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1、第四届北京师大学数学建模竞赛参赛论文第四届北京师范大学数学建模竞赛参赛论文水资源利用效率评估指标体系和效益评价模型2008-4-28摘要：在水资源日益紧缺的今天，为了提高生活、生产和生态用水的效率与效益，建设节水型社会，需要有一套比较完善的用水效率与效益评估体系。本文在充分考虑水资源总量有限和产业结构影响的基础上，利用系统分层法，构建了一套水资源利用效率评估指标体系。在此基础上，利用DEA模型的原型，建立了水资源利用效益评估模型。最后，本文结合指标体系与评估模型，按行业专项和地区综合分别对水资源行业利用效率和地区利用综合效益进行了评估。在对地区综合用水效益进行评估时，由于各指标的权重向量未知，

2、所以本文运用SPSS软件对计算结果进行聚类分析，以便于省际的归类比较。本文的主要内容可分为以下几个部分：一、问题的重述与分析。对问题进行重述，分析了题目所给出指标的性质与作用。二、模型假设与符号说明。对模型的前提假设与模型中出现的符号进行说明。三、模型的建立。主要运用Charnes-Cooper变换和对偶理论对多目标规划问题进行处理，将初始的分式规划问题转化为线性规划问题，建立起C2R评价模型，给出了规模效益的求解公式，该数据可在决策单位（本文中指各省市水资源利用系统）进行产业结构调整时提供依据和方向。（1）DEA模型的最终数学表达式如下：其中，为可获得的数据向量，均为模型的输出结果向量，即为

3、决策单位的相对利用效率。（2）规模效益的求解公式：它与1的大小关系指导着决策单元的投入和产出的调整量： 时，为获得更大的产出，系统应增加投入量；时，系统达到最大产出规模点；则意味着，在现有基础上，系统即使增加投入也不会有更大收益了。四、利用系统分层思想，给出评价指标体系。为使用DEA模型的方便起见，对评价指标做了微调后，得到DEA模型的输入变量与输出变量。其中，指标体系的构建遵循“契合评估角度”的原则，参照RSWRS指标系统，将水资源利用效益分为经济、社会、生态三个子效益来分别考虑。五、利用提供的数据和自己所获得的数据，解决题目中的4个小题并作出相应分析。六、模型的评价。对模型进行客观评价，指

4、出模型的优点与不足。关键词：DEA模型 线性规划 水资源利用效率 效益评估一、问题的重述和分析我国淡水资源总量为2.8万多亿m3，人均仅有2200m3，为世界平均水平的1/4，是全球13个人均水资源最贫乏的国家之一。截至2005年下半年，全国城市缺水总量已经高达60亿m3，全国660多个城市中有400多个存在不同程度的缺水。尽管水资源严重缺乏，水资源浪费、利用效率及效益低下的现象却普遍存在，这是粗放的经济发展模式的必然结果，同时也是制约我国经济社会可持续发展的瓶颈。因此，逐步提高水资源的利用效率及效益是建设节水型社会的核心问题，以水资源的可持续利用保障经济社会的可持续发展，在水资源总量有限的情

5、况下，提高生活、生产和生态用水的效率和效益，将获得经济效益、社会效益和生态效益多赢的局面，建立自然环境与人类共同的和谐社会。基于上述考虑，有必要建立水资源利用效率评估指标体系和效益评价模型，用于对全国范围内不同行业、不同城市进行水资源利用效率和效益评估，为政府行政主管部门提供水资源科学管理的决策依据，进行合理的产业结构的调整，促进节水技术和产品的推广，实现水资源的可持续发展。在建模中要充分考虑到各省市自然条件和产业结构的差异，使得评价的结果确实能够指导节水增效，真正有助于改善水资源利用的实际情况。关于我国水资源的利用已经有了一些初步的研究成果，形成了一系列反映水资源利用状况的指标，有反映水资源

