数学分析171多元函数微分学之可微性.docx

1、数学分析171多元函数微分学之可微性第十七章多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分 定义1:设函数z=f(x,y)在点Po(xo,yo)的某邻域U(Po)上有定义，对于 U(Pd)中的点P(x,y)=(x+Ax,yo+Ay),若f在点Pd处的全增量可表示为:z=f(x)+x,yo+y)-f(Xo,y)=AAx+曲y+o( p，其中 p扣？ +时，o( p是较p高阶的无穷小量，A,B是仅与点F0有关的常数，则称函数f在Po可微.并称AAx+BAy为函数f在点P。的全微分，记作 dz| po =df(xo,yo)=AAx+BA y.当| x|,| y|充分小时，dz可作为 z的近似值，即f(x,

2、y) f(Xo,yo)+A(x-x)+B(y-y).有时也表示为：z= AA x+BA y+aA x+込 y;其中 lim a= lim 3=0.(&凶0,0) (&凶I(o,o)1例1:考察函数f(x,y)=xy在点(xo,yo)处的可微性.解：在点(xo,yo)处函数的全增量为： z=f(x)+A x,y+ y)-f(xo,yo)=yo x+x) y+A xA y.x y = p_x _y 严o,严o.* y=o(p),二f 在(xo,yo)处的可微,p p p且 df=yoA x+xo y.定义 2:设函数 z=f(x,y), (x,y) D,若(x,yo) D且 f(x,yo)在 xo

3、的某一邻域内有定义，则极限lim 川X0,y)= |im f(Xo xyj-f00)存在时，2 Ax 2 Ax这个极限称为函数f在(Xo,yo)关于X的偏导数，记作：ff zfx(X0,y0)或 Zx(X0,y0)，H(xo，yo) (x,y).ex CX同样定义f在点(X0,y0)关于y的偏导数为：fy(X0,y0)或色(x,y).点y若f在区域D上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，贝S f在区域D上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：fx(x,y)或、f(x, y)cX(fy(x,y)或2f(X )也简写为 fx,Zx 或丄，W( fy,zy 或兰，三).&y 汰 欣

4、 dy cy注：1、这里符号亠-专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dx cy dx相似，又有差别；2、定义中，f在点(x),yo)存在关于x(或 y)的偏导数，f至少在(X,y)|y=y0,|x-X0|0)的偏导数.解：Zx=yxy-1; zy=xylnx.例4：求三元函数u=sin(x+?-eZ)的偏导数.解：Ux=cos(x+-eZ); uy=2ycos(x+y_ez); Uz=-eZcos(x+-eZ).三、可微性条件定理17.1:(可微的必要条件)若二元函数f在定义域内一点(xo,yo)可微， 则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 z=AAx+BA y+o( p 中 A=x(

5、x0,y0), B=$(x0,y0).即全微分 df(X0,y)=fx(x0,y0) x+fy(x),yo) y.或 dz=fx(xo,y0)dx+fy(X0,y0)dy. f 在 D 上全微分为 df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.l冯 x2+v2例5:考察函数f(x,y)= x2 在原点的可微性.0 x2 y2 =0解：根据偏导数的定义，fx(0,0)=lim fC ：x,0f(0,0) =0;同理 fy(0,0)= 0;z-dz二*、 y)-f(O,O)-fx(O,O)A x-iy(O,O)Ay二 丄x y_ .pAx2 +Ay2.啊皂竺=1叫 ；x弓2不存在，即 z

6、-dz不是p的高阶无穷小量，二f在原点不可微.定理17.2:(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(xo,yo)的某 邻域上存在，且fx与fy在点(xo,yo)连续，贝S函数f在点(xo,yo)可微.证： z=f(x)+ x、y+Ay)-f(xo,yo)=f(xo+ x、yo+A y)-f(xo、yo+A y)+f(xo、yo+A y)-f(xo,yo);即 全增量等于两个偏增量的和.对它们分别应用拉格朗日中值定理得：z=fx(xo+ 9i X、y+A) x+fy(xo、yo+ ) y,。01、$1.(中值公式).fx 与 fy 在点(xo、yo)连续，fx(xo+ X,yo+

