复数的三角形式及乘除运算doc.docx

1、复数的三角形式及乘除运算doc复数的三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义. 二、学习要求: 1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值. 2深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式. 3能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围（最值）. 4利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题. 5注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法. 三、重点: 复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意

2、义的综合运用. 四、学习建议: 1复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的. 前面已经学习过了复数的另两种表示.一是代数表示，即Z=a+bi(a,bR).二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在需要学习复数的三角表示.既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为，则Z=r(cos+isin)(r0). 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化. 代数形式r=三角形式 Z=a+bi(a,bR) Z=

3、r(cos+isin)(r0) 复数三角形式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值. 五、基础知识 1）复数的三角形式 定义：复数z=a+bi （a,bR）表示成r （cos+ isin）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cos + isin） 其中 为复数z的辐角。 非零复数z辐角的多值性。以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是+2k（kz） 辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。 定义：适合0，2）的角叫辐角主值 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯

4、一的。 不等于零的复数的模是唯一的。 z=0时，其辐角是任意的。 复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数z1、z2对应的点分别为z1、z2（如图） 何量 何量 何量 与复数z2z1对应的向量为 显然ozz1z2 则argz1=x

5、oz1=1 argz2=xoz2=2 argz（z2z1）=arg z=xoz= 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z1=r1（cos1+isin1） z2=r2（cos2+isin2） 乘法：z=z1 z2=r1r2 cos(1+2)+isin(1+2) 如图：其对应的向量分别为显然积对应的辐角是1+2 若2 0 则由逆时针旋转2角模变为的r2倍所得向量便是积z1z2=z的向量。若2 0 则由向量顺时针旋转角模变为r1r2所得向量便是积z1z2=z的向量。 为此，若已知复数z1的辐角为，z2的辐角为求+时便可求出z1z2=za z 对应的辐角就是+这样便可将

6、求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 除法 （其中 z20） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： 。 。例1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式: (1) Z1=-2(cos+isin)(2) Z2=cos-isin(3) Z3=-sin+icos (4) Z4=-sin-icos(5) Z5=cos60+isin30 分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点定名定角”.这样，

7、使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率. 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(-cos-isin) 复平面上Z1(-2cos,-2sin)在第三象限（假定为锐角），余弦“-cos”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“+”将变换到第三象限.Z1=Z(-cos-isin)=2cos(+)+isin(+) （2）由“加号连”知，不是三角形式 复平面上点Z2(cos,-sin)在第四象限（假定为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2-”或“-”将变换到第四象限. Z2=cos-isin=cos(-)+isin(-)或Z2=cos-isin=

8、cos(2-)+isin(2-) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一. （3）由“余弦前”知，不是三角形式 复平面上点Z3(-sin,cos)在第二象限（假定为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式“+”将变换到第二象限.Z3(-sin,cos)=cos(+)+isin(+) 同理（4）Z4=-sin-icos=cos(-)+isin(-) （5）Z5=cos60+isin30=+i=(1+i)=(cos+isin)=(cos+isin) 小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点定名定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解

9、决此类问题. 例2求复数Z=1+cos+isin(2)的模与辐角主值. 分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos2-1)+2isincos=2cos(cos+isin).(1) 2 ,cos0(1)式右端=-2cos(-cos-isin)=-2coscos(+)+isin(+) r=-2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2，argZ=+. 小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos, argZ=或ArgZ= 错误之处在于他们没有去考虑角范围，因此一定要用“模非负，角

10、相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cos+isin(2) ，Z2=1+cos-isin(2)等类似问题. 例3将Z=(3)化为三角形式，并求其辐角主值. 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化. 解:=cos2+isin2 3, 26, 2-40)|Z1Z2|2=k2+(2k)2-2k2kcos=3k2 |Z1Z2|=k, 而k2+(k)2=(2k)2，OZ1Z2为有一锐角为60的直角三角形. 小结:此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便. 例8已知直线l过坐标原点，抛物

11、线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程. 解:如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为x1+y1i, x2+y2i. 由对称性，|OA|=|OA|=1, |OB|=|OB|=8, x2+y2i=(x1+y1i)8i=-8y1+8x1i 设抛物线方程为y2=2px(p0)则有y12=2px1, y22=2px2, x1=, y12=p2, 又|OA|=1，()2+p2=1,p=或-（舍） 抛物线方程为y2=x，直线方程为:y=x. 小结:对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.

