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插板法原理及应用.docx

1、插板法原理及应用插板法理论分析:假定M个元素,分成N组。M个元素中间有(M-1)个空,如果想分为N组的话需要插入(N-1)个木板,所以方法数为:C(M-1,N-1);注意插板法的三要件:相同元素分配;所分组是不相同的;每组至少分到一个。插板法的三种基本形式:(1)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法?A.21 B.28 C.32 D.48楚香凝解析:8个球中间有7个空,分到3个盒子需要插两块板,插板法C(7 2)=21种,选A 对于不满足第三个条件-即“每组至少一个”的情况,要先转化为标准形式,再使用插板法。(2)将8个完全相同的球放到3个不同的盒

2、子中,要求每个盒子至少放两个球,一共有多少种方法?A.3 B.6 C.12 D.21楚香凝解析:先往每个盒子里提前放一个、还剩下5个;转化为5个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法C(4 2)=6种,选B(3)将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,一共有多少种方法?A.15 B.28 C.36 D.45楚香凝解析:此时因为每个盒子可以分0个,先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去;转化为11个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,插板法C(10 2)=45种,选D此时也可以根据八个球之间9个空,两个板子插不同的空有C(9 2)=36种、插同一个空有C(9 1)

3、=9种,36+9=45种;对比三种不同的考法,其实它们之间是存在密切联系的。8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放0 个球,有C(10 2)种;8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,有C(7 2)种;8个完全相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放两个球,有C(4 2)种; 这三种基本形式,要牢牢掌握。例1:某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门,每个部门至少发放9份材料。问共有多少种不同的发放方法? 【国家2010】A.12 B.10 C.9 D.7楚香凝解析:每个部分先提前分8份材料,还剩下30-38=6份;相当于6份材料分给3个部门,每个部

4、门至少分1份,插板法C(5 2)=10种,选B例2:某办公室接到15份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份,也不得多于10份,则共有( )种分配方式。 【广州2014】 A.15 B.18 C.21 D.28楚香凝解析:每人先分2份、还剩下15-32=9份;相当于9份公文分给三个人,每人至少1份、至多8份,插板法C(8 2)=28种,选D例3:某单位共有10个进修的名额分到下属科室,每个科室至少一个名额,若有36种不同分配方案,问该单位最多有多少个科室? 【黑龙江2015】A.7 B.8 C.9 D.10楚香凝解析:C(10-1,n-1)

5、=36,代入n=8满足,选B补充:若问最少有多少个科室,因为C(9 2)=36,此时为3个科室。例4:把10个相同的球放入编号为1,2,3的三个盒子中,使得每个盒子中的球数不小于它的编号,则不同的方法有()种。A.10 B.15 C.20 D.25楚香凝解析:第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球,还剩下10-1-2=7个球;相当于把7个相同的球放入三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,插板法C(6 2)=15种,选B例5:把10个相同小球放入3个不同箱子,第一个箱子至少1个,第二个箱子至少3个,第三个箱子可以放空球,有几种情况? A.15 B.28 C.36 D.66楚香凝解析:第

6、二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球,还剩下10-2+1=9个球;相当于把9个相同的球放入三个不同的盒子,每个盒子至少一个球,插板法C(8 2)=28种,选D例6:现有9块巧克力(其中5块有夹心),若将这些巧克力分给3个小朋友,平均每个人都有3块,问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种? 【粉笔模考】A.6 B.9 C.12 D.25楚香凝解析:相当于把5块夹心巧克力分给3个人,每人至少1块、至多3块,插板法C(4 2)=6种,然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可,选A对于插板法的基础题型来说,最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式,即“每组至少一个”。

7、插板法技巧进阶篇在直接使用插板法时,有时会出现不满足题意的情况,需要减掉。例6:某单位购买了10台新电脑,计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。已知每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台,那么电脑分配方法共有( )种。 【广东2013】A.9 B.12 C.18 D.27 楚香凝解析:插板法C(9 2)=36种;然后去掉不满足题意的情况(即有的部门多于5台):选一个部门C(3 1)、先分给这个部门5台,再把剩下的5台分给3个部门,插板法C(4 2),则不满足题意的情况有C(3 1)C(4 2)=18种,满足题意的情况有36-18=18种,选C例7:有3个单位共订300份人民日报,每个单位最少