6、自然属性的指标，如水资源总量、年降水量等；有反映水资源经济属性的指标，如农业万元GDP用水量、工业万元GDP用水量等；有反映水资源环境属性的指标，如人均COD排放量等；也有反映水资源社会属性的指标，如人均水资源量、人均生活用水量等。这些指标都可以从一个侧面反映出水资源利用的效率或效益，但是由于各个指标联系不太紧密，很难针对某个地区进行综合用水效益评估。本文将利用题目提供的数据或自己收集到的数据，建立效益评价模型，解决下列问题：（1）利用提供的数据，分别对各个行业水资源效率进行专项评价。（2）利用提供的数据，考虑到各个省市的水资源条件和产业结构差异，给出这13个省市的综合用水效益的合理评价。（3

7、）考察上述反映水资源利用情况的指标是否已构成了一个合理的水资源利用效率和效益评估指标体系。（4）建立水资源利用效率和效益评估指标体系与评价模型，收集我国各个省市水资源利用情况，按行业专项和地区综合分别进行水资源利用效率和效益评估。二、模型假设和符号说明1、 假设决策单元（DMU）是系统封闭的，不受本文所确定的指标体系之外的因素影响；2、 假设决策单元投入指标和产出指标在评估期间视作定值，其中为决策单位的数量，；3、 记为所求的水资源利用效率（维向量），也就是问题解答中的DEA相对效率；4、 其他重要程度不高的或仅出现在推导过程中的变量符号及含义在文中给出。三、模型的构建（一）DEA模型的优点数

8、据包络（DEA）分析方法是一种非参数估计方法，适于处理多指标数据，并且不需要数据本身满足一个明确的函数形式，只需评判者给出评判对象（称为决策单元）作为一个具有反馈性质的封闭系统的“投入”和“产出”向量，即可获得对应的相对效率评判值。此方法不受人为主观因素的影响，相对于一般方法存在一定的优越性，尤其适用于缺乏相关专业知识或不方便给指标赋予权重的评判者。（二）数据包络（DEA）分析模型1.数据包络分析一般应用流程图 1 数据包络分析一般应用流程图2.决策单元决策单元（Decision Making Units, DMU），就是DEA方法将一个系统或一项活动看作是其在一定的范围内，通过投入一定数量的

9、“生产要素”并且产出一定数量的“产出”的过程。在这里，我们可以将各省市水资源利用系统看成一个决策单元。设现有n个决策单元，每个决策单元都有m种类型的“输入”(表示该单元对“资源”的消耗)以及s种类型的“输出”(表示该单元在消耗了“资源”之后的产出)。其中，的输入输出矩阵分别为：输入指标 输出指标 其中，第j个对第i种输入的投入量，；第j个对第r种输入的产出量，；第i种输入的一种度量（或称为权）；第r种输出的一种度量（或称为权）。这里，为已知数据，可以根据历史资料得到；而和为变量。对于每个决策单元，投入越少，产出越多，则效率越高，故可以将效率评价指数定义为：我们总可以适当的选取权系数V和U，使得

10、满足 因此，可以用效率评价指数来反映决策单元用水效率。3.评价模型模型可以对决策单元的投入规模有效性和技术有效性同时进行评价，即模型中的DEA为有效决策单元既是规模适当的又是技术管理水平高的。现在要对第个决策单元进行效益的评价（），以权系数V和U为变量，以所有决策单元的效率指数为约束，构建如下的最优化模型：由上可以看出，决策单元是不是有效，是相对于其他所有决策单元而言的。其向量化表示为：上述问题是一个分式规划，利用Charnes-Cooper变换，即令：则有：可得到线性规划模型，即的等价线性规划问题： （1）上式求解比较困难，所以在实际计算时通常是利用（1）的对偶模型求解。（1）式的对偶模型为

