浅谈中西数学发展之异同.docx

1、浅谈中西数学发展之异同 浅谈中西数学发展之异同教育在社会发展中的痕迹中西古代数学在其发展过程中形成了两种截然相反的倾向：逻辑演绎倾向和机械算法倾向。为什么会出现这两种不同风格的数学体系、数学思想呢？我们从其发展过程来寻找原因，不难发现，由于中西方各自历史发展以及地理条件差异等原因，中西方数学从古至今在各自教育体系中的地位、受重视情况是不相同的。这就必然产生这两种风格不同的数学体系与思想，即中西方数学差异具有客观必然性。那么，同是数学，中西方数学体系与思想必然也有其共同之处。接下来，我想从中西方数学各自的具体发展过程来谈谈中西方古代数学发展之异同及其异同之历史必然性的原因以及这一异同现象引起的一

2、些思考。（此部分可作为前言写出来）首先，我们需要理清中西方数学各自发展进程。中国数学发展脉络大致如下：一、起源与早起发展据易系辞记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共13个独立符号，记数用合文书写，其中，有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹（阳县西汉墓出土），中国古代计算工具。算筹产生年代已不可考，但可以肯定的是算筹在春秋时代已经很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间（法则是：一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。即：个位用

3、纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式，以此类推。）并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除运算建立了良好条件。在几何学方面，史记夏本记中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理（西方称勾股定理）的特例。战国时期，齐国人著的考工记汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，如角的概念。战国时期，一些学派总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有墨经中关于某些几何名词的定义和命题，例如：“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。庄子记载了惠施等人的名家学说和恒团、公孙龙等辩

4、者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一。”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题都是相当可贵的数学思想。此外，还有易经讲述阴阳八卦，预言吉凶。二、数学发展繁荣时期西汉-隋唐中叶，是中国数学发展繁荣时期，这是中国数学理论的第一个高峰期。这个高峰期的标志是数学专著九章算术的诞生。这本书的诞生，不仅说明我国完整的数学体系已经形成，而且在世界上，当时也很难找到另一本能与之媲美的数学专著。在这一数学理论发展的高峰期，除了九章算术这部巨著之外，还出现了刘徽注释的九章算术，以及他撰写的海岛算经、孙子算经夏侯阳算经、张丘建算经和

5、祖冲之的缀术。周髀算经，西汉末年（公元前一世纪）著，尽管是谈论宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两方面成就：1、提出勾股定理的特例及普及形式；2、测太阳高、远的陈子测日法，是后来重积术（勾股测量法）的先驱。此外，还有复杂的开方问题和分数运算等。九章算术约成书于东汉初年（公元前一世纪），是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作。九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，如：解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。同时，九章算术在数学上还有其独到的

6、成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。刘徽(生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产。 九章算术记载了许多中国古代数学方面的成就，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的

7、贡献他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作。祖冲之（公元429年公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。在数学方面，他写了缀术一书，被收入著名的算经十书中，

8、作为唐代国子监算学课本，可惜后来失传了。缀术是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果。这本书被认为内容深奥，以致“学官莫能究其深奥，故废而不理”（隋书）。缀术在唐代被收入算经十书，成为唐代国子监算学课本，当时学习缀术需要四年的时间，可见缀术的艰深。缀术曾经传至朝鲜、日本，但到北宋时这部书就已亡佚。三、数学的全盛时期隋以前，学校里的教育并不重视数学，因此，没有数学专业一说。到了隋朝，这一局面被打破了，在相当于大学的学校里开始设置算学专业。到了唐朝，最高学府国子监，还添置了算学馆，其中，博士、助教一应俱全，专门培养数学人才。这时，数学受重视还反映到了选官问题上。据古书唐阙史

9、记载：唐代有个大官，叫杨损，他让手下的人推荐一个优秀的办事员加以提升。手下经过千筛白选最后剩下两个人时，拿不定去掉哪一个好。因为，这两个人的条件太相似了：职位相同、工龄一样，评语类似不好选，只好报告上面。杨损得知此事后也费了不少心思，斟酌再三，最后决定出一道数学题。他对他们说：“作为办事员，职业决定你们应该有算的快的能力，我出一道题，谁先答对就提升谁。”后来，先答对的人自然得到了提升，而另一个人也心悦诚服地回到了原位。公元10世纪至14世纪初叶的三百年间，中国古典数学得到极大发展，不少工作处于世界领先水平，这就是人们所说的宋元数学的全盛时期。公元1084年北宋政府秘书省第一次印刷出版了算经十书