8、订99份,最多101份。问一共有多少种不同的订法? 【黑龙江2010】A.4 B.5 C.6 D.7楚香凝解析:解法一:分类:99+100+101的情况有A(3 3)=6种,100+100+100的情况有一种,共7种,选D解法二:每个单位先提前分98份,还剩下300-398=6份;相当于把6份日报分给3个单位,每个单位至少分1份、至多分3份,插板法减去有单位分到4份的情况,C(5 2)-C(3 1)=7种,选D有时直接正面使用插板法,因为需要减掉的情况比较多,可以考虑从反面入手,利用“先全部分下去再收回一部分”的思想。例3:四个小朋友分17个相同的玩具,每人至多分5个,至少分1个,那么有多少种

9、分法?【河南招警2011】A.18 B19 C20 D21楚香凝解析:每个小朋友先分5个、共分了20个,再收回20-17=3个,每人至少交回0个,插板法C(6 3)=20种,选C例4:某快问快答节目第一关设置4道题,选手答错任意一题则立即停止答题。比赛规定:第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒内(选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒),某位选手通过第一关,答题用时24秒,则该选手在4道题上的答题用时组合有多少种: 【粉笔模考】A.8 B.15 C.19 D.20楚香凝解析:总的时间上限=10+8+6+3=27秒,相当于从27秒中去掉3秒,每题可以去0秒、第四题最多去2秒;转

10、化为三个名额分给四道题,每道题至少分0个,再去掉三个名额都分给第四题的情况,插板法,C(6 3)-1=19种,选C如果对于以上知识都已理解,可以通过下面几道练习题进行巩固。练习1:有3个单位共订300份人民日报,每个单位最少订99份,最多102份。问一共有多少种不同的订法? A.6 B.7 C.8 D.10楚香凝解析:每个单位先提前分98份,还剩下300-398=6份;相当于把6份日报分给3个单位,每个单位至少分1份、至多分4份,插板法C(5 2)=10种,选D练习2:某办公室接到15份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份,也不得多于10

11、份,则共有多少种分配方式:A.52 B.53 C.54 D.55楚香凝解析:每人先分1份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人,每人至少1份、至多9份,插板法C(11 2)=55种,去掉有人分到多于9份的情况(即10+1+1)、有C(3 1)=3种,则满足题意的情况有55-3=52种,选A练习3:某办公室接到18份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份,也不得多于10份,则共有多少种分配方式:A.43 B.46 C.51 D.55楚香凝解析:每人先分2份、还剩下12份;相当于把12份公文分给3个人,每人至少1份、至多8份,插板法C(1

12、1 2)=55种,去掉有人分到多于8份的情况:先选一个人分给他8份,剩下的4份分给3个人,每人至少1个,有C(3 1)C(3 2)=9种,则满足题意的情况有55-9=46种,选B练习4:某办公室接到16份公文的处理任务,分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于2份,也不得多于5份,则共有多少种分配方式:A.20 B.27 C.31 D.35楚香凝解析:每人先分5份、共分了20份,再收回4份,每人至少交出0份、至多交出3份,插板法C(7 3)=35种,去掉有人交出4份的情况C(4 1)=4种,则满足题意的情况有35-4=31种,选C练习5:袋中有红、白、黑三种

13、颜色的球各10个,从中抽出16个,要求三种颜色的球都有,有多少种不同的抽法?A.35 B.45 C.75 D.105 楚香凝解析:相当于16个名额分给三种颜色,每种颜色至少一个名额,插板C(15 2)=105种;去掉某种颜色多于10个球的情况,先选一种颜色C(3 1)、先分给它10个,剩下6个名额再分给三种颜色,每种颜色至少一个名额,插板C(5 2)=10,则满足题意的情况有105-310=75种,选C插板法技巧之比赛得分计算(1)某社区组织开展知识竞赛,有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节,抢答环节共5道题。计分方式如下:每个家庭有10分为基础分;若抢答到题目,答对一题得5分,答错一题扣2分;抢