7、y)=fx(xo、yo)+ a、fy(xo、yo+$ yFxoy。)* 3 其中当( x, y)(0,0)时，a0,厂o.二 z=fo、- xvyvu上可微，且 dz=yxy-1dx+xylnxdy.注2:偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数 2 2 1 2 2伽)跡十7，x +y式0在原点(0,0)可微，但2 2卫 x + y= 0fx与fy却在点(0,0)不连续.若z=f(x,y)在点(xo,yo)的偏导数fx,fy连续，则 称f在(xo,yo)连续可微.定理17.3:(中值公式)设函数f在点(xo,y。)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在 丰x)+ 9i(x-x)

8、和 T=y+ 02(y-yo), 0 0i, $o)+fy(Xo,yo)(Y-y);则曲面上任一点Q(x,y,z到这个平面的距离为：I z-zo -fx(x,y)(x -xo) -fy(xo, y)(y - y。)|_ | ：( p) |h= . 2 2 =2 2J fx (xo, yo) fy (xo,yo) 1 fx(Xo,yo) fy (Xo, yo)又 P到 Q 的距离为 d= (x-Xo)2 (y-yo)2 (z-z)2 二, (z-z)2 p.由o hh=|:( p)| 1 -o,严0,根据定义3知,d p p Ji +f：(xo,y。)+f；(x,yo)平面T为曲面z=f(x,y

9、)在点P(x),yo,f(xo,yo)的切平面.必要性若曲面z=f(x,y)在点P(xo,yo,f(xo,yo)存在不平行于x轴的切平面,且Q(x,y,z是曲面上任意一点，则点 Q到这个平面的距离为： h=|z z A xo) 四 yo) | ,令厶 x=x-x)A y=y-y)A z=Z-z,(j=Ax2 +Ay2 .由切平面定义知，当Q充分接近P时，-0,二对于充分接近P的Q有 dh = | Az-A 也x - BAy | _ 1 即d 1 A2 B22x1 A2 B2 , | z-Ax-BA y| d =2 Jax? +Ay 2 *Sz2 = p? + z2 ( p+| z|), 又|

10、z|-|A| x|-|B| y| | z-AAx-BAy|( p| z|),1 1-却 z|A| x|+|B| y|+2 p.又由 凹2(|A| 3+冋 4)+12p p p p1+二 (-0.04)=1.32.例8:应用公式SabsinC计算某三角形面积，现测得 a=12.50,2b=8.30,C=3(?,若测量a,b的误差为士 0.01, C的误差为士 0.1?,求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限 .解：依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为：| a|=0.01, | b|=0.01, | C|=0.1?=葛幺.二S的绝对误差限分别为:1800ZS rS FSI SI

11、|dS|=石迟a +壬心 1 1 1= jbsinC| a|+ - |asinC| b|+ |abcosC| 0.13.又 S=2 absing 25.94, S 的相对误差限为： -0-13 0.5%.2 S 25.94习题1、求下列函数的偏导数：(1)z=xy; (2)z=ycosx (3)z= ；x=ln(x?+y2); (5)z=ecy；vx +y(6)z二arctan乂;z=xydin(xy)； (8)u=+-; (9)u=(xy)z; (10)u=xyZ.x x y z解：(1)Zx=2xy; =x.(2)z(=-ys inx; z=cosx.(4)zx= 22X 2 ； Zy=

