基础博弈.docx

1、基础博弈取石子问题就是博弈问题；这是源自我国古代民间的一种游戏，具体就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。真是一个简单又复杂的问题：（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，sm),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（m)个，那么先取者再拿走m

2、+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。if(n%(m+1)=0)printf(后者V5!n);elseprintf(前者V5!n);（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况下比较复杂的，是用（ak，bk）（ak bk ,k=0，1，2，,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如

3、果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：a0+0=b0:（0， 0）、a1+1=b1:（1， 2）、a2+2=b2:（3， 5）、a3+3=b3:（4， 7）、a4+4=b4:（6，10）、a5+5=b5:（8，13）、a6+6=b6:（9，15）、a7+7=b7:（11，18）、a8+8=b8:（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak ak-1 ，而 bk= ak + k

4、ak-1 + k-1 = bk-1 ak-1 。所以性质1.成立。2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。3。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b bk，那么，取走b bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ，b ak ，b= ak +

5、k,则从第一堆中拿走多余的数量a ak 即可；如果a ak ，b = ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j k）,从第二堆里面拿走 b bj 即可；第二种，a=bj （j k）,从第二堆里面拿走 b aj 即可。从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =k（1+5）/2，bk= ak + k （k=0，1，2，,n 方括号表示取整函数)奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+5）/2 = 1.618,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+

6、5）=（5-1）/2，可以先求出j=a（5-1）/2，若a=j（1+5）/2，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品

7、，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都一定可以变为（0，n，n）的情形。计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号（）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是11=0。先看（1，2，3）的按位模2加的结果：(就是每一对应的位，相同的时候是0，不同的时候是1，即10=0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001)1 =二进制012 =二进制103 =二进制11 （）0 =二进制00 （注意不进位）对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。任何奇异局势（a，b，c）都有a（）b

8、（）c =0。如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a b(1,8,9)奇异局势乙:(1,8,9)-(1,8,4)甲:(1,8,4)-(1,5,4)奇异局势乙:(1,5,4)-(1,4,4)甲:(1,4,4)-(0,4,4)奇异局势乙:(0,4,4)-(0,4,2)甲:(0.4,2)-(0,2,2)奇异局势乙:(0,2,2)-(0,2,1)甲:(0,2,1)-(0,1,1)奇异局势乙:(0,1,1)-(0,1,0)甲:(0,1,0)-(0,0,0)奇异局势甲胜。取火柴的游戏题目1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走

9、，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。 题目2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。嘿嘿，这个游戏我早就见识过了。小时候用珠算玩这个游戏：第一档拨一个，第二档拨两个，依次直到第五档拨五个。然后两个人就轮流再把棋子拨下来，谁要是最后一个拨谁就赢。有一次暑假看见两个小孩子在玩这个游戏，我就在想有没有一个定论呢。下面就来试着证明一下吧先解决第一个问题吧。定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则， 为利己态，用S表示。定理1：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态

10、。证明：若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴数，那么既然现在处于S态，c = A(1) xor A(2) xor xor A(n) 0;把c表示成二进制，记它的二进制数的最高位为第p位，则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。（否则，若所有的A(i)的第p位都是0，这与c的第p位就也为0矛盾）。那么我们把x = A(t) xor c,则得到x A(t).这是因为既然A(t)的第p位与c的第p位同为1,那么x的第p位变为0,而高于p的位并没有改变。所以x T2-S2-T2- -T2-S1-T0-S0-T0-S0-T0(全0) 第二题的全过程其实如下： S2-T2-S2-T2- -T2-

11、S1-S0-T0-S0-S0-T0(全0) 下划线表示胜利一方的取法。是否发现了他们的惊人相似之处。 我们不难发现(见加黑部分)，S1态可以转变为S0态（第二题做法），也可以转变为 T0（第一题做法）。哪一方控制了S1态，他即可以有办法使自己得到最后一根（转变为 T0）,也可以使对方得到最后一根（转变为S0）。 所以，抢夺S1是制胜的关键！ 为此，始终把T2态让给对方，将使对方处于被动状态，他早晚将把状态变为S1.推荐HDOJ题目看完上面的结论，就能顺利解决上面2道了S-Nim特别推荐LCY老师的课件：博弈入门。下载地址：这个课件个人认为从博弈的基本思想，一直到解博弈的中心算法做了很好的诠释。

