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1、小学奥数之方阵问题例题习题及含答案方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：一、实心方阵1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数每边数2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）13方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数215、每层数=（每边数-1）4二、空心方阵1、外边人数=总人数4层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2 =（最外层每边数-层数）层数4 =（最外层数+最内层数）层数23、内层数=外层数-

2、84、每层数=（每边数-1）45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析 这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 解：88=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学。例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析 依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。

3、根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）4只。解：（1）棋子的总数是多少？66=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）4=20（只） 答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。例3.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。解:(1)方阵最外层

4、每边的人数:204+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:66=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。例4:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数

5、和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个

6、）第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算。（14-3）34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？解析：依据：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21可知每边的人数是：（人）原人数是：（人）【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例

7、5 一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析 排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。 解：（1）去掉多少只棋子？ 82-1=15（只）（2）还剩多少只棋子？88-15=49（只）答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。例6 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还

8、剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？解题分析 排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。 解：（1）原来方阵中每排有多少人？ （5+26-1）2=15（人）（2）四年级共有多少人？1515+5=230（人） 答：育英小学四年级有230人。例7：参

9、加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为（人）【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问

10、：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数每行人数每列人数。（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数原每行人数21，或去掉的总人数减少后每行人数21。本题中所求，即去掉的人数72113（人）或去掉的人数（71）2113（人）还剩的人数（71）（71）36（人）或还剩的人数7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例8 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，

11、这个方阵共有多少人？解题分析 要求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）层数4，即可求出这个方阵共有多少人。 解：6+（3-1）2-334=84（人） 答：这个方阵共有84人。例9.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边

12、放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)34=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。例10：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：1212=144（人）（2）第四层每边人数：12-2（4-

13、1）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2）（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数外边人数-（内边人数-2）（内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：844=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）层数4【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）4（面） 例11

14、：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（

15、棵）整个花坛共栽花：（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。例12.玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?玲玲一共种鸡冠花多少棵?分析:(1)由图可知大三角形的一条边是由两条小三角形的边组成的,而在大三角形一条边的中间那棵花,是两条小三角形的边所共用的,所以如果小三角形每边种花5棵,那么大三角形每边上种花的棵数就是52-1=9棵了,又由于大三角形三个顶点上的3棵花,都是大三角形的两条边所共用的,所以大三角形一周种花的棵数等于大三

16、角形三边上种花棵数的和减去三个顶点上重复计算的3棵花,即:93-3=24,就是大三角形一周种花的棵数。(2)三角形各条边上种鸡冠花棵数的总和,等于里边小三角形一周上种花的棵数,加上大三角形一周种花的棵数,再减去重复计算的3棵花(因为里边小三角形的三个顶点上的三棵花,也分别是外边大三角形每条边上的一棵花)。解:(1)大三角形一周上种花的棵数是:(52-1)3-3=24(棵)(2)小三角形一周种鸡冠花的棵数是:(5-1)3=12(棵)(3)玲玲一共种鸡冠花的棵数是:24+12-3=33(棵)答:大三角形一周种鸡冠花24棵;玲玲一共种鸡冠花33棵。例13.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的

17、方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等,即最外层杨,柳树分别为(7-1)42=12(棵)。当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵。解:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)42=12(棵)(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵:

18、杨树:(77+1)2=25(棵)柳树:77-25=24(棵)(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树柳树(77+1)2=25(棵)杨树77-25=24(棵)答:在图(1)(2)两种方法中,方阵最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树12棵,方阵中总共有杨树25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵。例14. 小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？解一设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方

19、程组：N=4x4N=3y-3 N=60y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。注释 这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。解二根据数字特性法：硬币能围成正三角形硬币的个数是3的倍数硬币的价值可以三等分根据选项选择C。 例15. 要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?（）解析根据公式：棵数=总长间隔+1。边长为48米，每横行相距3米，共有483+1=17行；边长为48米，每横行相距6米，共有486+1=9列；可得：179=153（棵），一共可种树苗153棵。 【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、