12、尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效. 五、易错点 1并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定. 2注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.ArgZ=argZ+2k(kZ),argZ0,2), 辐角主值是0,2)内的辐角，但辐角不一定是辐角主值. 3复数三角形式的四个要求:模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式. 4注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向. 六、练习 1写出下列复数的三角形式 (1) ai(aR)(2) tg+i(）(3) -（sin-icos) 2

13、设Z=(-3+3i)n, nN，当ZR时，n为何值？ 3在复平面上A，B表示复数为,(0),且=(1+i)，判断AOB形状，并证明SAOB=|d|2. 参考答案: 1（1）ai= （2）tg+i(）=-cos(-)+isin(-) （3）-(sin-icos)=cos(+)+isin(+) 2n为4的正整数倍 3法一:0，=（1+i) =1+i=(cos+isin), AOB=, 分别表示复数，-， 由-=i，得=i=cos+isin，OAB=90,AOB为等腰直角三角形. 法二:|=|, |=|-|=|i|=|,|=| 又|=|=|(1+i)|=|,|2+|2=|2+|2=2|2=|2 AO

14、B为等腰直角三角形，SAOB=|=|2. 在线测试窗体顶端选择题1若复数z=(a+i)2的辐角是，则实数a的值是（） A、1B、-1 C、- D、- 窗体底端窗体顶端2已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a， b满足|a-b|=3， 则p的值是（） A、-2 B、- C、 D、1 窗体底端窗体顶端3设，则复数的辐角主值为（） A、2-3B、3-2C、3D、3- 窗体底端窗体顶端4复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（） A、3B、12C、6k-1(kZ)D、6k+1(kZ) 窗体底端窗体顶端5z为复数，()|z-3|=()|z+3|()-1的图形

15、是（） A、直线B、半实轴长为1的双曲线 C、焦点在x轴，半实轴长为的双曲线右支 D、不能确定 窗体底端答案与解析 答案：1、B 2、C 3、B 4、C 5、C解析：1z=(a+i)2=(a2-1)+2ai， argz=， ，a=-1，本题选B. 2求根a，b=（=1-4p0）|a-b|=|=3， 4p-1=9， p=，故本题应选C. 3=cos3+isin3. ，33，3-2，故本题应选B. 4由题意，得(cos+isin)n=cos+isin=cos-isin 由复数相等的定义 ，得 解得=2k-，(kZ)，n=6k-1.故本题应选C. 5依题意，有 |z-3|=|z+3|-1， |z+3

16、|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点(3，0)，2a=1， a=的双曲线右支，故本题应选C. 复数三角形式的运算疑难问题解析 1复数的模与辐角： (1)复数模的性质：z1z2=z1z2 (2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差 一个复数n次幂(nN)的辐角等于这个复数辐角的n倍 注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点如下面两个问题： 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求+的值(+(3，4) 若arg(2-i)=，arg(3-i)=，求arg(2-i)(3-i)的值 (2)两个复数乘积的辐角主值不一定等于

17、两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差. 2关于数的开方 (1)复数的开方法则：r(cos+isin)的n次方根是 几何意义：设对应于复平面上的点，则有： 所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点 (2)复数平方根的求法 求-3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设-3-4i的平方根为x+yi(x，yR)，则有 (x+yi)2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i，由复数相等条件，得 -3-4i的平方根是(1-2i) 法二利用复数的三角形式 3复数集中的方程 关于实系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a0，a，b，cR，x

18、1，x2为它的两个根) (1)当=b2-4ac0时，方程有两个实数根 当=b2-4ac0时，方程有一对共轭虚根 (4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a0，a、b、cC，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根) (4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)仍然适用 关于二项方程的解法 形如anxn+a0=0(a0，anC且an0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成xn=b(bC)的形式，因此都可以通过复数开方来求根 可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法

19、及其转换来解方程 已知方程x2-4x+p=0两虚数根为、，且|-|=2求实数p的值 解法1实系数一元二次方程虚根共轭设=a+bi， =a-bi，(a，bR)+=2a=4，a=2又|-|=2, |2bi|=2得b=1 即两根为2+i，2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5 法2由韦达定理可得：+=4，=p 于是|-|2=|(-)2|=|(+)2-4|=|42-4p|=4，即|4-p|=1 又=42-4p0p4，p-4=1，得p=5 说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别 一等式成立若有两个虚根则上述等式不成立因为-2(-)2因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与

20、联系，要避免出现混淆与干扰 已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值 分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论 解(1)若所给方程有实根则=(3a)2-42(a2-a)=a2+8a0，即a-8或a0 由条件得根必为1或-1， 将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解 (2)若所给方程有虚根则=a2+80，即-8a0 即a2-a-2=0，a=-1或a=2(舍) 已知方程x2-(2i-1)x+3m-i=0有实数根，求实数m 分析求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数 利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以现仅介绍一种方法 解x，mR，方程变形可得，(x2+x+3m)-(2x+1)i=0 复数例题讲解与分析 例1已知x, y互为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x, y. 思路1：确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。 解法1：设x=a+bi(a