11、： （2）其中，为引入的松弛变量。但在评价决策单元是否为DEA有效时，如果利用（2）对偶线性规划问题时，需要判断是否它的所有的最优解都满足 并且 由于上述的判断比较困难，所以我们借用了A.Charnes和，构建带有非阿基米德无穷小量的模型：（3）其中，同样利用Charnes-Cooper变换，即令：分式规划（3）化为线性规划问题 （4）（4）式的线性对偶规划问题为 （5）其中，假设线性规划问题（5）的最优解为，显然线性规划问题（5）的最优值具有复数形式：，其中：数表示决策单元的弱相对DEA有效性的效率评价指数；数b表示过剩与输出不足的最优松弛变量之和。就可利用（5）的最优解来判断决策单元的DE

12、A有效性和弱有效性。通过模型判断的有效性的【判定定理】：线性规划问题（5）的最优解为。如果，则为DEA弱有效；如果，且，则为DEA有效；否则，为非DEA有效。其经济含义分别为：当且时，则称决策单元为DEA有效，即在这n个决策单元组成的系统中，在原投入的基础上所获得的产出已经达到最优；当且或时，则称决策单元为DEA弱有效，即在这n个决策单元组成的系统中，对于投入可减少而保持原产出不变，或在投入不变的情况下可将产出提高；当时，则称决策单元为DEA无效，即在这n个决策单元组成的系统中，可通过组合将投入降至又投入的比例而保持原产出不减。4.模型求解由于上面模型仍然为线性规划模型，可以通过Matlab中

13、的线性规划模型函数x,fval=linprog(f,A,Aeq,beq,lb,lu)进行求解。其中x为模型的未知变量；fval为目标函数值；f为优化参数x的系数矩阵；A,b分别为不等式约束的左端系数矩阵和右端常数向量；Aeq，beq分别为等式约束的左端系数矩阵和右端常数向量；lb，lu为变量的下界和上界。具体的计算步骤：根据提供的数据确定，；根据建立的模型，找出函数需要的参数f,A,Aeq,beq,lb,lu；将参数代入Matlab函数中计算模型变量；对计算结果按上文所述有效性判定定理进行分析，最终确定各个决策单元的排序。5.DEA方法中的规模收益值规模收益是分析资源相对利用率的一个指数，对决

14、策者具有重要的指导作用。经济学中讨论的生产过程中的效率问题包括：（1）增加一定比例的投入得到更大比例产出的增加；（2）减少一定比例的资源消耗得到较小比例的产出降低；（3）能否以相对较小的投入得到较大的产出。其中，（1）（2）指规模有效益。规模收益有递增、不变、递减三种情况，分别指所有投入要素按一定比例发生改变时，产出水平以较大、相同、较小的比例发生改变。当决策单元处于规模效益递减阶段，决策者应考虑增加生产投入；若生产单元处于规模收益递减阶段，决策者就应考虑减少投入，以节约资源。记 则k为的规模收益值：(1)当k=1，表示的规模收益不变，此时达到最大产出规模点；(2)当k1，表示规模收益递减，且

15、k值越大规模递减趋势越大，表明在投入的基础上，即使增加投入量也不可能带来更大比例的产出，此时没有再增加决策单元投入的必要。四、构建水资源利用效率评估指标体系随着社会生产力的发展和水资源稀缺性的日益加剧，水资源的社会和生态服务功能随之升级，水资源的利用效率和效益评价倍受关注，高效用水、节水减排也已经是政府工作报告中的重要目标。为此，有必要建立水资源利用效率评估指标体系，用于对全国范围内不同行业、不同城市进行水资源利用效率和效益评估。指标体系建立是否合理，关系到能否为政府行政主管部门正确地提供水资源科学管理的决策依据，能否进行合理的产业结构的调整，能否真正实现水资源的可持续发展。因此，指标体系的建立应当以事实为依据，以理论为依托，使之真正能够切合实际。在此，我们将采用系统分层方法来选取指标，主要步骤如下：1确定目标层：水资源利用效益的评定（即水资源综合利用情况的确定）。