10、，为宋朝数学发展创造了良好的条件。宋朝涌现许多杰出的数学家，出现了大批有份量的数学著作。宋代抽象的数学成就极高，在希腊文明与西方之间的空白地带鹤立鸡群。宋的代数学充分发挥了绝对化的方法，把汉代方程解法的组合变换式发展到了一个奇妙的境界，不但在解法上解决了很多问题，也提出了高次方程、虚根等问题。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成黄帝九章算经细草，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，故能传世。杨辉详解九章算法（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。详解九章算法同时录有贾宪进行高次开方的“增乘开方法”。 贾宪黄帝九章算

11、经细草开启了中国古代数学发展之巅峰。秦九韶，在数书九章中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。秦九韶还推广了孙子定理，他的“大衍求一术”将孙子定理的方法从较小的数和较少的同余式个数推广到一般解法。秦九韶的大衍求一术整数论中一次同余式的解法，比欧洲的尤拉和高斯的有关研究要早500年。秦九韶还得出了与希腊海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式。刘益的“益积术”、“减从术”也是对系数组合进行变换的技术。李冶，公元1248年发表测圆海镜，该书是首部系统论述“天

12、元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。杨辉公元1261年在详解九章算法中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和，给出了几种高阶级数的求法。公元1274年在乘除通变本末中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。此外杨辉还发展了九宫图，他作了圆、直线交叉的组合。使宋在组合数学上也有进步。杨辉在数学组合上指出44数学方阵上交换对角结果，可惜他以后没有进一步发展。沈括，创立了“隙积术”和“会圆术”。沈括通过对堆积的酒坛和垒起的棋子之类有空隙的堆积体的研究，提出了求它们的总数的方法，这就是“隙积术”，“隙积术”其实质是高阶等差级数求和，他是中国第一个高阶级等差级数。沈括还从计算

13、田亩出发，考察了圆弓形中弧、弦和矢之间的关系，提出了由弦和矢的长度求弧长的近似公式，这就是“会圆术”。会圆术是一个几何问题，把勾股定理用于从弓行的弦、和矢求弧长。隙积术和会圆术是后世垛积术及弧矢割圆术之先河，为中国古代数学开辟了新的研究方向。四、缓慢发展阶段中国数学从14世纪开始，处于缓慢发展阶段。数学本身无适应性的符号，不便于运算；知识分子地位地下，明时期八股取士，自由思想窒息。明代研治数学的人为数不少，著述也相当多。据有关书目文献记载，明代算书约有一百二十余种，其数量超过了以往的任何时代。特别是在明代，中国传统数学的一些重要典籍大多还有传本.尽管有较好的文献基础，但是，明代数学家对一些古典

14、数学名著却缺乏深入的研究，明代数学的总体水平并不高。例如宋元时所取得的诸如天元术、四元术、招差术、垛积术、大衍求一术、增乘开方法等重大数学成就，在明朝统治时期已大都少人理解，因而没有能够得到很好的继承和发展。明代数学在传统数学研究方面开始衰落,明代的商品经济相当发达，因此，明代在数学理论上虽然没有什么建树，但随着商品经济的发展，商业数学得到了较大的发展，其突出表现是在当时一些重要数学著作中出现了更多的与商业贸易有关的应用问题。吴敬九章详注比类算法大全（现通称九章算法比类大全）可说是这方面的代表作。算法统宗，全称是新编直指算法统宗。书中详细介绍了珠算盘的定位方法、加减乘除口诀和其他简算口诀。这些

15、口诀已相当完善，至今还在继续使用。算法统宗的编著和流传是从筹算到珠算这一转变完成的标志。从此，这种携带方便、使用方法简便的珠算盘，成为主要的计算工具，一直到现在还在我国人民中间广泛地应用着，充分显示了适应社会需要的创造发明的强大生命力。不仅如此，珠算盘和有关著作还流传到朝鲜、日本等亚洲国家，并且受到了这些国家的欢迎。古希腊、罗马和俄国也曾有过算盘，它们的形制与中国算盘不同，并且由于使用不便而都被淘汰了，其作用和影响是根本不能与中国算盘相比的。明代算法统宗，代表了明代商业数学的最高成就，清代自产的数学知识就比较少.。春秋中文社区清代康熙帝组织编撰了数理精蕴一书,比较全面地叙述了算术、几何、代数、

