追及与相遇问题知识详解及典型例题.docx

1、追及与相遇问题知识详解及典型例题追及与相遇问题知识详解及典型例题（精品） 知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系， 所应用 的规律是匀变速直线运动的相关规律。追及、相遇问题常常涉及到临界问题， 分析临界状态， 找出临界条件是解决这类 问题的关键。 速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、 或间距最大或最小的临界条 件。在两物体沿同一直线上的追及、 相遇或避免碰撞问题中关键的条件是： 两物体能 否同时到达空间某位置。 因此应分别对两物体研究， 列出位移方程， 然后利用时 间关系、速度关系、位移关系解出。解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、 时间关系、速度关系

2、， 这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。1.追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时， 若二者速度相 等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。若二者相遇时（追 上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条 件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度， 则被追者还有一次追上追者的 机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时， 当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。“追上”的主要条

3、件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三 种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时， 一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即 V甲=V乙;二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时， 存在一个恰好追上 或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即 V甲V乙，此临界条件给出了一 个判断此种追赶情形能否追上的方法， 即可通过比较两物体处在同一位置时的速 度大小来分析， 具体方法是： 假定在追赶过程中两者能处在同一位置， 比较此时 的速度大小，若V甲 V乙，贝U能追上去，若V甲V V乙，则追不上，如果始终追不 上，当两物体速度相

4、等时， 两物体的间距最小; 三是匀减速运动的物体追赶同方 向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。两物体恰能“相遇”的临界条件： 两物体处在同一位置时， 两物体的速度恰好相 同。2.相遇同向运动的两物体追及即相遇，分析同 1相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距 离时即相遇。三. 解题方法指导：1. 解“追及”“相遇”问题的思路： 解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法， 即数学方法和物理方法求解过 程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。解题的基本思路是： 根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图； 根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程

5、。注意要将两物体运 动时间的关系反映在方程中。 由运动示意图找出两物体位移间关联方程。 联立方程求解。运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：解析法、图象法、极值法等。应适 当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。但平时训练仍应 以物理意义突出的解析法为主。通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰 问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、 “恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点， 找出临 界条件。2. 分析“追及”“相遇”问题应注意：1分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件 是两物体的速度满足的

6、临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好 追不上等”。两个关系是时间关系和位移关系。其中通过画草图找到两物体位移 之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。因此，在学习中一定要 养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。 特别对较复杂的运动，画出草图可使 运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。2分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几 个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动3仔细审题，注意抓住题

7、目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚 好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往对应一个临界状态，由此找出满 足相应的临界条件。还要注意：由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。解 题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。解题时除采用常规的公式 解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为 反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。【典型例题】例1火车以速度V1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为 S处 有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度 V2作匀速运动，于是他立即使车 作匀减速运动，加速度大小为 a，要使两车

8、不致相撞，则a应满足的关系式为分析：司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时， 两 车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位 移与前面火车的位移之差要小于 S时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。解法一：当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时 间为t ,则解法二：以前车为参照系，后车的速度为 - 1 1 ，当后车的速度减为零时,其位移小于S ,两车不会相撞，即解法三：作出两车运动的速度一时间图像如图所示， 由图像可知：在两图像相交 前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于 S时，两车不会相撞。解法四：后车的位移为 前

9、车的位移为= ,要使两车不相撞,r 、 atS1-S2 = (V1-V2)/- 0IJ-I说明此二次函数无解，即以上四种解法中，以第二种解法最简捷例2甲、乙两车相距S,同时同向运动，乙在前面做加速度为 ai、初速度为零 的匀加速运动，甲在后面做加速度为 32、初速度为V。的匀加速运动，试讨论两 车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析：由于两车同时同向运动，故有 V甲=v0+a2t，V乙=ait1当a1a2时，at V乙，由于原来甲在 后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过 乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次； 当31=32时，at=a

10、2t ,可得V甲v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次： 当a1a2时， 3t3 2t，V甲和V乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始， 3it和a2t相差不大且甲有初速V。，所以，V甲v乙，随着时间的推移，ait和a2t相差 越来越大；当ait a2t=v0时，V甲=V乙，接下来ait a2tV0，则有V甲VV乙，若在 V甲=V乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于 V甲VV乙，甲车就没有机会超过乙 车，即两车不相遇；若在V甲=V乙时，两车刚好相遇，随后 V 甲=V乙，甲车又要落 后乙车，这样两车只能相遇一次；若在 V甲=V乙前甲车己超过乙车，即已相遇过 一次，随后由于V 甲VV乙，甲

