立体图形及展开.docx

1、立体图形及展开第一讲 立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2。从图中不难看出点F与

2、点N，重合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。【分析与解答】 因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的

3、是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.图(1

4、是一个正方体，图(2是这个正方体的一个平面展开图，图(3、图(4、图(5也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。8.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。第二讲 长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间

5、想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。 【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长高+长x宽=88，即长(高+宽=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l222，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1ll(3+5：88 (22(41+3一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。解：88112X22，222：3+5，112241+3。长方

6、体的表面积：(1(113+1l5+532=206(平方厘米(2(23+2x4l+4132422(平方厘米例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(634个面的面积，即246(6 x34=56(平方厘米。例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从

7、后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面2，即(10+9+82=54(平方厘米。练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方

8、体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米? 5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少平方厘米? 7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块6

9、0块，求这60块长方体表面积的和。9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少? 第三讲 长方体和正方体的体积前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。例题选讲例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米?【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2

10、+3厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100425(平方厘米，那么长方体底面正方形的边长就是255=5(厘米，所以原长方体的体积是：55(2+5+3=250(立方厘米。例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有122=24(条。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了42=8(条棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于248=16(条正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为9616=6(厘米，则每块正方体木块的体积是：666=216(立方厘米

11、。例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：114=4(立方厘米，共凿小长方体3个，即43=12(立方厘米，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是44412+12=54(立方厘米。练习与思考1 把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。2 用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米? 3如图，在一个棱长为20厘米的正

12、方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的 4 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少?5一个表面积是36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米?6 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。7 一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体积。8现有一张长4厘米、宽

13、2。厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?9一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?第四讲 水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水

14、面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。解：50厘米一5分米5(

15、25X20+15 =O25+15=1525(分米答：容器中水深1525分米。例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。解：252520(5050+20=5+20=25(厘米答：露出水面的铁块上被水浸湿的

16、部分长25厘米。例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。【分析与解答】 将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。解：(973+5。20=31420=157(厘米答：这个长方体的高是157厘米。练习与思考1在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?2一个长方体容器，长

17、90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深05米。3一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。4现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?5一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。问：这个水箱的容积是多少?6在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中

18、水深多少分米?7有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？8一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?9现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二

19、次是第一次的3倍，第三次是第一次的25倍。问：大球体积是小球的多少倍?10现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B(如图，要将容器B的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，那么这时的水深是几厘米?11棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米?12在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9厘米，如果把水中的铁块露出8厘米，这时池里的水面就下降4厘米。问：这个铁块的体积是多少立方厘米?第五讲 列方程解题有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解

20、答比较困难，如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑数量关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。例题选讲例1：御苑小学五(3班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3班有多少名学生?【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出8元表示的总价与每人出6元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。解：设御苑小学五(3班有x名学生。8x-84=6x+128x一6x=12+842x=96x=48答：

21、御苑小学五(3班有48名学生。例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为x比较合适呢?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有x吨，则大米有2x吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x一204=x3再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的2倍。我们设有x辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x2比较两种方法，发现后一种

22、方法列出的方程式比较容易解答。解：设有x辆卡车。4x+203z24x+20=6xx=10(4+310+20=90(吨答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。练习与思考1爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有

23、多少人? 4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时，20千米，水流速度是每小时5千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁?6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的15倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。 7.甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册

24、，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册? 9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为735分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?10.如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴影的小三角形的边长为1，求此六边形的周长。第六讲 假设法解题“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。 例题选讲例1:有5元和10

25、元的邮票共20张，总面值125元。问：5元的和10元的邮票各多少张?【分析与解答】假设20张邮票都是10元的，总面值应该是1020一200(元，而实际上只有125元，实际比假设少20012575(元，仔细分析一下为什么比假设少75元呢?原因就是把5元的邮票当作10元算的、，每张就多算10-5=5(元，因此可以求出5元的邮票张数755=15(张则10元的邮票张数为2015=5(张。解：(1020125(10一5=755=15(张5元的邮票张数20-15=5(张10元的邮票张数答：5元的邮票15张，10元的邮票5张。请同学想想如果假设2张邮票都是5元的应该如何解答呢? 例2:中央百货公司委托搬运公