16、三角等学科的成就。但是这仅是一部当时中国传统数学和引进的西方数学知识的百科全书.原创性方面比不上明代的.此外乾隆还有一部四库全书中编写的科学巨著畴人传是中国传统数学的整理研究。雍正年间数学停滞不前，断绝了和罗马教皇联系后，对外闭关自守,对内加强思想控制。所有的科技工作基本停止了。汪莱（17681813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，著作有衡斋遗书9卷和衡斋算学7册,是中国方程论的集大成者。陈世仁（1676-1722），康熙时翰林，数学家，著有少广补遗一卷，对于“级数”颇有研究，发现了许多据说是前人从来没有谈过的公式。书中一直研究到奇数偶数平方立方的无穷级数和等问题。春秋中文社区总的来说，明代主

17、要在商业数学上成就较高，特别是珠算在明代达到了最高成就，影响到现在，清代主要是引进和总结前代的数学成就，自创的数学较少。国外数学发展可以划分为以下几个时期：一、美索不达米亚亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的两河流域，古称为美索不达米亚。公元前十九世纪，这里建立了巴比伦王国，孕育了巴比伦文明。考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板，现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。算术古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等

18、数表来实现的。巴比伦人书写数字的方法，更值得我们注意。他们引入了以60为基底的位值制(60进制），希腊人、欧洲人直到16世纪亦将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。代数巴比伦人有丰富的代数知识，许多泥书板中载有一次和二次方程的问题，他们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法一致。此外，他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。在1900B.C.-1600B.C.年间的一块泥板上(普林顿322号)，记录了一个数表，经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长，由此推出另一个直角边边长，亦即得出不定方程的整数

19、解。几何巴比伦的几何学与实际测量是有密切的联系。他们已有相似三角形之对应边成比例的知识，会计算简单平面图形的面积和简单立体体积。我们现在把圆周分为360等分，也应归功于古代巴比伦人。巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题引出了二次方程；讨论棱椎的平头截体的体积时出现了三次方程。古巴比伦的数学成就在早期文明中达到了极高的水平，但积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。二、古希腊数学非洲东北部有一条举世闻名的大河尼罗河它穿过非洲北部的撒拾拉沙漠，流入地中海，两岸狭长的地带便成了肥沃的绿洲河的下游经过的地方，孕育了最古老的文明之一埃及尼罗

20、河三角州一带盛产一种水草，这种形状如同芦苇的水生植物的名字叫纸莎草古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写的字，叫纸草书，有不少古埃及纸草书一直保留到今天，成为我们考察埃及历史文化的珍贵材料埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字保存下来的最早记录数学知识的纸草书，现在就珍藏在大英博物馆写这份纸草书的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年的阿摩斯从纸草书上，人们发现古代的埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，按土地面积应征收地税，等等这些知识换成数学语言就是：加减乘除运算，分数的运算；一元一次方程和

21、一类相当于二元二次方程组的特殊问题，纸草书上还有关于等差数列和等比数列的问题他们学会了计算矩形、三角形和梯形的面积，长方体，圆柱体，棱台的体积等结果，与现代计算值相近，并且，他们用公式A（8/9d）2，（d为直径）来计算圆面积，相当于取值为3.1605，这是十分了不起的结果具有了这样的数学知识，古埃及人为什么能建成金字塔就更容易解释了。金字塔是法老的坟墓，法老是古埃及的皇帝今天，在尼罗河三角洲南面散布着七十多座金字塔齐阿普斯皇帝的金字塔是其中规模最大的一座，塔原146、5米（现因损坏还高137米）基底正方形每边长233米（现为227米）但是，各底边长度的误差仅为1.6厘米，只是全长的1/140

22、00，基底直角的误差只有12，仅为直角的1/27000此外，金字塔的正个正面向着东南西北，底面正方形两边与正北的偏差，也分别只为230和530塔内还有通道、石阶、墓室等这座金字塔约建成公元前2800年，在1889年巴黎埃菲尔铁塔建成以前的4600多年间，它一直是世界上最高的建筑物。如此高大的金字塔，建筑精度如此之高，使得科学家深信，古埃及人已掌握了丰富的几何知识最终，我们从纸草书上的文字中获得了证实算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处,具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制,但是不知道位值制。根据史料记载，埃及象形文字似乎只限于表示107以前的数。由于是用象形文字表示数，进行相

23、加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数。但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简单。乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加。例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着1212的计算方法，是从右往左读的。我们以现代数字来表示，这就是倍增法1 122 24/ 4 48/ 8 96合计 144由上表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么1212为12的4倍加上12的8倍恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(上表以现代阿拉伯数字为例，因此在左侧标出)标记斜线，算得结果144。在更早的时期，埃及人也采用“减半

