全等三角形难题集锦.docx

1、全等三角形难题集锦全等三角形难题集锦 1、（2007年成都）已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD相交于点 F，H是 BC 边的中点，连结 DH与 BE相交于点 G。(!)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。2.（2012内江）已知ABC 为等边三角形，点 D为直线 BC 上的一动点（点 D不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD

2、；（2）如图 2，当点 D在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系 3（08河北中考第 24 题）如图 14-1，在ABC 中，BC 边在直线 l 上，ACBC，且 AC=BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF与边 AC 重合，且 EF=FP（1）在图 14-1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 l

3、向左平移到图 14-2的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结AP，BQ猜想并写出 BQ与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-3的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 4.如图 1、图 2、图 3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1中，AC 与 BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 B

4、D还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？（3）若COD绕点 O顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答（2）证明DOBCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：（1）相等 在图 1中，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD，AC=BD；（2）相等 在图 2中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC点评：本题考查了等腰三角形的性质、

5、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角 5（2008河南）（9 分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC 中，AB=AC，P 是ABC 内部任意一点，将 AP 绕 A顺时针旋转至 AQ，使QAP=BAC，连接 BQ、CP，则 BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两

6、个小题思路是一致的；已知QAP=BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得QAB=PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知 AB=AC，即可由 SAS 证得ABQACP，进而得出 BQ=CP 的结论解答：证明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA和CPA 中，AQ=AP QAB=CAP AB=AC，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP 仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC；在QAB和PAC 中，AQ=AP QAB=PAC AB=AC，QABPAC（SAS），

7、BQ=CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键 5（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片 和 且 。将这两张三角形胶片的顶点 与顶点 重合，把 绕点 顺时针方向旋转，这时 与 相交于点 当 旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与 的数量关系是 当 继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与 DO存在怎样的数量关系？请说明理由 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）根据外角的性质，得AFD=D+ABC，DCA=A+ABC，从而得出AFD=DCA；（

8、2）成立由ABCDEF，可证明ABF=DEC则ABFDEC，从而证出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可证得点 B在 AD的垂直平分线上，进而证得点 O在 AD的垂直平分线上，则直线 BO是 AD的垂直平分线，即 BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得 AB=DE，BC=EF（或 BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC 在ABF和DEC 中，AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDC BAC-BAF=EDF-EDC，FAC=CD

9、F AOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA 方法二：连接 AD同方法一ABFDEC，AF=DC 由ABCDEF，得 FD=CA 在AFDDCA，AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如图，BOAD 方法一：由ABCDEF，点 B与点 E重合，得BAC=BDF，BA=BD 点 B在 AD的垂直平分线上，且BAD=BDA OAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODA OA=OD，点 O在 AD的垂直平分线上 直线 BO是 AD 的垂直平分线，BOAD 方法二：延长 BO交 AD于点 G，同方法一，OA=OD 在ABO和DBO 中，A

10、B=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO 在ABG和DBG 中，AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90 BOAD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握 例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC 上的一点，F 为 CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB使得 BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90 即可解题解答：解：延长 EB使得BG=DF，在

11、ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90 EAG+EAF=90，EAF=45 答：EAF的角度为 45 点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键 例 2 D为等腰 斜边 AB的中点，DMDN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E,F。（1）当 绕点 D转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2

12、，求四边形 DECF的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题分析：（1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，则BCD=45，CDA=90，由DMDN得EDF=90，根据等角的余角相等得到CDE=ADF，根据全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到结论；（2）由DCEADF，则 SDCE=SADF，于是四边形 DECF的面积=SACD，由而 AB=2 可得 CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得 SACD，从而得到四边形 DECF的面积解答：解：（1）连 CD，如图，D为等腰 RtABC 斜边 AB的中

13、点，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，EDF=90，CDE=ADF，在DCE和ADF中，DCE=DAF DC=DA CDE=ADF，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形 DECF的面积=SACD，而 AB=2，CD=DA=1，四边形 DECF的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质 6、已知四边形 中，绕 点旋转，它的两边分别交（或它们

14、的延长线）于 当 绕 点旋转到 时（如图 1），易证 当 绕 点旋转到 时，在图 2和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 7（西城 09年一模）已知:PA=,PB=4,以 AB为一边作 正方形 ABCD,使 P、D两点落在直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45 时,求 AB及 PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及 相应APB的大小.图 1 图 2 图 3（）如图 1，当点 M、N边 AB、AC 上，且 DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时 ；（）如图 2，

15、点 M、N边 AB、AC 上，且当 DM DN时，猜想（）问的两个结论还成立吗？写出 例 8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC 和ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60 角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB，AC 重合.将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD相交于点 E，F时，（如图 131），通过观察或测量 BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD的延长线相交于点 E，F时（如图 132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明

16、理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出BAE=CAF，进而求出ABEACF 即可；（3）利用四边形 AECF的面积 S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 求出即可解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，证明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，BAE=CAF AB=AC ABE=ACF，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）还成立，证明：BAC=EAF=60，BAC+EAC=EAF+E