26、司送1000只茶杯，双方签订合同每只运费是O.3元如果打破1只，不但不付运费，而且还要照价赔偿15元。结果搬运公司共得运费291元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯?【分析与解答】 假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费O3 x 1000=300(元，而实际上却少得了运费(300291=9(元，原因是打破了几只茶杯，每打破1只不但拿不到运费，还要赔偿，所以打破1只就损失：03+15=18(元，因此在搬运过程中打破了918=5(只。解：(O3X1000291(O3+15=918=5(只答：在搬运过程中打破了5只茶杯。练习与思考1笼中共有鸡兔100只，鸡兔共有280只脚。问：鸡兔各有

27、多少只?2某搬运站为某商店运800只花瓶，运费为每只3元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿5元，结果搬运站共得运费2352元。问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶?3松鼠爸爸采松子,晴天可以采30个,雨天只能采20个，它一连几天共采了240个松子，平均每天采24个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天?4甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次扣6分，两人各投l0次，共得152分，其中甲比乙多16分。问：甲、乙两人各投中几次？5蜘蛛有8只脚，没有翅膀，蜻蜓有6只脚和2对翅膀，蝉有6只脚和1对翅膀，现在这三种小动物共78只脚，13对翅膀。问：每种小动物各有几只?6甲仓库存粮是

28、乙仓库的2倍，甲仓库每天运出40吨，乙仓库每天运出30吨，若干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有80吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨?7一堆硬币：面值为1分、2分、5分三种，其中1分的个数是2分的ll倍，如果这堆硬币共1元，那么5分硬币有多少个?8某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道。评分标准是：答对l题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。 9紫金小学买来单价分别是3元、4元、5元的奖品共200份，共花去780元，其中4元和5元的奖品份数相同。问：三种奖品各买了多少份?10有一筐苹果，把它们三等分后还剩2个，取出其中两份，将它们三等分后还剩2个

29、，再取出两份，将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果至少有几个?第七讲 代换法解题在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。例题选讲例1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格?【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1个足球：2个篮球，1个足球=3个排球，一个足球=1个篮球+1个排球+1个垒球，由此可以推出2个篮球=3个

30、排球，即1个篮球：15个排球，又1个篮球：1个排球+1个垒球，所以1个垒球一O5个排球，即2个垒球=1个排球，因此1个足球=23=6(个垒球。例2:5只同样的红球和18只同样的绿球共重396克，已知1只红球和3只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克?【分析与解答】摘录条件：(15只红球+18只绿球=396，(21只红球=3只绿球，由(2）可得5只红球=15只绿球，因此用15只绿球代替（1）中5只红球可得15只绿球+18只绿球=396，即33只绿球=396，所以每只绿球=396(15+18=12(克，每只红球的重量=123=36(克。同学们想一想用几只同样的红球可以代换18只绿球，又如

31、何计算呢?例3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三人年龄之和是109岁。问：三人各几岁?【分析与解答】摘录条件(1甲=2乙+3，(2乙=2丙-2，由(2可得2乙=4丙-4，又根据(1可得甲=4丙=1，如果甲正好是丙的4倍，乙正好是丙的2倍，那么年龄和应是(109+l+2=112(岁，也就相当于丙的(4+2+1倍，因此丙的年龄=1127=16(岁。乙的年龄：16X22=30(岁，甲的年龄=302+3=63(岁。练习与思考1.2只红球与4只蓝球的重量相等，3只蓝球的重量等于1只红球加1只黑球的重量，那么几只黑球的重量等于3只红球加4只蓝球的重量?2.百货商店运来400双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱中，如果2个纸箱同1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋?3.有红、黄、蓝三色笔共94枝，已知红色笔比黄色笔的2倍少2枝，黄色笔比蓝色笔的2倍多4枝，求三色笔各多少枝?4.一批货物，如果用大号集装箱要20只箱子，如果用小号集装箱装，要25只箱子，已知大号箱比小号箱可多