小学奥数四年级秋季经典讲义第7讲数表与幻方提高教师.docx

1、小学奥数四年级秋季经典讲义第7讲数表与幻方提高教师第七讲 数表与幻方幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但包含的数学知识非常丰富.教师在讲授本讲时应该做到： 1.使学生掌握三阶、四阶幻方基本图样与奇数阶幻方的填法；2.使学生掌握补填幻方的方法技巧；3.让学生了解和运用幻方的主要性质；数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力.教师应当注意对学生这方面的培养.将1到9这9个数字填入33的正方形表格中，使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻，你知道怎么填吗？想 挑 战 吗？分析： 幻方是指横行、竖列、对角线上数

2、的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一. 解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方小故事（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1

3、至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图： 【例1】 33的正方形中，在每个格子里分别填入19的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法分析：（方法一）第一步：求幻和：1+2+3+9=45第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心

4、数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即154=60，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（60-45）3=5第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图为其中两解，其余请学生自己解决：（方法二）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：（1） 每一个数放在前一个数的右上一格（2） 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，

5、仍然要放在右一列（3） 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行（4） 如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图： （方法三）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了. 说明南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.巩固请你将210这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析：第一步：求幻和

6、：2+3+4+9+10=54第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即184=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）3=6第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图： 小知识 我国北周时期的数学家甄鸾在算数记遗里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明

7、了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.”【例2】 请你将125这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.亮点设计（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的：（2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数

8、幻方是最简单易行的.（3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.（4）亮化：大家现在感到是不是很好玩？美国的有个小孩子写出了105阶的幻方，被记在一本数学课本上.我们现在知道，这里的方法其实不算难吧？其实我们也不妨跟美国小朋友PK一下，来构造一个比较大的幻方，也可以是或者就是做一份数学作品，跟书法作品一样装裱得非常漂亮地挂在你家客厅的墙上，客人到你家作客时，一看是一头雾水，你就简单地问一问他，横行的所有数之和是

9、多少？所有横行的每个和怎么样呢？都相等吧？竖列所有数之和是多少？跟横行的和相等吧！还有，看看两条对角线上，每条对角线上所有数之和呢？轻轻而清晰地告诉他，这就是57阶幻方或者*阶幻方！厉害吧，这就是奥数研究生的作品.（研究奥数的学生简称奥数研究生嘛）当然，别忘了，十几阶的奇数幻方奖一个章，二十几阶的奖励三个章，三十几阶的奖励五个章，四十几阶的奖励七个章，如果六十几阶应该奖励几个章呢？【例3】 用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，19也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上

10、方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即1325=1721；余下各数就不难填写了（见下图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.巩固请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析：（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为243=8. （2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9

11、=16 （3）按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.【例4】 将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k3证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数3=4k，3k+中心方格中的数3=4k，中心方格的数=k3注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3

12、3方格中的数阵问题很实用.拓展如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：首先确定左下角的数为17，这样才能保证第一行和第一列的和相等，如此可以得出，这个三阶幻方中围绕中心的相对位置上的两个数和为17+10=27，接着确定底边和右边上的数，通过设左上角标有*的方格中所填的数未知数为X，列式为（18+x）3+27=18+x，最后求出标有*的方格中所填的数为22.5.【例5】 在33的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.

13、分析：由中间方格中的数为267389.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89178.两个质数之和为178的共有六组：5+17311167291494113747+13171+107.经试验，可得右图所示的三阶质数幻方. 【例6】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27. 分析：为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+527 （1）5+C+E27 （2）5+D+G27 （3）6+C+D

14、=27 （4）A+6+E27 （5）A+C+G27 （6）B+C+F27 （7）E+F+G27 （8）由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知：3C27 C=9.将C9代入（4），D12代入（2），则E=13.将D=12代入（3），则G=10.将E=13代入（5），则A8.将A=8代入（1），则B=14.将B=14、C=9代入（7），则F=4.由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右上图.拓展如图所示，在33方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，

15、试在上一小题的基础上，完成填图分析：（1）设中间的数为Y，则各行各列的和为3Y，求出各个方格中每个数的代数式，左上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X，根据每行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,解得X=171.（由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数） （2）根据（1）所得的每个方格中的代数式可得右上图. 【例7】 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入33阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三

16、位数是第一行组成的三位数的3倍.分析：这一例题较复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应包含全部奇数（1、3、5、7、9）和偶数8，由于=2， =3，所以=+,因此又可把33方格中的数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数

17、字，显然B8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H8（否则，B8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B9，H=7.最后，由于ADG必有A=1，D=3，G=5.由于1922=384，1923=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，I=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于3142658，3542618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A3，此时只有A

18、=1，但当A=1时，G（1+1）3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.拓展将自然数1至9分别填在如下图所示的33方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5分析：中间的数只能为5，这样才能保证有4

19、组数对分别填写于方格四周，相对位置两数和相等并且比中心所填的数大5.【例8】 已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：对角线上的和为34，由此可以确定第四行第三列的数为2，右下角的数为13，于是便可以确定标有*的方格中所填的数为6.（二）数表【例9】 如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x那么x所代表的数是多少?分析：先分析竖直方向的数字出现规律，都是以3为周期循环出现相同数字，求得交叉点上数字为10，同理可求得x=5.前铺如图，有一个11位数，它的每