17、AC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）证明：ABEACF，SABE=SACF，四边形 AECF的面积 S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而 SABC=1 2 S 菱形 ABCD，S=1 2 S 菱形 ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键 解：（1）BE=CF.证明：在ABE和ACF中，BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）.BE=CF.（

18、2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF 8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：证明题 分析：（1）此题根据ABC 与AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明 DCBE 解答：证明：（1）ABC 与AED均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD

19、=90 BAC+CAE=EAD+CAE 即BAE=CAD，在ABE与ACD 中，AB=AC BAE=CAD AE=AD ABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45 又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90 DCBE 点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得 9、正方形 ABCD 中，E为 BC 上的一点，F 为 CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长 EB使得 BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得 AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再

20、求出EAG+EAF=90 即可解题解答：解：延长 EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90 EAG+EAF=90，EAF=45 答：EAF的角度为 45 点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键 7、D为等腰 斜边 AB的中点，DMDN,DM,DN分别交 BC,CA 于点 E

21、,F。当 绕点 D转动时，求证 DE=DF。若 AB=2，求四边形 DECF的面积。10、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形 ABCDE的面积 考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长 DE 至 F，使EF=BC，可得ABCAEF，连 AC，AD，AF，可将五边形 ABCDE 的面积转化为两个ADF的面积，进而求出结论解答：解：延长 DE至 F，使 EF=BC，连 AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在 RtABC 与 RtAEF中，AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABC

22、RtAEF（SAS），AC=AF，在ACD与AFD 中，AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=21 2 DFAE=21 2 22=4点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，应熟练掌握 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E为 BC 上的一点，F 为 CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.将三角形 ADF绕点 A 顺时针旋转 90度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF全等于 AEG 所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF

23、+BAE+DAF=90 所以EAF=45度 （1）如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在 A 点处，两条直角边也与 CB的延长线、DC 分别交于点 E、F请你通过观察、测量，判断 AE与 AF之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图 2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图 3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明 理由如果没有，那么点 P 在 AC 的什么位置时，PE、PF才具有（2）中的数量关系 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出

24、AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点 P 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，证明PMEPNF可推出 PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点 P 在 AC 的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图 1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图 2，PE=PF 理由：过点 P 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，则 PM=PN由此可证得PME PNF（ASA），从而证得 PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系 当点 P 在 AC 的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专

25、题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出 AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点 P 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，证明PMEPNF可推出 PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点 P 在 AC 的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图 1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图 2，PE=PF 理由：过点 P 作 PMBC 于 M，PNDC 于 N，则 PM=PN由此可证得PMEPNF（ASA），从而证得 PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系 当点 P 在 AC 的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关

26、系点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定 例 8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC 和ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60 角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB，AC 重合.将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD相交于点 E，F时，（如图 131），通过观察或测量 BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD的延长线相交于点 E，F时（如图 132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）BE=CF.证明

27、：在ABE和ACF中，BAE+EAC=CAF+EAC=60，BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）.BE=CF.（2）BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF 10、用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD.把一个含 60 角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的 60 角的顶点与点 A重合，两边分别与 AB、AC重合.将三角尺绕点 A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC、CD相交于点 E、F时（如图所示），通过观察或测量 BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边

28、分别与菱形的两边 BC、CD的延长线相交于点 E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。11已知AOB=90，AOB的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与点 C 重合，它的两条直角边分别与 OA、OB或它们的反向延长线相交于 D、E。当三角形绕点 C 旋转到 CD与 OA垂直时（如图 1），易证：CD=CE 当三角板绕点 C 旋转到 CD与 OA不垂直时，在图 2图 3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。3、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，G为 CD边上一动点（点 G 与 C、D不重合），以 C 为一边向正

29、方形 ABCD外作正方形 GCEF，连接 DE交 BG 的延长线于H。（1）说明：BCGDCE；（2）BG与 CD有何关系？为什么？（3）将正方形 GCEF绕点 C 顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。12如图，点 M 为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB为一边向外作等边三角形ABE，将 BM 绕点 B逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN（1）求证：AMBENB；（2）若 AM+BM+CM 的值最小，则称点 M 为ABC 的费尔马点若点 M 为ABC 的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA 的度数；

30、（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC 的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF，连接 CE、BF，设交点为 M，则点 M 即为ABC 的费尔马点试说明这种作法的依据 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）结合等边三角形的性质，根据 SAS 可证AMBENB；（2）连接 MN，由（1）的结论证明BMN 为等边三角形，所以 BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当 E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA 的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又ABC

31、的费尔马点在线段 EC 上，同理也在线段 BF上因此线段 EC 与 BF的交点即为ABC 的费尔马点解答：解：（1）证明：ABE为等边三角形，AB=BE，ABE=60 而MBN=60，ABM=EBN 又BM=BN，AMBENB（2）连接 MN由（1）知，AM=EN MBN=60，BM=BN，BMN为等边三角形 BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM 当 E、N、M、C 四点共线时，AM+BM+CM 的值最小 此时，BMC=180-NMB=120；AMB=ENB=180-BNM=120；AMC=360-BMC-AMB=120 （3）由（2）知，ABC 的费尔马点在线段 EC 上，同理也在线段 BF上 因此线段 EC 与 BF的交点即为ABC 的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大 13如图，正方形 中，求证：