数学实验报告.docx

1、数学实验报告重 庆 大 学学 生 实 验 报 告实验课程名称 数学实验 开课实验室 DS1407 学 院 自动化 年级 2013 专业班 自动化02班 学 生 姓 名 侯刚 学 号 20134615 开 课 时 间 2014 至 2015 学年第 二 学期总 成 绩教师签名数 学 与 统 计 学 院 制开课学院、实验室：数统学院DS1407 实验时间 ： 2014年4月3日课程名称数学实验实验项目名 称种群数量的状态转移微分方程实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师龚劬成 绩实验目的1 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；2 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的

2、定性分析；3 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；基础实验一、实验内容1. 微分方程及方程组的解析求解法；2. 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3. 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4. 利用图形对解的特征作定性分析；5. 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。二、实验过程1求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x x=0:0.1:1; y2=-2*x-2+3*exp(x); plot(x,y2)输出：图

3、表 1 方程特解图形分析：注意dsolve的用法。2用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？（1）求解析解输入： dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=1,x)输出： ans =(2*x+1)(1/2)（2）用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程的数值解并与解析解作图比较 程序：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;for k=1:10 x1(k+1)=x1(k)+h; y1(k+1)=y1(k)+h*(y1(k)-2*x1(k)/y

4、1(k); k1=y2(k)-2*x1(k)/y2(k); k2=y2(k)+h*k1-2*x1(k+1)/(y2(k)+h*k1); y2(k+1)=y2(k)+h*(k1+k2)/2;endx1,y1,y2x=0:0.1:1;y=(2*x+1).(1/2);plot(x,y,x,y1,o,x,y2,+)结果：x1 =0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000y1 =1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1

5、.7178 1.7848y2 =1.0000 1.0959 1.1841 1.2662 1.3434 1.4164 1.4860 1.5525 1.6165 1.6782 1.7379图表 2 向前欧拉公式和改进的欧拉公式所求方程数值解与解析解的比较由图可得，改进后的欧拉公式求得的数值解更贴合解析解。分析：注意向前欧拉与改进后的欧拉公式的不同。3Rossler微分方程组：当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a(0,0.65)而方程解的变化情况。程序：rossler.m:function xdot=rossler(t,x)xdot=0,-1,-1;1,0.1,0;x(3)

6、,0,-4*x+0,0,2;fangchengzu.m:x0=0 0 0.1;t,x=ode45(rossler,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),.,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)grid on结果：a=0.1时：a=0.25时：a=0.5时：a=0.6时：上述图形表示了a由小到大变化时方程解的变化。分析：注意xdot的书写以及ode45的运用。4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制程序：apollo.m:function yp=apollo(t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1

7、)+u)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);yp=x(2);2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/r13-u*(x(1)-u1)/r23;x(4);-2*x(2)+x(3)-u1*x(3)/r13-u*x(3)/r23;weixing.m:x0=1.2;0;0;-1.04935751; t,x=ode45(apollo,0,20,x0);plot(x(:,1),x(:,3)xlabel(x)ylabel(y)title(Apollo卫星运动轨迹)结果：图表3 apollo卫星轨迹图分析：注意求数值解时，高阶微分方程必须等价的变为一阶微分方程组。应用实验

8、（或综合实验）一、实验内容盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。二、问题分析（1）已知：水的密度为1kg/L,盐溶解度为36g。可计算出7kg盐所需要的溶剂为194L水。因此，由混合液体积即可知开始时刻的7kg盐是完全溶于水中的,并且没有饱和。所以，整个过程为食盐水被再次稀释的过程，则不会出现有盐析出现象。（2）由于容器的容积相对于单位时间内水的体积变化来说很大，所以可以忽略溶质盐在在不同浓度的水内扩散