14、答不到题目不得分。那么,一个家庭在抢答环节有可能获得( )种不同的分数。【广东2013】A.18 B.21 C.25 D.36楚香凝解析:有没有基础分并不影响得分的情况数;相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C(7 2)=21种,选B通过分类可以看的更加清楚,答对一道和答错一道相差5+2=7分;抢到0道时,得分只有一种,即基础分10分;抢到1道时,得分有两种,答错为8分、答对为15分;抢到2道时,得分有三种,分别是6、13、20;抢到3道时,得分有四种,分别是4、11、18、25;抢到4道时,得分有五种,分别是2、9、16、23、30;抢到5道时,得分有六种

15、,分别是0、7、14、21、28、35;共1+2+3+4+5+6=21种,选B(2)某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法是答对一道得4分,答错一道扣1分,不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少? 【深圳2008】A.45 B.47 C.49 D.51楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C(12 2)=66种,但是注意此时有些情况的得分是重复的,出现重复的原因是41+(-1)4=0,即答对一道+答错四道=不答五道=0分。如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的五道题进行插板分配时C(7 2

16、)=21,这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来,每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意的情况数有66-21=45种,选A也可以结合一个具体的得分进行说明,比如8这个得分,8=42=43+(-1)4,有两种可能:(1)答对两道、不答八道,(2)答对三道、答错四道、不答三道;两种可能性进行对比,消掉相同部分(答对两道、不答三道)后,(1)不答五道,(2)答对一道、答错四道。这其实就是出现重复的根源,或者说,对于任何一种重复得分,消掉相同部分后,剩下的部分都是不答五道=答对一道+答错四道,即如果先拿出五道题,对剩下五道题进行插板,这C(7 2)=21种情况都会出现重复、需要减掉

17、。(3)某测验包含10道选择题,评分标准为答对得3分,答错扣1分,不答得0分,且分数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同,问最多有多少名测验对象? 【浙江B2018】A.38 B.39 C.40 D.41楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C(12 2)=66种,但是注意此时有些情况的得分是重复的,出现重复的原因是31+(-1)3=0,即答对一道+答错三道=不答四道=0分。如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的六道题进行插板分配时C(8 2)=28,这28种情况出现的得分跟前四道题的0分合起来,每种得

18、分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足题意的情况数有66-28=38种,选A也可以结合一个具体的得分进行说明,比如15这个得分,15=35=36+(-1)3,有两种可能:(1)答对五道、不答五道,(2)答对六道、答错三道、不答一道;两种可能性进行对比,消掉相同部分(答对五道、不答一道)后,(1)不答四道,(2)答对一道、答错三道。这其实就是出现重复的根源,或者说,对于任何一种重复得分,消掉相同部分后,剩下的部分都是不答四道=答对一道+答错三道,即如果先拿出四道题,对剩下六道题进行插板,这C(8 2)=28种情况都会出现重复、需要减掉。对于加分和减分不互质的情况,需要进行一步转化。(4)某次

19、数学竞赛共有10道选择题,评分办法是答对一道得4分,答错一道扣2分,不答得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少? A.21 B.30 C.38 D.51楚香凝解析:相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子,每个箱子至少分0道题,插板法C(12 2)=66种,但是注意此时有些情况的得分是重复的,出现重复的原因是41+(-2)2=0,即答对一道+答错两道=不答三道=0分。如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分的情况有两种,所以在对剩余的七道题进行插板分配时C(9 2)=36,这36种情况出现的得分跟前三道题的0分合起来,每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次,所以满足

20、题意的情况数有66-36=30种,选B(5)某次数学竞赛共有10道选择题,评分办法是回答完全正确得5分,不完全正确得3分,完全错误得0分。设这次竞赛最多有N种可能的成绩,则N应等于多少?A.30 B.38 C.45 D.60楚香凝解析:先做一步转化,使之转化为标准型。鸡兔同笼思想:假设初始为30分,相当于10道题全部不完全正确,在此基础上,每对一道增加2分、每错一道减少3分,那么就变成了回答完全正确得2分,不完全正确得0分,完全错误得-3分。插板法C(12 2)=66种,去掉重复的部分:先拿出3+2=5道题,剩下的五道题插板C(7 2)=21种,66-21=45种,选C(6)在一次数学考试中,