20、3个相邻数字之和都是20问标有*的那个数位上的数字应是几?分析：由“它的每3个相邻数字之和都是20”，可知这个数的各个数位上的数字以3为周期循环出现，11=2+33，所以第二个数等于第十一个数7，第三个数为：20-9-7=4，所以这个数为97497497497，标有*的那个数位上的数字应是7.拓展如下图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖行相邻三个数的和都为20，那么“*”所代表的数是多少？分析：设左上角方格中的数为x，那么左上角的数为14-x，左下角方格中的数为12-x，由此还能求到右下角的数为6+x，“*”所代表的数为20-（14-x）-（6+x）=0.【例10】 请在48方格表的每个

21、方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7分析：首先考虑一个横排，要使横排任意四个数包含3、2、1、1，那么每个横排上的数都应该以4为一个周期，将这样的一个横排向左错位一格作为它的下一排，向左错位两格作为它的下边第二排，那么在竖直方向，数表也将符合题目条件的性质.拓展请在48方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7分析：这个图形如图打上斜线，那么这四个格子都在不同的斜线上，将48的方格网也打上斜线，填数的时候，只要保证同一条斜线上的数相同，并且从最上边的斜线向下，线上对应的数以4为周期依次出现两个1，一个2，一个

22、3.【例11】 如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列第二列第三列第四列第一行1251017第二行43611第三行98712第四行16151413分析：按照填写顺序，所有的完全平方数都出现在数表的第一列，所有小于等于的正整数数都能够组成一个边长为n的正方形，4422007452，所以2007处在边长为45的正方形的边缘，边长为四十五的正方形边缘第一个数是442+1=1937，位于第一行、第四十五列，最后一个数是452=2025，位于第四十五行，第一列，所以第四十五行，第四十五列的数是（2025+1937）2=1981，20071981，所

23、以2007在第四十五行上，2025-2007=18，所以2007在第十九列上.前铺如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？第一列第二列第三列第四列第五行第一行1234第二行8765第三行9101112第四行16151413分析：各个自然数的列号以8为循环，行号每4个数加一行，2007=8250+7，所以2007在第3列，第502行，它下边的数比2007大4，所以2007下边是2011.【例12】 将18填入右图中的内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个内. 分析：因为中间两个分别只与一个不相邻，只能填1和8，其余数的填法见右上图.巩固教

24、师可以向同学们补充此题，本质和上题是一样的，教师可以用些脑筋借助此题增添自身魅力：将18填入右图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数. 答案：拓展在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入19这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析：为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S，那么图中六个正方形可得到：a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+

25、a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=445=9S. 9S=445S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b2=5.从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=

26、20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但19中只有4个偶数，有矛盾.若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样19中有六个奇数，有矛盾.若a1为偶数，a3为奇数，情况与相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数.这样，就比较容易找到此解.也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+

27、8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了. 幻方、数表类题目虽然变化不多，但这一类题目与数学很多分支包括：组合数学、数论等都有结合，今后同学们接触到更多的数学知识后会对幻方有更深入的了解.1. （例1）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.分析：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.2. （例3）用1，3，5，7，9，11，13，15，17编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，19

28、也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填9；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即3，7，11，15，而且对角两数的和相等，即315=711；余下各数就不难填写了（见下图）.3. （例6）在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于1995那么，标有*的格内所填的数是多少?分析：设中间的数为X，可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数的代数式，由于3X=19.95，X=6.65，最后得到，标有*的格内所填的数是11.12.4. （例10）在如左图66的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一

29、种图形覆盖方格网，盖住的数和为12. 分析：12=1+1+2+2+3+3，将1、2、3如图排列后能保证符合条件5. （例12）将110这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.分析： 1+2+9+10=55，5个角上的数都被加了两遍，设5个角上数的和为k，所以和为：（55+5k）5=11+k，要想和最大k取最大值，为6+7+8+9+10，则五个角上的数可定，如右上图.许多名人喜欢用数学比喻，往往出语幽默、诙谐，好比深山闻钟，使人记忆久远.古希腊哲学家芝诺号称悖论之父，他有四个数学悖论一直传到今天.他曾讲过一句名言：大圆圈比小圆圈掌握的知识要多

30、一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习.人民教育家陶行知先生曾经说，他有八位好朋友做帮手，使他少犯错误，甚至可以不犯错误.他编了一首歌，读起来非常动听：我有八位好朋友，肯把万事指嘉摇?你若想问真姓名，名字不同都姓何. 何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟弟与哥哥.还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何.若向八贤常请教，虽是笨人少错误. 美国作家杰克伦敦成名后，曾收到过一位女士的求爱信；你有一个出众的名声，我有一个高贵的地位.这两者加起来，再乘上万能的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的美满家庭.杰克伦敦连忙回信，他答得很妙：根据你列出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这个平方根却是负数.古希腊哲学家芝诺对他的学生说：“如果用 小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的