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1、the heroes in my heartHeroes in My Heart 数学家的故事 To Music ，For the Encouragement and Smiles She Gave Me ukim序 多年以前，我有一个很宏伟的计划，打算写一本厚厚的书。这本书有三部， 第一部写那些数学牛人们的传奇动人荒诞不经的轶事，第二部充满着历史上 最最经典的定理最最美妙的证明，第三部去真实的纪录北大数学的这群烂人， 写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生活。这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将永远是一个美好的梦。所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的

2、事。 第一次因为数学感动，是听到大人们讲华罗庚先生的故事，不知道那时候多大，隐约记得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西，怕他们把自己的算法偷去，于是所有的东西都是心算。故事的真实性自然不可信，不过这很让小孩子神往。我要讲述的也是这么一些事情，很多都是高中和大一大二读过的，那是一段美妙的时光。美妙的东西希望大家一起分享，与人乐乐。最后，按照写序的一般格式，我来感谢一下应该感谢的人们。感谢knots陪我一起扭伤脚腕一起看遍好莱坞的美女，感谢hyson和我一起用两块八的牛奶煮面，感谢alpha和我两次同居在那简陋的破屋里冻得瑟瑟发抖，感谢doudoulf那银玲般的笑声，感谢justinlee, ma

3、shimaro, aixuexi, transferrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同进行着富有想象力的意淫。是他们的存在，回忆这个词才有了色彩。 ukim 2002 - 4 - 1 = 一Bernoulli 家族Euler（欧拉）停止了生命，也就停止了计算。de Condorce（康道塞）这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏。 John Bernoulli（约翰伯努利）在1696年把最速降线问题在一个叫做教师学报的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi Bernoulli（加可比伯努利），这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年

4、John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi（加可比伯努利）做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz（莱布尼兹）搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，John收到了5份答案，有他自己的，Leibniz的，还有一个L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人），然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton（牛顿）的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子。”据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌

5、晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了Fermat（费马）原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想。 Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（丹尼尔伯努利）（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoulli。那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton（牛顿）呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把它当作自己曾经听过的最衷心的赞扬。John & J

6、acobi这两个Bernoulli人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从他老师John那里知道的，并且给出了2/6这个正确的答案。 法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot（丹尼斯狄德罗），中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot（丹尼斯狄德罗），其实Euler本来是弄神学的，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“先生，( a + bn ) / n = x，因此上帝存在；

7、请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎 二四色定理 证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。A.Eddington （爱丁顿）一次拓扑课，Minkowski（闵可夫斯基）向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”，这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去了一个阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了，我

8、的证明是不完全的”1942年的时候，Lefschetz（莱夫谢茨）去Harvard（哈佛大学）做了个报告，Birkhoff（伯克霍夫）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在Princeton（普林斯顿大学）有没有什么有意思的东西。Lefschetz说有一个人刚刚证明了四色猜想。Birkhoff严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到Princeton的Fine Hall去。 三做数论的人 从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。Hardy （哈代）Lev Landau（朗道）这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Land

9、au（E.朗道）看了Goldbach（哥德巴赫）(哥德巴赫)猜想之后的感觉。术业有专攻呀. Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了29，” 由于Fermat（费马）大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：xn + yn = zn 没有解，对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。 Hilbert（希尔伯特）曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann（黎曼）猜想，尽管其中有个

10、无法挽回的错误，Hilbert还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数.”众人皆倒。 有一个人叫做Paul Wolfskehl（佛尔夫斯克尔）,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝。感到无

11、所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer（库默尔）解释Cauchy（柯西）等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂

12、骄傲不止，于是一切皆成烟云这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部份设为一个奖，讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克 。就是Wolfskehl奖的来历。 四Gottingen（格延根）的传说 Gottingen市政厅底层的墙上言不讳的镌刻着：Gottingen以外没有生活。 1854年，Riemann（黎曼）为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber（韦伯）的回忆说，当演说结束后，Gauss（高斯）怀着少见的表情激动的称赞Rieman

13、n的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲学，尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却花了将近100年的时间。 有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次，Helmholz（或为Helmhol）和Weiestrass（魏尔斯特拉斯）一起外出度假，Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的

14、工作。但是Helmholz大惑不解，他认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要这么化功夫呢？ 2Klein（克莱茵）上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。 Wiener（维纳）去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？女管家训斥道，枢密官先生在家。

15、一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位，譬如说Newton（牛顿）。Wiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛，后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。 关于Klein还有一个故事，当初王诗宬（宬-chng）老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare（彭加勒/庞加莱）的故事，说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的，对于2维的的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs（富克斯）的名字来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大

16、的影响，Klein感到特别的不爽，他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉的很不妥。后来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。 当时王老师也特别想将这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情，还是让这个法国人讲了。3开始讲D.Hilbert（希尔伯特）吧 。David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论

17、文答辩，需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃米尔魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授特别少。Berlin只有3名数学教授，一般的大学至多2个。 Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话。Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时

18、候，Minkowski（闵可夫斯基）这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“.他还存在么.” 一次在Hilbert的讨论班上，一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说:“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？”那个年轻人茫然的站了很久，对Hilbert说：“是你”。 4Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是肯定的”，年轻人感激而