9、至均匀的时间。根据在每个微小的时间段内，减少的盐加上容器内剩余的盐等于开始的盐量建立方程。三、数学模型的建立与求解(一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中)假设：1）温度对盐在水中的溶解度变化影响不大。2）任意时刻容器内混合的、流出的盐水都均匀。3）水流入及盐水流出的速度均为匀速。设注水时间为t，t时刻时容器内含盐量为P(t)、容器内混合盐水的体积为V(t)，纯水流入容器的速度为v1,混合液流出的速度为v2。可列出方程组：P(t+t)=P(t)-P(t)*v2*t/V(t)V(t)=V(t0)+(v1-v2)*tV(t0)=350,P(0)=7,v1=14,v2=10.5方程可化

10、为：dP/dt=-10.5*P(t)/(350+3.5*t),P(0)=7用MATLAB求解该方程并作图。四、实验结果及分析求得方程的解析解为：P(t)= 7000000/(t + 100)3曲线图像为：图表 4 经过时间t后容器内盐的含量五、附录（程序等）y=dsolve(Dy=-14*y/(350+3.5*t),y(0)=7,t)ezplot(7000000/(t + 100)3,0,100)xlabel(t)ylabel(P(t)总结与体会 通过该实验的学习，掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB

11、软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。教师签名年 月 日小学二（2）班班规一、 安全方面1、 每天课间不能追逐打闹。2、 中午和下午放学要结伴回家。3、公路上走路要沿右边走，过马路要注意交通安全。4、不能在上学路上玩耍、逗留。二、学习方面1、每天到校后，不允许在走廊玩耍打闹，要进教室读书。2、每节课铃声一响，要快速坐好，安静地等老师来上课。3、课堂上不做小动作，不与同桌说悄悄话， 认真思考，积极回答问题。4、养成学前预习、学后复习的好习惯。每天按时完成作业，保证字迹工整，卷面整洁。5、考试时做到认真审题，不交头接耳，不抄袭，独立完成答卷。三、升旗排队和两操方面1、升旗时，

12、要快速出教室排好队，做到快、静、齐，安静整齐地排队走出课室门，班长负责监督。2、上午第二节后，快速坐好，按要求做好眼保健操。3、下午预备铃声一响，在座位上做眼保健操。四、卫生方面1、每组值日生早晨7：35到校做值日。2、要求各负其责，打扫要迅速彻底，打扫完毕劳动工具要摆放整齐。3、卫生监督员（剑锋，锶妍，炜薪）要按时到岗，除负责自己的值日工作外，还要做好记录。五、 一日常规1、每天学生到齐后，班长要检查红领巾。2、劳动委员组织检查卫生。3、 每天负责领读的学生要督促学生学习。4、 上课前需唱一首歌，由文娱委员负责。5、做好两操。6、放学后，先做作业，然后帮助家长至少做一件家务事。7、如果有人违

13、反班规，要到老师处说明原因。班训：坐如钟 站如松 快如风 静无声班规：课堂听讲坐如钟，精神集中认真听；排队升旗站如松，做操到位展雄风；做事迅速快如风，样样事情记得清；自习课上静无声，踏实学习不放松；个人努力进步快，团结向上集体荣；我为领巾添光彩，标兵集体记我功。加分标准序号考核项目加分值备注1单元考试满分+22单元考试85分以上+13课堂小测满分+14期中、期末考试满分+35在红领巾广播站投稿一次+26在校级活动中获奖+57作业十次全对得一颗星+38课堂上得到表扬+19班干部工作认真负责+110做好事、有利于班集体和学校的事+211进步比较明显+212连续一周该组值日卫生达标本组值日生每人加2分扣分标准序号考核项目扣分值备注1没交作业、不做晚作业-12忘带书本、学具-13迟到-14在课堂上被老师点名-25不穿校服，不戴红领巾-16吃零食、带钱、带玩具-27说脏话、打架-3请家长，写保证书8座位周围有垃圾-29课间操、眼保健操不认真做-110升旗时违反纪律-211来学校不进教室，在走廊聊天打闹-112体育课打闹说话、排队不整齐-2注：每人基本分60分起，学期末核算总分，作为学期评先依据。