少?问题4一袋中装有 4 个白球 8个黑球,甲同乙打赌他能在摸出的7 个球中含有 3个白球。求二人获胜的机会比。问题5二人玩掷三颗骰子游戏,甲乙各有 12个筹码,若掷出 11 点,甲给乙一个筹码,而掷出 14 点,则乙给甲一个筹码,直至两人中有一人输光。求甲乙获胜的机会比。A，B二人赌博，各出注金元

11、。每局各人获胜概率都是，约定：谁先胜S局，即赢得全部注金元。现进行到A胜局，B胜局，（和都小于）时赌博因故停止，问此时注金应如何分配给A和B，才算公平？解：注金应按之比分配给A和B，因和是A、B在当时状态下的期望值。至多再赌局，即能分出胜负。为A获胜，他在这局中至少须胜局。因此按二项分布，A取胜的概率为,而B取胜的概率为.设盒中有三个大小相同颜色不同的球，分别是红黄蓝。现甲乙丙三人从中各自取一球，三方各出资50元，约定甲取得红球得一分，乙取得黄球得一分，丙取得蓝球得一分，三人规定谁先得到3分谁就获胜，获胜者得到全部的赌资150元。现实验进行到甲得2分，乙得2分，丙得1分时停止，问甲乙丙应该如何

12、分配150元资本？（答案见右侧图片）甲乙二人进行某种比赛，比赛重复独立进行，每次比赛甲获胜的概率是p1，乙获胜的概率是p2=1-p1。则甲获胜n1次在乙获胜n2次之前的概率是Pn1,n2=（证明见右侧）（四） 总结感受远自1654年职业赌徒德梅累向法国数学家帕斯卡提出的一个分赌本问题，无意间成为了开启了概率论时代的敲门砖。意大利数学家卡尔丹写出的游戏的机遇学说，讨论了两人赌博中断，如何分赌本的问题。16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚等人也讨论过这种问题，直到今天，依然有人在探讨分赌注问题。“分赌注”的魅力可见一斑。几篇文献分别以不同的侧重探讨了这一问题，在总结帕斯卡，惠更斯等人的理论成就的

13、基础上，进行了更进一步的论述，有一些实际的应用，亦有一些拓展。在中，将一般的分赌注只研究两个人分赌注，推广到了三个人分赌注该如何分。而则探讨了分赌注的期望问题。分赌注问题源远流长，曾有过各式各样的求解方法。设你和我打赌，可以是任何赌法，各出50元赌本，先赢6局者拿走100元。但是赌到5：3你领先时被迫停止，不能继续。现在的问题是：100元中你我各应该分到多少钱？ 分法1朴素法（5：3，你62.5元，我37.5元）：就按比分5：3分钱。分法2均胜局法（7：1，你87.5元，我12.5元）：应该按取得最终胜利的可能性来分。我需要连胜3局才赢，你只需要在我连胜3局之前胜1局就赢。假设胜1局的可能性都

14、是1/2，则我赢的可能性是(1/2)31/8，你赢的可能性是7/8。分法3最大似然法（485：27，你94.73元，我5.27元）：仍按最终赢的可能性来分，但胜1局的可能性不应该是1/2，而应该根据当前比分作最大似然估计，即你胜1局的可能性为5/8，我胜1局的可能性为3/8。我最后赢的可能性，即应该拿到的份额，应该是(3/8)3=27/512。分法4贝叶斯法（10：1，你90.91元，我9.09元）：该法考虑了你胜1局的概率p的期望分布，则你最后赢的期望概率为根据贝叶斯定律：其中为先验概率分布，在此采用无信息先验，可从公式中去掉，所以解出10：1最终通过计算机模拟赌博结果证实，10：1才是正确

15、的分赌注方法。这个问题可以改为更一般的表述：多次尝试同一件事，先成m次则成功，先失n次则失败。当尝试到i（成功）+j（失败）次时，如何估计最终成败的概率？正确的方法是贝叶斯法。通过采用与分赌注问题相同的解法可求出最终成败的概率，最终为现实中的事情做出正确的抉择提供考虑依据。分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具，如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等、可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。（五） 文献列表-四川师范大学成都学院 陈勇-莱芜职业技术学院机电工程系 程登彪 文章编号：1009-4790（2012）11-0026-03-上海交通大学学报( 哲学社会科学版) 王幼军 2009年第6期第17卷 -西北大学学报 (自然科学版 ) 徐传胜 潘丽云 任瑞芳2007年 2月, 第 37卷第 1期 -第二十八卷2 0 0 6 第6期自然辩证法通讯 徐传胜曲安京-西北大学数学与科学史研究中心 徐传胜 曲安京 第27卷第4期