12、22y 2 x +y x + y (5)Zx=yexy; z/=xexy.sin(xy) 2 sin(xy) sin(xy) 2 sin(xy)(7)zx=ye +xy e cos(xy); z=xe +x ye cos(xy).(8)Ux=-2-l； 5=1-刍x z x y(9)ux=yz(xy1; uy=xz(xyj-1; uz=(xy)zln(xy).(10)ux=yzxy d ; uy=zy-1 xy Inx; Uz=yzxy Inx lny.解: T f(X,1)=X,fx(x,1)=1. 1 2 23、设f(x,y)= ys，n，X y ，考察f在原点(0,0)的偏导数. 0 X

13、2+y2=0f (0 ：x,0)f (0,0) 00解：.叭 =啊3?=，二 fx(0,0)=0；又 limfl 血0_by (0,0) = lm0sin不存在，fy(0,0)不存在.4、证明函数z= x2 y2在点(0,0)连续，但偏导数不存在证：T(巳0,0)击2 + y2 =0=z(0,0, Z二Jx2 +y2 在点(0,0)连续.即两个极限都不存在，二两个偏导数都不存在. 1 2 25、考察函数f(x,y)= xysin厂y, x y 在点(0,0)的可微性.0 x2+y2=0但在此点不可微.i.imf(0 x，0)-f(0,0) = i.心=0, i.imf(0,0 y)-f(0,0

14、)=i.im 口=0,0 x - 0 x 0 .y - 0 .，x.忸fx(0,0Nx-fy(0,0My 不存在，.f 在点(0,0)不可微.导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微. x2+yj 0,(x,y尸 0,证：(/+y2)sin即爲叫,0) f(x,y)=0=f(0,0),. f 在点(0,0)连续.当貳心0时，fxXgxsi启-占cos占，爲2xsinT7H=0,而(xy酥占cos占不存在 .(x,yiim0,0) fx(x,y)不存在，即 fx(x,y)在 点(0,0)不连续,=0,二 fx(0,0)=0同理 fy(0,0)=0.同理fx(x,y)在点(0

15、,0)不连续.f fx(0,0)Ax-fy(0,0)Ay32+(3)2 亠 1pi sin J3x)2 +3y)2 J3x)2 +Qy)2xw A x)2 c ：y)2 f 0, pf 0,二 f 在点(0,0)可微.1但 iimf(0 FWOjm , ：xsin 找T Ax 找二08求下列函数在给定点的全微分：(1)z=(+y4-4x2y2在点(0,0), (1,1); (2)z= 2x ?在点(1,0),(0,1).解：(1)丁乙=4-8乂2, zy=4y3-8x2y在(0,0)和(1,1)都连续， z在(0,0)和(1,1)都可微；又 zx(0,0)=0,駅0,0)=0； Zc(1,1)

16、=-4,駅1,1)=-4;二 dz|(o,o)=O; dz|(i,i)=-4(dx+dy).22 2 XVX +y - ， 2 2(2)V zx= 2 X -= 2y 23 在(1,0)和(0,1)都连续;x +y 讥x2 十y2)3=-xy 在(i,o)和(o,1)也都连续;.(x2 y2)3 z在(1,0)和(0,1)都可微；又 Zx(1,0)=0,矶1,0)=0; Zc(0,1)=1,歇0,1)=0;二 dz|(1,0)=0; dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y)u=xgz+e-z+y. 解:(1) v z=ycos(x+y), z=sin(x+

17、y)+ycos(x+y在 R2 上都连续，z 在 R2 上可微；且 dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dy.(2) v ux=eyz, Uy二xzgz+1, uz=xyeyz-ez 在 R3 上都连续，u 在 R3 上可微；且 dz=eyzdx+(xzz+1)dy+(xyez-e_z)dz.10、求曲面z=arctan在点(1,1,n)的切平面方程和法线方程.x 4解: v z 在 (1,1)处可微，切平面存在.又 2x(1,1)=,zx(1,1)=j , 切平面方程为-押-“+扣-“-寸冋，即x-y+2z=n；nz-法线方程： 2=口= 4，即 2(1-x)=

