第14次课 因式分解专题学生版.docx

1、第14次课 因式分解专题学生版【昨天很残酷，今天很残酷，明天很美好，不要倒在今天晚上】因式分解专题一、 考点、热点回顾因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一

2、“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；因式分解的十二种方法：1、 提公因法 2、 公式法 3、 分组分解法 4、 十字相乘法 5、 配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 6、 拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 7、 换元法 有时在分解因式时，可以选

3、择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 8、 求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x n则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-xn ) 9、 图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x 2,xn ，则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-xn )10、主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 11、特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或

4、10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例、分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=357 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。二、典型例题1公式法(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+

5、b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) ， 其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)， 其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)， 其中n为奇数例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n

6、-1yn+2-2xn-1yn+4 (2)x3-8y3-z3-6xyz (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4)a7-a5b2+a2b5-b7 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc 例3 分解因式：a7-a5b2+a2b5-b7x15+x14+x13+x2+x+1 2拆项、添项法：因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是

7、使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8 例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3； (2)(m2-1)(n2-1)+4mn； (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4； (4)a3b-ab3+a2+b2+1 3换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12 例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90 例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-

8、7x+6 例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2) 3、课堂实战 1分解因式：(1)x10+x5-2； (2)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5 2分解因式： (1)x3+3x2-4； (2)x4-11x2y2+y2； (3)x3+9x2+26x+24； (4)x4-12x+323 3分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1； (2)x4+7x3+14x2+7x+1； (3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1； (4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20 4、课后反馈 1、 (1) (2) 9(ab)2(xy)2； (3) (x2)212(

9、x2)36 （4） (5) 2. 已知：a+b=3,x-y=1,求a+2ab+b-x+y的值. 3.求证(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一个完全平方式。 4.已知a,b,c是ABC的三条边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0试判断ABC的形状。 5.设x+2z=3y,试判断x29y2+4z2+4xz的值是不是定值？ 6.利用因式分解说明：能被140整除。 7、分解因式： 8、若=0，求证：、三个数中至少有两个数相等。【八数】 因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧

10、性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍1运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+

11、2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn

12、-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小题可以稍加变形，直

13、接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+

14、b)这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c0时，则a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立如果令x=a30，y=b30，z

15、=c30，则有等号成立的充要条件是x=y=z这也是一个常用的结论例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解解 因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用2拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即

16、把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解例4 分解因式：x3-9x+8分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解法1 将常数项8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 将一次项-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 将三次项x3拆成

17、9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4 添加两项-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)

18、2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)将-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)将4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2

19、-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加两项+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)说明 (4)是一道较难的

20、题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验3换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了解 设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-

21、12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2

22、x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x

23、(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2

24、)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2练习一1分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+3233分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-201运用公式法