19、笑。H.Weyl（外尔）刚去Gottingen的时候,被拒之”圈”外。所谓的圈，是指Toeplitz（托伯利兹/特普利兹）, Schmidt（施密特）, Hecke（赫克）和Haar（哈尔）等一群年轻人，大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉。一次，大家在等待Hilbert来上课，Toeplitz指着远处的Weyl说：“看那边的那个家伙，他就是Weyl先生。他也是那种考虑数学的人。”就这样子，Weyl就不属于“圈”这个集合了。这个故事是Courant（库朗/柯朗）讲的，Haar当时是Hilbert的助手，Gottingen当时的人们无一不认为他将是那种不朽的数学家。但是事实证明，Weyl的伟大无

20、人能比，尽管Haar在测度论上贡献突出，但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”。 von Karman（冯卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女孩子选择了Weyl。 5Gottingen讲得太多了吧先停几次，多讲几件烂事然后再讲。先介绍一个人，L.V.Ahlfors（阿尔夫斯）, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds（菲尔兹奖）奖。我知道他的一部分工作，就是展示给大

21、家复分析和双曲几何之间的深刻联系，把曲率之类的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz（施瓦兹）引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射，Riemann曲面领域都是贡献非凡。 下面是一个很传奇的事情，希望那些认为数学没有“用”的看看数学家是如何认为数学有用的。L.V.Ahlfors说这些话的时候，正是二战受封锁的时候。“Feilds奖章给了我一个很实在的好处，当被允许从芬兰去瑞典的时候，我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元钱。我翻出了Fields奖章，把它拿到当铺当了，（！）从而有了足够的路费我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章” 讲几个小事情，都是蛮有意思的那种。明天继续

22、Gottingen。这一个是因果循环的。Hilbert写的第一篇关于Dirichlet（狄利克雷）原理的文章，希望Fredholm（弗莱德霍姆）能够欣赏，但是Fredholm根本就没看；F.Riesz（F.里斯）写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；M.Riesz（里斯）写了很多文章，希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看 再来一个苏联大牛的。39岁的时候，Kolmogorov（柯尔莫果洛夫）决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点点死掉；但是，70岁的时候，他突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。6开始讲一下E

23、dmund Landau（E.朗道）的故事。 E.Landau（E.朗道）是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他，他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是城里最好的那座房子。” Gottingen 1909-1934年的数学系主任是Edmund Landau。Landau（E.朗道）的工作习惯很奇怪，用6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat（费马）大定理的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的：亲爱的_谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。第一个

24、错误在_页 _行这使得证明无效。E.M.Landau尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高。 继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事 E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus（施坦豪斯）的博士考试需要一个天文学家的提问。Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.” A.Rosenthal（罗森塔尔）曾经和Landau住一个房间。一天，Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年

25、的Dedekind（戴德金）和他絮叨了一下午的废话，Dedekind狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。7两个间接的和Gottingen的人有关系的事情。Dehn（戴恩）是Hilbert最得意的弟子之一，曾经率先解决了一个Hilbert问题。Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Springer-Verlag（德国施普林格出版社）的黄皮书。 Poincare也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor（康托尔）的集

26、合论，Zermelo（策梅洛）当时恰好证明的每个集合都可以良序化，Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道：“Zermelo那个几乎独创的证明也应该彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。Caratheodory（卡拉西奥多里）是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师，26岁突然放弃了这样一个有前途

27、的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是Gottingen. W.F.Osgood（奥斯古德）是原来Havard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿:-)。他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。 8从明天开始，再也不说Gottingen了。由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次

28、纳粹的教育部长问Hilbert说Gottingen的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了。”Gottingen从那时开始一蹶不振。 这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候自己的工作得不到承认的，譬如说S.Lie（S.李）当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。Grassmann（格拉斯曼）最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不得不放弃数学这个没有前途的职业，化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Ri

29、g-Veda的印度古经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。 在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的5199的维数论，标题页上面用铅笔写着Minkowski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字，清楚的表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。” 五爱因斯坦和他的广义相对论开始讲述爱因斯坦和他的广义相对论作为从Gottingen的故事到其他的故事的一个过渡 选一句永远让我心驰神往的话： 关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是可以被理解的Albert Einstein Einste

30、in构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann（黎曼）几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen，给Hilbert（希尔伯特）等很多数学家做过几次报告。他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题，Hilbert很坦诚的说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。” 说两个听来的故事,讲的是这个世界上最漂亮的一套理论

31、广义相对论。据说，Einstein的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild（施瓦茨查尔德）解，是同名的这个人，在一战的战壕里给出的。Schwarzschild是Gottingen的天文学的教授。 Eddington（爱丁顿）是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的。Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington，说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，Eddington说：“我正在想谁是第三个人” 似乎每一个伟大的人物都以和Eins

32、tein交谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见Einstein的时候，过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么。Lev Landau（朗道），苏联最伟大的那个物理学家，就说自己当年参加某会议的时候，有幸和Einstein说过几句话，而有某个认识Landau（E.朗道）的人说Landau纯属幻想，当时此人和Landau一起，坐在那次开会的大厅的最后几排，连听都听不清，根本不可能谈话。可见Landau对Einstein的景仰程度。 不过另一个版本说Landau在下面指出了爱因斯坦犯了一个错误，Einstein说他不需要听他的演讲了。这是一位英国物理学家后来回忆当时的情景。讲几个Einstein和数学家的事情。Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，