双曲正切函数.docx

1、双曲正切函数双曲函数编辑在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推1定义2介绍 实变双曲函数 定义 性质 反双曲函数 3三角函数4恒等式 加法公式 减法公式 二倍角公式 半角公式 三倍角公式 5导数6不定积分7级数表示8实际应用 阻尼落体 导线电容 粒子运动 非线性方程 悬链线 数学证明 9参考文献1定义编辑双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sin

2、h_cosh_tanh双曲正弦sh z =(ez-e(-z)/2 双曲余弦ch z =(ez+e(-z)/2 双曲正切th z = sh z /ch z =(ez-e(-z)/(ez+e(-z) 双曲余切cth z = ch z/sh z=(ez+e(-z)/(ez-e(-z) 双曲正割sch z =1/ch z 双曲余割xh(z) =1/sh z 其中，指数函数（exponentialCsch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义ez=1+z/1！+z2/2！+z3/3！+z4/4！+zn/n！+ 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别

3、记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。12介绍编辑在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。射线出原点交双曲线 x2 - y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a），这里的a被称为双

4、曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = ex - e(-x) / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = ex + e(-x) / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=ex - e(-x) / ex + e(-x)coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = ex + e(-x) / e(x) - e(-x)sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) =

5、 2 / ex + e(-x)csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / ex - e(-x)其中，e是自然对数的底e2.71828 18284 59045.= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!.+ 1/n! +.ex 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是：ex=x0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!.+ xn/n! +.如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x2 y2 = 1。这基于了很容易验证的恒

6、等式cosh2(t) - sinh2(t) = 1和性质 t 0 对于所有的 t。参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。2实变双曲函数y=sh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越，象限的严格单调递增曲线，当x-+时是（1/2）ex的等价无穷大.函数图像关于原点对称。y=ch(x).定义域：R.值域：1,+）.偶函数.函数图像是悬链

7、线，最低点是（0,1），在象限部分是严格单调递增曲线，当x-+时是（1/2）ex的等价无穷大.函数图像关于y轴对称。y=th(x).定义域：R.值域：（-1,1）.奇函数.函数图像为过原点并且穿越，象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.limx-+，tanh(x)=1,limx-，tanh(x)=-1。y=cth(x).定义域：x|x0.值域：x|x|1.奇函数.函数图像分为两支，分别在，象限，函数在（-，0）和（0，+）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.limx-+，coth(x)=1,limx-，coth(x)=-1。y=sch(

8、x).定义域：R.值域：（0,1.偶函数.最高点是（0,1），函数在（0,+）严格单调递减.x轴是其渐近线.limx-；，sech(x)=0.y=xh(x).定义域：x|x0.值域：x|x0.奇函数.函数图像分为两支，分别在，象限，函数在（-，0）和（0，+）分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.limx-；，csch(x)=0.双曲函数名称的变更：sh也叫sinh,ch也叫cosh,th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。定义双曲正弦：sh(z) = ez - e(-z) / 2双曲余弦：ch(z) = ez + e(-z) / 2性质解析性

9、：shz,chz是全平面的解析函数周期性：shz,chz是周期函数，周期为2i，这是完全不同于实变函数中的性质反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为：arcsh(x) = lnx + sqrt(x2 + 1）arcch(x) = lnx + sqrt(x2 - 1）arcth(x) = lnsqrt（1 - x2） / （1 - x) = ln（1 + x) / （1 - x) / 2arccth(x) = lnsqrt(x2 - 1） / (x - 1） = ln(x + 1） / (x - 1） / 2arcsch(x) = ln1 + sqrt（1 - x2） / xar

10、cxh(x) = ln1 - sqrt（1 + x2） / x，如果 x 0其中，sqrt 为 square root 的缩写，即平方根3三角函数编辑双曲函数与三角函数有如下的关系：* sinh x = -i * sin(i * x)* cosh x = cos(i * x)* tanh x = -i * tan(i * x)* coth x = i * cot(i * x)* sech x = sec(i * x)* csch x = i * csc(i * x)i 为虚数单位，即 i * i = -14恒等式编辑与双曲函数有关的恒等式如下：ch2(x) - sh2(x) =1cth2(x)