11、、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一 次，别两车能相遇两次。 2 2解法一： 由于 X 甲=vot+ 1 a2t , X 乙=ait ,相遇时有 X甲一X乙=X, 1 则：vot+ a2t2 ad2=x, (ai a2) t2 vot+X=O% 尼2 S严jr所以t= 1当a1a2时，若打2 (ai a2) X,式t有两个正解，即相遇两次。解法二：利用vt图象求解, 当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：的 I和U,其中划斜 线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为 S,则t时刻 甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多， 所以只能

12、相遇一次。2当a1 1 -(2) V0 : H111解析:两球相遇时位移之和等于h。即：1 gt + (Vot -gt2) =h所以h:t= C1 而B球上升的时间：t1=二，B球在空中运动的总时间：t2=二h_ (1)欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t Vt 1 ,即 4 , -(2)欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1t t 22 A 即二V V二 所以：_ VVoV ：用12.解析：画出两车vt图象如图所示，可知，在自行车追上汽车前，二者速 度相同时，相距最大，为阴影三角形面积。汕=0-6）816WO V213.解：（1）如图（甲）所示，其相对位移为VI偽- 即I-（ 甲）（2）如

13、图（乙）所示，当两车间距较小，即一 时，两车不发生碰撞的条件 是，其相对速度为0,即二者有共同速度r。AL（D* s pf将题中数据代入可得 由(1)式得= + = 1 4 s22f心巧厂讥J如乙、丙两车间距2 1.4=2 河=1.4由(2)式得Vj + 25f一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申A、B两列火车在同一轨道上同向行驶， A在前，速度为VA = 10ms, B在后，速度为VB= 30ms,因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有 A车，这时B车立即 刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：(1)车若要仍按原速前进，两车是否相撞？试说明理由。(2)B在刹车的同时发出信

14、号， A车司机在收到信号 1.5s后加速前进，A车加速度为多大时，才能避免事故发生？(不计信号从 A传到B的时间)第一问的解法如下:解：先求B车从刹车到停下来所需时间 tB由 SB = vB tB 得2sB 1800tB=冇=2 -3Ts=120sSA=VA tB=10 120m=1200m最后比较sA+S0和SB的大小关系即可判断结果由于SA+S0=(1200+500)m=1700m 故sa+sv SB由位置关系图可知两车会相撞。提问1:通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？解：设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有 Sa+S0=SB而SA=VA t, SB=VB t+ 2

15、at2 （其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出a= -0.25ms2）,将SA、sB的表达式代入上式解得提冋2：为什么有两个解？t2是否有意义？t =31s，t2=129s答：A、B两车相撞两次，第一次是 B车追上A车，第二次是 A车追上B车。两车只能相撞一次，故 t2没有意义。提问3： B车追上A车时，哪车的速度大?vA _vBa答：B车的速度大，因为B车从减速到和 A车的速度相等所需的时间为:提问4:若A、B两车相遇但不会相撞， A车又追上B车时，B车的速度是多大？从 B车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间?答：由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍

16、为零。由于 B 车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：t2sBvAs0 =%5s=130s。这是一个实际问题，要注意解的合理性。VA 10提问5：若开始两车相距 700m,试问两车是否会相撞？答：由于 SA+So=12OO+7OOm=19OOm ,而 se=1800m ,即 sa+So Sb,故两车不会相 撞。提问6：若用第二种方法，即设 B刹车后经过时间t两车相撞，方程是否有解呢？答：由 SA+S0=SB得1 2VA t+ So=Vb t+ - at2即 10t+700=30t-0.125t移项并整理得2t -160t+5600=0该方程的判别式为2 =160 -4 5600=3200

17、 0,故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。原来先是 B超过A ,后来A又超过B,我们不能认为开始时 A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。由 此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。提问7:试问：若要使两车不相撞，开始时两车间的距离 So至少为多少?解：设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出：1 2VA t+ So=VB t + - at2即 10t+s=30t-0125t移项并整理得2t -160t+8so=0要使两车不相撞，即要使该方程无解，即AvO即 1602-4 8s0v 0故so 800m ,即开始时两车间的距离至少为 800m。提问&若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？答：应该刚好相等，刚开始时 B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到相等时， 距离最小，之后两车之间的