12、但是特别要注意的是。课件后面一部分英语写的讲义是重中之重。主要是后继点和SG值的问题:SG值：一个点的SG值就是一个不等于它的后继点的SG的且大于等于零的最小整数。后继点：也就是按照题目要求的走法（比如取石子可以取的数量，方法）能够走一步达到的那个点。课件后面有一个1536的代码。可以放在后面做做看到这里推荐大家做几道题：1846（最简单的博弈水题）1847（求SG值） 有了上面的知识接下来我们来看看组合博弈（n堆石子）推荐大家看个资料：博弈-取石子游戏(推荐等级五星级)这里提出了一个奇异状态的问题。看了这篇文章你会发现异或运算在博弈中使用的妙处。当然这里指出的只是组合博弈中一种特殊情况。王道

13、还是对SG值的求解，但是知道这么一种思路无疑对思维的广度和深度扩展是很有帮助的。ZZ博弈这里介绍了组和博弈的两种大的类型，一种是最后取的是N状态一种是最后取的是P状态，两个状态的解题方法能看懂很有帮助。当然，能够把推导过程理解，吃透无疑是大牛级的做法小子也佩服的紧 1536题推荐做做这题，这题前面提醒大家是一个求SG值的题目，题目前面是对异或运算运用在组合博弈问题中的很好的解释。当然题目本身是有所不同的。因为在这里面对取法有所要求。那么这样就回归到了解决博弈问题的王道算法求SG值上。有关运用求SG值的博弈题目有： 1850（也可基于奇异状态异或）1848（中和的大斐波那契数列的典型求SG值题）

14、1517（个人认为有点猥琐的题目。在此题上困扰很久。当然搞出来很开心。小子是用比较规矩的求SG值的方法求出来的，但是论坛有人对其推出来了规律，这里佩服一下，大家可以学习一下）1079（更猥琐的题目，对新手要求较高，因为按传统方法需要比较细致的模拟加对边角状态的考虑，同样有人推出来了公式）博弈很强大。学习要耐心ACM课作业：1001 Brave Game1002 Good Luck in CET-4 Everybody!1003 Fibonacci again and again1004 Rabbit and Grass1005 Being a Good Boy in Spring Festiv

15、al1006 Public Sale 1007 悼念512汶川大地震遇难同胞选拔志愿者 1008 kikis game 1009 Calendar Game 1010 A Multiplication Game 1011 Digital Deletions 1012 S-Nim1536的参考代码/博弈-基于求SG值#include”iostream”using namespace std;int f101,sg10001,k;int mex(int b)int a101=0,i;for(i=0;ik;i+)if(b-f0)/b-f后继点break;if(sgb-f=-1)sgb-f=mex(b

16、-f);asgb-f=1;for(i=0;i k,k)for(i=0;i f;memset(sg,-1,sizeof(sg);for(i=0;ik;i+)for(j=i+1;jfj)f+=fj;fj=f-fj;f-=fj;sg0=0;cin t;while(t)cin n;s=0;while(n)cin bead;/该堆的成员个数if(sgbead=-1)sgbead=mex(bead);s=ssgbead;if(s=0)cout “L”;elsecout “W”;cout endl;return 0;1517参考代码/博弈-基于求SG值#include”iostream”using name

17、space std;int main()_int64 a7000=1,min,n;int p10,sg7000,i,j,k;for(i=2;i10;p=0,i+);for(i=1;i7000;i+)for(j=2,min=-1;j10;j+)if(min=-1|apj*j=5000000000)break;for(j=2;j10;j+)if(apj*j=min)pj+;/从小到大求出所有乘积while(scanf(“%I64d”,&n)!=EOF)for(i=0;i=n)break;for(j=i-1;aj*9=n&j=0;j)sgj=1;while(j=0)for(k=j+1;k=ak;k+)if(ak%aj=0&sgk=0)sgj=1;break;j-;puts(sg0?”Stan wins.”:”Ollie wins.”);return 0;1907参考代码#include”iostream”using namespace std;int main()int temp,t,n,s,x,i;cin t;while(t)cin n;for(i=s=temp=0;i x;if(x1) temp=1;s=x;if(s&temp)|(!s&!temp)cout “John” endl;elsecout “Brother” endl;return 0;