11、 - xh2(x)=1th2(x) + sch2(x)=1加法公式sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)tanh(x+y) = tanh(x) + tanh(y) / 1 + tanh(x) * tanh(y)coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y)/(coth(x) + coth(y)减法公式sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)cosh(x-y) = co

12、sh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)tanh(x-y) = tanh(x) - tanh(y) / 1 - tanh(x) * tanh(y)coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y)/(coth(x) - coth(y)二倍角公式sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)cosh（2x) = cosh2(x) + sinh2(x) = 2 * cosh2(x) - 1 = 2 * sinh2(x) + 1tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh2(x)coth（2x) = （1+coth2(x)/2cot

13、h(x)三倍角公式sinh（3x)=3sinh(x)+4sinh3(x)cosh（3x)=4cosh3(x)-3cosh(x)半角公式cosh2(x / 2） = (cosh(x) + 1） / 2sinh2(x / 2） = (cosh(x) - 1） / 2tanh(x / 2） = (cosh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1）coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)德 莫佛公式（cosh(x）sinh(x)n=cosh(nx)sinh(nx)双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Os

14、borns rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth2(x),tanh2(x),csch2(x),sinh(x) * sinh(y）则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如三倍角公式sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin3(x)sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh3(x)5导数编辑（sinh(x)=cosh(x)（cosh(x)=sinh(x)（tanh(x)=sech2(x)（coth(x)=-csch2(x)（sech(x)=-sech(x)tanh(x)（csch

15、(x)=-csch(x)coth(x)（arcsinh(x)=1/sqrt(x2+1）（arccosh(x)=1/sqrt(x2-1） (x1）（arctanh(x)=1/（1-x2） (|x|1）6不定积分编辑sinh(x)dx=cosh(x)+ccosh(x)dx=sinh(x)+csech2(x)dx=tan(x)+ccsch2(x)dx=-coth(x)+csech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+ccsch(x)coth(x)dx=-csch(x)+ctanh(x)dx=ln(cosh(x)+ccoth(x)dx=ln|sinh(x)|+csech(x)dx=arctan(

16、sinh(x)+c=2arctan(ex)+c1=2arctan(tanh(x/2）+c2csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c1/sqrt(x2+1）dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x2+1）+c1/sqrt(x2-1）dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x2-1）|+c（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x0;sgn(x)=0,x=0)7级数表示编辑sinh(z)=z+z3/3!+z5/5!+z7/7!+.+z（2k-1）/（2k-1）！+. (zC)cosh(z)=1+z2/2

17、!+z4/4!+z6/6!+.+z（2k)/（2k)!+. (zC)arcsinh(z)=z-（1/6）z3+（3/40）z5-（5/112）z7+.+(-1）k（2k-1）！/（2k)!z（2k+1）/（2k+1）+. (|z|1）arctanh(z)=z+z3/3+z5/5+z7/7+.+z（2k-1）/（2k-1）+. (|z|R1+R2）。试求它们间单位长度的电容。解：设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为和。我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等

18、势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为和。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为=1+2=（/20）In（r1 / r1）+（/20）In（r2 / r2）=（/20）In（r2 / r1）（r1/ r2） yPr2 r1R2 + R1 xOa aa2 a1图2：带电导线与其镜像式中r1和r2分别是偶极线和到某个

19、电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1=r2= a，于是，式便化为=（/20）In（r2 / r1） 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是=（/40）In（x2+a2）+y2 /（x2a2）+y2 故偶极线的等势面方程便为（x2+a2）+y2 /（x2a2）+y2=k2 式中k2 =e40/ 令c=（k2+1）/（k21）a （21）则式可化为（xc）2+y2=4k2/（k21）2a 2 （22）这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面

