届高三理科数学一轮复习学案 定积分与微积分基本定理.docx

1、届高三理科数学一轮复习学案 定积分与微积分基本定理第五节 定积分与微积分基本定理突破点(一)求定积分基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式(i)xf(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.2定积分的相关概念在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式3定

2、积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)4微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，我们常常把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a).考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用微积分基本定理求定积分例1计算下列定积分：(1)(x22x)dx；(2)(sin xcos x)dx；(3)dx； (4) dx.解(1)(x22x)

3、dx(x2)dx2xdxx3x2|1.(2)(sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x)|sin x|2.(3)dxe2xdxdxe2xln x|e4e2ln 2ln 1e4e2ln 2.(4) dx|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) 0(cos xsin x) 1(1)22.方法技巧利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数(

4、4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值(5)计算原始定积分的值利用定积分的几何意义求定积分例2利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2) (3x34sin x)dx.解(1)根据定积分的几何意义，可知dx表示的是圆(x1)2y21的面积的(如图所示的阴影部分)故dx.(2) (3x34sin x)dx表示直线x5，x5，y0和曲线y3x34sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号设yf(x)3x34sin x，则f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x)，又f(0)0，所以f(x)3x34sin x在5,5上是奇

5、函数，所以 (3x34sin x)dx(3x34sin x)dx，所以 (3x34sin x)dx (3x34sin x)dx(3x34sin x)dx0.方法技巧1利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线xa，xb，y0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分2两个常用结论设函数f(x)在闭区间a，a上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则f(x)dx2f(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则 f(x)dx0.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1. (x1)dx()A2 B2

6、C. D.解析：选B (x1)dx2.2. sin2dx()A0 B.C. D.1解析：选Bsin2dxdxxsin x.3.设f(x)(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为()A. B2 C1 D.解析：选A根据定积分的性质，可知f(x)dx可以分为两段，则f(x)dxx2dxdxx3ln x1.4.dx_.解析：根据定积分的几何意义，可知dx表示圆(x2)2y21与x1，x2及y0所围成的圆的面积的，即dx.答案：5. sin xdx_.解析：令 y，则x2y21(y0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半所以dx表示圆x2y21与x轴所围成的上半圆的面积，因此.又

7、因为sin xdx(cos x) cos 1cos(1)0，所以1sin xdx.答案：突破点(二)定积分的应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积Sf(x)dxSf(x)dxSf(x)dxf(x)dxSf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx2求变速运动的路程做变速运动的物体在时间a，b上所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.具体步骤为：找出速度函数vv(t)，作出图形观察vv(t)的图形是否满足v(t)0.若v(t)0，则相应的时间段a，b上的路程为sv

8、(t)dt；若v(t)0，则相应的时间段a，b上的路程为sv(t)dt.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 利用定积分求平面图形的面积例1由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A. B4 C. D6解析作出曲线y和直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由得交点A(4,2)因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为dxxx22x81624.答案C方法技巧利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案定积分在物理中的应用例2(1

9、)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825lnC425ln 5 D450ln 2(2)一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_J.解析(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.(2)由题意知，力F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx5x|5236(J)答案(1)C(2)36方法技巧定积

10、分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：如果物体做变速直线运动，且其速度为v v(t)(v(t)0)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)求变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.若x(单位：m)表示位移的大小，一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m，力F(x)做功为()A8 J B12 J C15 J D. J解析：选D由题意得Wdxx J.2.曲线y与直线yx1及x4所围成的封闭图形的面积为()A2ln

11、2 B2ln 2C4ln 2 D42ln 2解析：选D由曲线y与直线yx1联立，解得x1，x2，如图所示，故所求图形的面积为Sdxx2x2ln x42ln 2.3.(2016衡阳一模)如图，阴影部分的面积是()A32 B16 C. D.解析：选C由题意得，阴影部分的面积S (3x22x)dx.4由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_解析：如图所示，由x210，得抛物线与x轴的交点分别为(1，0)和(1,0)所以S|x21|dx(1x2)dx(x21)dx2.答案：25.物体A以速度v3t21(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B

12、在物体A的正前方5 m处以v10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是_m.解析：设b s后两物体相遇，则(3t21)dt10tdt5，即b3b5b25，(b21)(b5)0，解得b5，此时物体A离出发地的距离为(3t21)dt(t3t)535130(m)答案：130近五年全国卷对本节内容未直接考查课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1.exdx的值等于()Ae B1eCe1 D.(e1)解析：选Cexdxex|e1e0e1.2已知t是常数，若(2x2)dx8，则t()A1 B2C2或4

13、 D4解析：选D由(2x2)dx8得，(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)3从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为vgt(g为常数)，则电视塔高为()A.g Bg C.g D2g解析：选C由题意知电视塔高为gtdtgt22ggg.4由曲线yx2，y围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D1解析：选B由得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为(x2)dx|.5sindx_.解析：依题意得sindx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (sin 0cos 0)2.答案：2练常考题点检

14、验高考能力一、选择题1定积分|x22x|dx()A5 B6 C7 D8解析：选D|x22x|x22xdx(x22x)dx(x22x)dx8.2(2017河北五校联考 )若f(x)f(f(1)1，则a的值为()A1 B2 C1 D2解析：选A因为f(1)lg 10，f(0)3t2dtt3|a3，所以由f(f(1)1得a31，所以a1.3若S1dx，S2(ln x1)dx，S3xdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS1S3S2 DS3S10)围成的图形的面积为，则m的值为()A2 B3 C1 D8解析：选A由题意得，围成的图形的面积S (m)dxm20m3m3，

15、解得m2.5设变力F(x)(单位：N)作用在质点M上，使M沿x轴正方向从x1 m处运动到x10 m处，已知F(x)x21且方向和x轴正方向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为()A1 J B10 J C342 J D432 J解析：选C变力F(x)x21使质点M沿x轴正方向从x1运动到x10所做的功WF(x)dx(x21)dx|342(J)6若函数f(x)，g(x)满足1f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1,1上的一组正交函数给出三组函数：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1,1上的正交函数的组数为()A0

16、B1 C2 D3解析：选C对于，sinxcosxdxsin xdx0，所以是区间1,1上的一组正交函数；对于， (x1)(x1)dx (x21)dx0，所以不是区间1,1上的一组正交函数；对于，xx2dxx3dx0，所以是区间1,1上的一组正交函数选C.二、填空题7若函数f(x)x，则f(x)dx_.解析：dx.答案：8(2017洛阳统考)函数f(x)的图象与直线x1及x轴所围成的封闭图形的面积为_解析：由题意知所求面积为(x1)dxexdxex(e1)e.答案：e9.dxdx_；解析：dxln x101，因为dx表示的是圆x2y24在x轴上方的面积，故dx222.所以原式21.答案：2110

17、如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是_解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2.由S(t)2t(2t1)0，得t为S(t)在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t)minS.答案：三、解答题11已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f(0)0，f(x)dx2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值解：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.由f(1)2，f(0)0，得 即f(x)ax22a.又f(x)dx(ax22a)dx2a2.a6，从而f(x)6x24.(2)f(x)6x24，x1,1当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.12已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积解：(1,2)为曲线f(x)x3x2x1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，则kf(1)(3x22x1)2，过点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即y2x.y2x与函数g(x)x2围成的图形如图：由可得交点A(2,4)，O(0,0)，故y2x与函数g(x)x2围成的图形的面积S(2xx2)dx4.