最优控制理论.pptx

1、,最优控制理论,合肥工业大学电气与自动化工程学院,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,2,先修课程自动控制理论、现代控制理论基础教学时间安排授课：24学时 学分：1.5学分,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,3,授课内容第1章引言第2章用变分法求解最优控制问题 第3章极小值原理及其应用第4章线性二次型问题的最优控制 第5章动态规划法,电气与自动化工程学院School

2、of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,4,第1章引 言最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择 控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。1.1 最优控制发展简史一、现代控制理论现代控制理论是研究系统状态的控制和观测的理论，主要包括5个方面：1、线性系统理论：研究线性系统的性质，能观性、能控性、稳定性等。以状态 空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。2、系统辨识：根据输入、输出观测确定系统数学模型。3、最优控制：寻找最优控制向量u(t)。根据给定的目标函数和约束条件,寻求最优的控制规律的问

3、题。4、最佳滤波（卡尔曼滤波、最优估计）：存在噪声情况下，如何根据输入、输出 估计状态变量。5、适应控制：利用辨识系统动态特性的方法随时调整控制规律以实现最优控制，即在参数扰动情况下，控制器的设计问题。把鲁棒控制、预测控制均纳入到现代控制理论的范畴。,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,5,二、最优控制的发展简史第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输 入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对 控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输

4、入多输出的，参 数是时变的。面临这些新的情况建立在传递函数基础上的自动调节原 理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传 递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程 结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最 优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，20世 纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特 性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。,电气与自动化工程学院,2008 HFUT,最优控制理论,School of Electric

5、al Engineering and Automation,6,二、最优控制的发展简史先期工作：1948年，维纳(N.Wiener)发表控制论，引进了信息、反馈和 控制等重要概念，奠定了控制论(Cybernetics)的基础。并提出了 相对于某一性能指标进行最优设计的概念。1 950年,米顿纳尔(Medona1)首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下 的过渡过程的时间最短最优控制问题。1954年，钱学森编著工程控制论（上下册），作者系统地揭 示了控制论对自动化、航空、航天、电子通信等科学技术的意义 和重大影响。其中“最优开关曲线”等素材，直接促进了最优控 制理论的形成和发展。,电气与

6、自动化工程学院,2008 HFUT,最优控制理论,School of Electrical Engineering and Automation,7,理论形成阶段：自动控制联合会(IFAC)第一届世界大会于1960年召开,卡尔曼（Kalman）、贝尔曼（R.Bellman）和庞特里亚金（Pontryagin）分 别在会上作了“控制系统的一般理论”、“动态规划”和“最优控 制理论”的报告,宣告了最优控制理论的诞生,人们也称这三个工作 是现代控制理论的三个里程碑。,19531957年，贝尔曼(R.E.Bellman)创立“动态规划”原理。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基

7、本的递推关系式使过程连续地最优转移。“动态规划”对于研究最 优控制理论的重要性，表现于可得出离散时间系统的理论结果和迭 代算法。,电气与自动化工程学院,2008 HFUT,最优控制理论,School of Electrical Engineering and Automation,8,19561958年，庞特里亚金创立“极小值原理”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于“最大值原理”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法 和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法。同时，庞特里亚金在最优过程的数学理论著作中已经把

8、最优控制理论初步形成了一 个完整的体系。此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性 工作，还有不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩图克定理)以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,9,三、研究最优控制的方法从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值 问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属 于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭 集的一类最优控制问题，这就要求人

9、们研究新方法。在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者 庞特里雅金提出的“极大值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动态规划”。,极大值原理是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，先是 推测出极大值原理的结论，随后又 提供了一种证明方法。,动态规划是贝尔曼在1953年至1958年间逐步创立的，他依据 最优性原理发展了变分学中的 哈密顿-雅可比理论，构成了动 态规划。,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,10,四、求解最优控制问题可以采用解析法或数值计

10、算法由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可 用的计算工具，为实际应用一些更完善的数学方法提供了工程实现的物 质条件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现 有了可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科 目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。无约束 变分法,有约束 极值原理、动态规则,区间消去法,爬山法,梯度法,最 优 控 制 问 题,解析法,数值计算法,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,11,D,d t,d,Km ID T

11、F J,（1）,其中，Km 为转矩系数；J D为转动惯量；为恒T定F 的负载转矩；,最小，求,希望：在时间区间0，tf内，电动机从静止起动，转过一定角度,E,t,DD,f,RI(t)d t,2,0,后停止，使电枢电阻RD 上的损耗,I(t),D,的函数，E 是函数的函数，称为,因为ID 是时间的函数，E 又是 ID泛函。,t f,(t)d t const,0,（2）,1.2 最优控制问题的实例什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明问题61电动机的运动方程为,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,最小。最

12、优控制理论,2008 HFUT,12,采用状态方程表示，令,1,x,x2 x1,D,DD,m,J,I,J,x,K TF,2,于是,DD,J,J,1 TF,0 0,0 x Km ID,x 0,0,2,1 x1,2,x1,（3）,0,2,x(0),初始状态 x1(0)0,0,x2(t f),末值状态 x1(t f),控制 ID 不受限制,性能指标E,t,DD,f,RI(t)d t,2,0,（4）,本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个 控制ID(t)，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineer

13、ing and Automation,2008 HFUT,最优控制理论,13,问题62对于问题61 中的直流他励电动机，如果电动机从初始 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制ID(t（)ID(t)是 受到限制的），使得所需时间最短。这也是一个最优控制问题：,系统方程为,DD,JJ,0 0,0 x Km ID 1 TF,x 0,0,2,2,x1 1 x1,0,2,x(0),初始状态 x1(0)0,0,x2(t f),末值状态 x1(t f),ID max,ID(t),（5）,性能指标,t f,J 0d t t f,（6）,ID max,最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最

14、优控制I D(t)，将 x(t f)转移到 x(0)，使J为极小。,电气与自动化工程学院,2008 HFUT,最优控制理论,School of Electrical Engineering and Automation,14,例1.1 月球上的软着陆问题飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推 力u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发 动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带 燃料的飞船质量为M，初始燃料的总质量为F初始高度 为h0，初始的垂直速度为v0，k

15、为比例系数，表示推力与燃 料消耗率的关系，那么飞船的运动方程式可以表示为：,m(t),u(t),v(t)g,m(t)ku(t),h(t)v(t),初始条件,m(0)M F,v(0)v,0,h(0)h0,终端条件,h(t f)0 v(t f)0,约束条件0 u(t),J m(t f),性能指标是使燃料消耗为最小，即达到最大值,我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由 初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。,电气与自动化工程学院School of Electrical Engineering and Automation,2008 HFUT,最

16、优控制理论,15,系统状态方程为,x f(x,u,t),初始状态为 x(t0),最优。其中,是 x、u 和t 的连续函数,L(x,u,t),其中，x 为n 维状态向量；u 为r 维控制向量；f 为n 维向量函数，它是 x、u 和t 的连续函数，并且对x、t 连续可微。寻求在 t 0,t f 上的最优控制u Rr 或 u U Rr，以将系统状,态从 x(t0)转移到 x(t f)或x(tf)的一个集合，并使性能指标t f,0,J x(t f),t f tL(x,u,t)d t,最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。,1.3 最优控制问题的提法,电气与自动化工程学院,2008 HFUT,最优控制理论,School of Electrical Engineering and Automation,16,在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。1)有一个被控对象（受控系统的数学模型）,一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一般形式为：x(t)f(x(t),u(t),t)x(t0)x0,x(t)u(t),是n维状态向量为p维控制向量,在t