20、的半径为R=2k/（k21） a （23）这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：a1= c1=（k12+1）/（k121）a （24）R1=2k1/（k121） a （25）a2= c2=（k22+1）/（k221）a （26）R2=2k2/（k221） a （27）d=a1+a2 （28）由（24）至（27）式得a12R12=a2= a22R22 （29）原来两导线表面的方程是R1：（xa1）2+y2= R12 （30）R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为x2+y

21、2+ a2= 2a1 x （32）x2+y2+ a2= 2a2 x （33）利用（32）和（33）两式，由式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为1=（/40）In（a1+a）/ （a1a） （34）2=（/40）In（a2+a）/ （a2a） （35）于是两导线的电势差便为U=1+2=（/20）In（a1+a）（a2a）/ R1R2 （36）用已知的量消去未知数，可以得出U=（/20）In（d2R12R2）/ 2R1R2+（d2R12R2）/ 2R1R221 （37）最后得出原来两导线为l一段的电容为C=Q/U=20l/ In（d2R12R22）/ 2R1R2+（d2R12R22）/ 2

22、R1R221 （38）单位长度的电容为c=20/ In（d2 R12 R22） / 2R1R2+ （d2R12R22） / 2R1R2 21 （39）利用反两曲余弦关系式archx= In（x+x21） （40）对本题的精确解表示作简洁表示c=20/ arch（d2R12R22）/ 2R1R2 （41）最后一式可以在一般手册上查到。粒子运动一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为x=（W0/qE）cosh（qEy/p0c）1 （42）式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。解：带有电荷量q的

23、粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为dp/dt=q（E+vB） （43）式中v是粒子的速度，p是粒子的动量p=mv=mv0/1v2/c2 （44）本题运动方程的分量表示式为dpx=qEdpy=0dpz=0 （45）解之，有px =qEt+C1py = C2pz = C3 （46）代入t=0时初始条件px（0）=0py（0）= p0pz（0）= 0 （47）定出积分常数后，可知px=qEtpy= p0pz= 0 （48）粒子的能量为W=mc2=p2c2+m02c4=（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4=q2E2 c2t2+W02 （49）因dx/dt=qEt/m=qEc2t/q2

24、E2 c2t2+W02 （50）积分得x=qEc2t/q2E2 c2t2+W02 dt= q2E2 c2t2+W02 W02/qE （51）又由（48）式得dy/dt=p0/m=p0c2/q2E2 c2t2+W02 （52）积分得y=p0c2 /q2E2 c2t2+W02 dt=（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53）或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54）在（51）式和（54）式中消去t，有x=（W0/qE）1+ sinh2（qEy/ p0c）1 （55）利用恒等变换公式cosh2xsinh2x=1 （56）（55）式可以写成x=（W0/qE）cosh

25、2（qEy/ p0c）1 （57）（57）式是一种悬链线。图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹讨论：因双曲余弦泰勒级数展开式是cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+ （58）当v/c 0时，保留前2项，得x=（qE/2m v02）y2 （59）（59）式是抛物线轨迹。普通物理学教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c 0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c1，这也是牛顿力学的适用范围。非线性方程如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为ux+uux+uxxx=0 （60）2它是非线性的频散方程，其中是频散系

26、数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。解：考虑其行波解u（x，t）=（） （61）其中，=kxt+0 （62）KdV方程成为+k+k3=0 （63）记f=1/（cosh+r），g=sinh/（cosh+r） （64）尝试=a0+a1f+a2g （65）注意存在关系式df/d=fgdg/d=1g2rgg2=12rf+（r21）f2 （66）将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组6k3b1（r21）2=0,6k3a1（r21）=0,2kb1（r21）（6k2r+ a1）=0,k（6k2r a1+ a12b12+ b12r2）=0,b1（4k3+ka0ka0r2+3ka1 r7k3 r2+ cr2c）=0,a1+kb12 rk3 a1ka0a1=0,b1（ka1+rk3rka0r）=0 （67）用计算机代数