21、有10道选择题,评分办法是:答对一题得4分,答错一题倒扣1分,不答得0分,已知参加考试的学生中,至少有4人得分相同。那么,参加考试的学生至少有多少人?A.91 B.103 C.136 D.199楚香凝解析:先求得分情况有多少种;插板法,C(12 2)-C(7 2)=45种,抽屉原理之最不利原则,每种得分先分3个人,再分一个人必然满足题意,453+1=136人,选D(7)学生参加数学竞赛,共20道题,有20分基础分,答对一题给3分,不答给0分,答错一题倒扣l分,若有l978人参加竞赛,至少有多少人得分相同?A.26 B.27 C.49 D.50楚香凝解析:先求得分情况有多少种;插板法,C(22

22、2)-C(18 2)=78种,抽屉原理之平均分配问题,197878=2528,所以每种得分先分25人,剩下的28个人也尽可能平均分配,则至少有25+1=26个人得分相同,选A(8)小梁买了一个会走路的机器猫玩具,这个机器猫只能走直线不能拐弯,并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。若在小梁的控制下机器猫走了4步,该机器猫可以到达( )种不同的距离。A.8 B.9 C.10 D.11楚香凝解析:解法一:最少走4cm、最多走20cm,所以420之间的偶数都可以到达,选B解法二:转化为4道题,每道题完全答对加5分、部分答对加3分、答错加1分,鸡兔同笼

23、转化为完全答对加2分、部分答对加0分、答错加-2分,插板法C(6 2)-C(4 2)=9种,选B(9)有1元、10元、100元的纸币共60张,每种至少一张,总钱数有多少种可能?A.583 B.592 C.604 D.617楚香凝解析:转化为完全正确得100分,不完全正确得10分,完全错误得1分;利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分,不完全正确得0分,完全错误倒扣9分;插板法C(59 2)=1711种;去掉重复的情况:1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确,先拿出11道题,剩下的插板C(48 2)=1128种;1711-1128=583种,选A插板法技巧之常见应用模型(1)方程a+b+c

24、=10有多少组正整数解?A.15 B.20 C.28 D.36楚香凝解析:相当于把10个相同的苹果分给三个人,每人至少一个,插板法C(9 2)=36种,选D(2)不等式a+b+c10有多少组非负整数解?A.66 B.78 C.84 D.286楚香凝解析:补一个字母d,转化为a+b+c+d=10,此时a、b、c、d都是0的,相当于把10个相同的苹果分给四个人,每人至少0个,插板法C(13 3)=286种,选D(3)(A+B+C)10 的展开式中共有多少项?A.36 B.45 C.66 D.91楚香凝解析:对于(A+B+C)10 的展开式中的任何一项AxByCz,都有x+y+z=10,其中x、y、

25、z都是0的;相当于把10个相同的苹果分给三个人,每人至少0个,插板法C(12 2)=66种,选C(4)有10颗糖,如果每天至少吃一颗(至多不限),吃完为止,问有多少种不同的吃法?A.144 B.217 C.512 D.640楚香凝解析:解法一:若1天吃完,只有1种;若2天吃完,插板法有C(9 1)种;若3天吃完,插板法有C(9 2)种,共C(9 0)+C(9 1)+C(9 2)+C(9 9)=29=512种,选C解法二:10颗糖之间有9个空,每个空都可以选择是否插板,对应的吃糖数就不同,共29=512种,选C(5)有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写

26、为止,如257、303369、1347等等,这类数共有多少个?A.36 B.45 C.55 D.66楚香凝解析:前两位固定,则第三位及之后的数都固定,首位+第二位9,补成a+b+c=9,其中b、c都可为0,插板法C(10 2)=45个,选B(6)有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之差,直至不能再写为止,如7523、9817、63303等等,这类数共有多少个?A.45 B.50 C.54 D.55楚香凝解析:从最后两位考虑,若个位和十位固定,则往前依次固定,个位+十位9,补成a+b+c=9,其中a、b、c单独都可为0,插板法C(11 2)=55,去掉a、b同时为0的情