24、法”来计算乘法。首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半。例如纸草书(卡芬版)第6页，计算1616，是按如下方法计算的，即减半法(mediato)/ 1 16/ 10 160/ 5 80合计 256这种乘法的计算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法。除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中。例如，计算1120801 80/ 10 8002 160/ 4 320合计 1120以上求解的基本思路是10倍的80加上4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80。分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多。例如，他们把2/3理解为“二个部分”，并且

25、把能使“二个部分”变成整体的部分叫做“第三部分”。例如： 二个部分”即2/3“第三部分”即1/3三个部分”即3/4“第四部分”即1/4 这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体。按此规律理解，五分之一可以认为与四个部分结合成一个整体的第五部分。从语言角度，五分之二就无法表达了。随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数。对一般的分数则拆成“单位分数”表示(拆法不一)。例如： 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/283/8=1/4+1/8 2/5=1/3+1/20+1/60 代数在兰德纸草书中，因为求含一个

26、未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”阿哈算法实际上是求解一元二次方程式的方法。兰德纸草书第26题则是简单一例。用现代语言表达为： 一个量与其1/4相加之和是15，求这个量。古埃及人是按照如下方法计算的：把4加上它的1/4得5，然后，将15除以5得3，最后将4乘以3得12，则12即是所求的量。这种求解方法也称“暂定前提”(false assumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数。在兰德纸草书第26题中，选择了4，因为4的1/4是容易计算的，然后，按照上面的步骤进行计算。在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：

27、如果取一个正方形的一边的3/4(原文是1/2+1/4)为边做成新的正方形，两个正方形面积的和为100，试计算两个正方形的边长。不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一个正方形的边长为3/4，自乘得9/16，两个正方形面积的和为1+9/16，其平方根为1+1/4，已知数100的平方根为10，而10是1+1/4的8倍。原文残缺不全，其结果是容易推测的，即18=8，83/4=6，即两个正方形的边长分别为8和6。埃及人对“级数”也有了简单的认识。在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”、“猫”、“老鼠”、“大麦”、“容器”，最

28、后，给出和数为19607。实际上，这是公比为7的等比数列。对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7蕙大麦，每蕙大麦种植后可以长出7容器大麦。”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题。几何埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容。他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则。埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积。把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积。另外，埃及人还能对不同的面积单

29、位进行互相换算。在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题。但是，他们把四边形二对边之和的一半与另二对边和的一半之积作为面积，这显然是不对的，只是长方形时，这才是正确的计算公式。埃及人曾采用S=(8d/9)2(其中S是圆的面积、d是圆的直径)来计算圆的面积。由此得到： 4(8d/9)23.16049。 能把精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取=3。在计算体积方面，经考察兰德纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”。有材料证实

30、，在埃及集合中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为： V=h/3(a2+ab+b2) 其中h是高，a和b是上、下底的边长。三、古希腊数学古希腊在数学史中占有不可分割的地位。古希腊人十分重视数学和逻辑。希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。古希腊第一位伟大的数学家泰勒斯，曾利用太阳影子成功地计算出了金字塔的高度，实际上

31、利用的就是相似三角形的性质。在泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者，对数学做出了极为重要的贡献。发现“勾股定理”，是他们最出色的成就之一，因此直到现在，西方人仍然把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”。正是这个定理，导致了无理数的发现。在毕达哥拉斯之后，数学史上著名的“诡辩家”芝诺，又首先提出了“悖论”这个概念，并叙述了四条著名的悖论。伟大的古希腊哲学家亚里士多德，是人类科学发展史上最博学的人物之一，正是他所创立的逻辑学，对古希腊数学的发展产生了深远的影响。到了欧几里德时代，几何学已经成为一门相当完整的学科了。欧几里德的名著几何原本，是世界数学史上最伟大的著作之一。时至今日，我们在初中阶段学习的平面几何，大部分知识依然来源于古老的几何原本。继欧几里德之后，古希腊伟大的数学家、物理学家阿基米德更是开创了希腊数学发展的黄金时代，也就是数学史上著名的“亚历山大时期”。阿基米德在数学方面的贡献，远远超越了他所生活的时代，因此他被后人尊称为“数学之神”。他设计出一种“大数体系”，根据这个理论，即使整个宇宙中都填满了细小的砂粒，也可以毫不费力地计算出砂粒的总数目。他还计算出圆周率的值在223/71和22/7之间。还有几何学中著名的“阿基