18、2(y-1)=n-z.11 -1 42 211、求曲面3x2+y2-z2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程 解：3x2+y2-z2=27两边对 x 微分得：6x-2zz=0,. z2.oo32 X3.oo43; (2)sin29?tan46?.解：(1)设 u二x/z3; xo=1,yo=2,z=3; x=o.oo2, y=o.oo3, z=o.oo4;则 u(1,2,3)=1o8; 4(1,2,3)=108; q(1,2,3)=1o8; it(1,2,3)=1o8.由 u(1.002Z003,3.004)=u(1,2,3)+4(1,2,3)Ax+Uy(1,2,3)y+Uz(1,2,3

19、)z, 得 1.002 2.0032 X3.0043108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972.设z=sinxtany;沪討0= 4; x=-孟尸益；则#nn、 1 nn、. n n - 3 nn、 n 2 n -z(6,;)=2;zx(6,;)=tan;cosn=; uz(6,;)=sinnsecr1; sin29?tan46?1-三+丄0.5023.22 180 18014、 设圆台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm,高h=40cm.若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm，求此圆台体积变化的近似值.解：圆台体积为：VRrgJhX+R叶i2),3二3

20、0,20,40)=扌(24020)=32305，Vr(30,20,40)=n(2X40 20+40X30)=2800n,33冗/c c2 2、 1900 冗Vh(30,20,40)=-(30 +300+20 )= 一 ,3 3当 R=0.3A r=0.4A h=0.2 时，3200 n 2800 n 1900 n 3、 V (3+ 01+ C2=820 介 2576(cm3).3 3 3 此圆台体积约增加了 2576cm3.15、 证明：若二元函数f在点P(x0,yo)的某邻域U(P上的偏导函数fx 与fy有界，则f在U(P)上连续.证：T fx,fy在U(P)有界,设此邻域为U(P；E，则存

21、在M0,使|fx|M, |f y|M在U(P;b)内成立.又| f|=|f(x+ x,y+Ay)-f(x,y)|=|f x(x+ 9i x,y+A) x+fy(x,y+ &? y) y|0, ? S=min , ,使1 2(M 1)当 | x | 51 y | 3 时，就有 |f(x+ x,y+y)-f(x,y)|c,d上连续.(1)若在intD内有fx为，试问f在D上有何特性？若在intD内有fx=fy0, f又怎样？在(1)的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解：(1)f(x,y)=(y).即函数值与x无关.理由如下：对intD内任意两点(Xi,y),(

22、x2,y)，由中值定理知：f(X2,y)-f(xi,y)=fx(x+&X2-xi),y)(xxi)=0,即 f(X2,y)=f(xi,y),由(xi,y),(X2,y)的任意性知,f(x,y)=林y).(2)若在intD内有fx=fy0，则f(x,y)二常数，即函数值与x,y无关.证： 对intD内任意两点(X1,yd,(X2,y2),由中值定理知存在丰X1+0i(X2-X1), 刊什 02(y2-y1)，使得f(X2,y2)-f(X1 ,y1)=1X( Ey2)(xX1)+fx(X1, n(y才y, ：fx二fyMD,f(X2,y2)耳(X1,y1).由(X1,yd,(X2,y2)的任意性知

23、，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f在D上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.例如，在矩形区域D=号,| 1 0,2上二元函数f(x,y)=0，D中其它部分在 intD 内,fx书，但不连续,f(1,1)=1; f(-1,1)=0,显然f与x有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立 .r 3例如，设匸(x,y)|x=O,y0, D二R-I,则二元函数f(x,y)=0，；中其它部分在 D 上连续，且 fx毛，但 f(1,1)=1; f(-1,10,即f与x有关，结论不成立.x+y.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctan1 +xy证：设 f(u,v)=arctan v , uo=0,vo=0Au=xAv=y,贝卩1 + uvarctaf(Uo,vo)+fu(uo,vo)A u+fv(uo,vo)Av,其中X + yf(uo,vo)=arctan0=0, 1U