27、况,满足题意的情况有55-1=54种,选C补充:这类自然数中最大的为85321101(7)4位同学分五个苹果、1个梨,每位同学至少分到一个水果,有多少种不同的分法?A.16种 B.24种 C.40种 D.48种楚香凝解析:先分梨有C(4 1)=4种,假设分给了甲;接下来把五个苹果分给甲乙丙丁,其中甲可以分0个,插板法C(5 3)=10种;共410=40种,选C(8)5个相同的苹果和3个相同的梨分给4个小朋友,每人至少分1个水果,有多少种分配方式?A.210 B.420 C.630 D.840楚香凝解析:解法一:先分梨,分类;(1)3个梨分给同一个人,C(4 1)=4种,假设都分给了甲;接下来5

28、个苹果分给甲乙丙丁,乙丙丁每人至少分1个苹果,插板法C(5 3)=10种,共410=40种;(2)3个梨分给了两个人,C(4 2)2=12种,假设分给甲2个、乙1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,丙丁每人至少分1个苹果,插板法C(6 3)=20种,共1220=240种;(3)3个梨分给了两个人,C(4 3)=4种,假设分给甲乙丙各1个;接下来5个苹果分给甲乙丙丁,丁至少分1个苹果,插板法C(7 3)=35种,共435=140种;共40+240+140=420种,选B解法二:直接容斥,苹果和梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C(8 3)C(6 3)-C(4 1)C(7 2

29、)C(5 2)+C(4 2)C(6 1)C(4 1)-C(4 3)=420种,选B(9)有一个两位数A,将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B,再将A和B相加,结果仍为一个两位数。问这样的两位数A有多少个? 【粉笔模考】A.9 B.32 C.36 D.64楚香凝解析:ab+ba=11(a+b),则2a+b10,补上百位、用百位去凑满10;相当于把10个名额分给百十个位,每位至少分1个名额,插板法C(9 2)=36种,去掉a=b的四种(11、22、33、44),满足题意的有36-4=32个,选B(10)小明将一颗质地均匀的正六面体骰子,先后抛掷2次,两次点数之和大于5的概率是多少? 【

30、粉笔事业模考】A.1/6 B.5/18 C.5/6 D.13/18楚香凝解析:总情况数有66=36种;不满足题意的情况数,两次点数和6,相当于6个名额分给三个人,每个人至少分1个,插板法C(5 2)=10种,概率=(36-10)/36=13/18,选D插板法技巧应用之取球问题(1)箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗,每次从中摸出3颗为一组,问至少要摸出多少组,才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的? 【联考2014】A.11 B.15 C.18 D.21楚香凝解析:相当于三个名额分给3种颜色,每种颜色至少分0个,插板法C(5 2)=10种,抽屉原理,10+1=11种,选A刚学插板法时

31、应用起来不熟练,为了更加便于记忆,特做如下总结:三种颜色的球各一颗,取三颗,有C(3 ,3)=1种取法。三种颜色的球足够多,取三颗,【取三补二】,有C(3+2,3)=C(5 3)=10种取法。n种颜色的球足够多,取m颗,【取m补m-1】,有C(n+m-1,m)种取法。(2)从5个相同的苹果、6个相同的橘子、7个相同的香蕉中取4个水果,有多少种取法?A.15 B.20 C.35 D.3060楚香凝解析:相当于四个名额分给3种水果,每种水果至少分0个,插板法C(6 2)=15种,选A(3)一个袋里有四种不同颜色的小球若干个,每次摸出两个,要保证有10次所摸的结果是一样的,至少要摸多少次?A.55 B.87 C.41 D.91楚香凝解析:解法一:相当于两个名额分给4种颜色,每种颜色至少分0个,插板法C(5 3)=10种,抽屉原理,每种情况分9次,此时刚好不满足题意,再分一次必然满足,109+1=91次,选D解法二:四种颜色的球足够多、取两个,取2补1,C(4+1,2)=10种,抽屉原理,每种情况分9次,此时刚好不满足题意,再分一次必然满足,109+1=91次,选D(4)有四种颜色的文件夹若干,每人可任取12个文件夹,如果要保证有3人取到完全一样的文件夹,则至少应该有( )人去取。 【天

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