20、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是9人。解：每行每列数：（人） 共有：（人）练 一 练1.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?这个四层空心方阵共有多少个学生?2.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?3.三年级(1)班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?三(1)班参加体操表演的共有多少人?4.现有松树和柏树以隔株相间的种

21、法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?练 一 练 答 案(1)(20-23-1)4=42(个)(20-4044=256(个)(2)最外层每边人数=总数4层数+层数20443+3=20(盆)(3)76-6=36(人) 712-62-5=67(人)(4)最外层松柏各是:(9-1)42=16(棵)共有松柏树是:(99+1)2=41(棵)81-41=40(棵)答:柏树41棵,松树40棵,或松树41棵,柏树40棵。例16：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差

22、8”的特点，可知最外层共有棋子数：（200+8+82+83+84）556（个）最外层每边的棋子数：564+115（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数：200450（个）每一部分每排的棋子数：50510（个）最外层每边的棋子数：10515（个）综合列式为：20045515（个）答：最外边一层每边有15枚棋子。【巩固】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的

23、个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。最外层队员的总数：（人）三层共有队员的总数：=（人）解析2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（123）39327（人）三层共有队员数：274108（人）答：彩车周围的少先队员共有108人。这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。例17. 有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。A. 296人?B. 308人?C. 324人?D. 348人答案B解一最外层68人，中间一层44人，则最内层为4426820人（成等差数列）。因此一共有：68-20817（层），总人数为447308

24、。 解二中间一层共44人，总人数是44层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。例18. 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有多少人。A. 120?B. 144?C. 176?D. 194答案B解一设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式：4x-4=484y-4=24 x=13y=7因此外层每边13人，内部空心部分每边7-25人，根据“逆向法思维”：共有132-52=144人。解二总人数（48+24）层数236层数，是36的倍数，直接锁定B。解三根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。例19.

25、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？? 分析与解：如下图：? ? 方法一：去掉的一行一列的人数为： （人）? 剩下的人数为： （人）? 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即 （人）? 去掉的人数为： （人）例20. 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？? 分析与解：此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：? 原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）2? 即：原来每行人数是 （人）? 原来准备参加表演的人数：

26、（人）? 答：四年级原准备196人参加表演。例21. 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人?分析 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等;最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数2-1 解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行(或一列)人数=(33+1)2=17方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为1717=289(人)例

27、22. 军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？? 分析与解：如下图：? ? 方法一：去掉的一行一列的人数为： （人）? 剩下的人数为： （人）? 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即 （人）? 去掉的人数为： （人）? 例23. 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？? 分析与解：此题刚好是例1的逆向题，根据正方形队列的特点可知：? 原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）2? 即：原来每行人数是 （人）? 原来准备参加表

28、演的人数： （人）? 答：四年级原准备196人参加表演。例24. 正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？? 分析与解：如下图：? ? 方法一：从图（1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：? （盏）? 方法二：按图（2）把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：? （盏）? 答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。例25. 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？? 分析与解：? 方法一：这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有 （人），

29、第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有 （人），比第一层总数少8人，同理，第三层总数是 （人）? 三层共有队员的总数： （人）? 方法二：如下图，可把队员分成人数相等的四部分，每一部分的人数：? （人）? ? 三层共有队员数： （人）? 方法三：从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数：? （人）例26. 小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子？? 分析与解：? ?方法一：利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。可知最外层共有棋子数：? （个）? 最外层每边的棋子数： （个）? 方法二：如下图，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为： （个），每一部分每排的棋子数为： （个）? 最外层每边的棋子数为： （个）? ? 列综合算式：? （个）? 答：最外层每边有棋子15个。练习题：? 1. 运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？? 2. 学校为庆祝“十一”，用盆花摆了一个中实方阵，最外一层有36盆花。求这个方阵共有花多少盆？? 3. 一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？? 4. 有一个用圆片摆成的两